高考数学导数解法

高考数学导数解法

高考中数学导数的解法 ‎1、导数的背景：‎ ‎（1）切线的斜率；（2）瞬时速度. ‎ 如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在时的瞬时速度为_____（答：‎5米/秒）‎ ‎2、导函数的概念：如果函数在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个，都对应着一个导数 ，这样在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做在开区间（a,b）内的导函数， 记作 ，导函数也简称为导数。‎ 提醒：导数的另一种形式 如（1）* 在处可导，则 ‎ 解： 在处可导，必连续 ‎ ‎ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎ ‎ ‎ ∴ ‎ ‎（2）*已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：‎ ‎（1）； ‎ ‎ （2）‎ ‎　　分析：在导数定义中，增量△x的形式是多种多样，但不论△x选择哪种形式，△y也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在处可导的条件，可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。‎ 解：（1） ‎ ‎　　‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ 说明：只有深刻理解概念的本质，才能灵活应用概念解题。解决这类问题的关键是等价变形，使极限式转化为导数定义的结构形式。‎ 可以证明：可导的奇函数的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数 ‎3、求在处的导数的步骤：（1）求函数的改变量；（2）求平均变化率；（3）取极限，得导数。‎ 也可（1）求，（2）.‎ ‎4、导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的方程是。‎ 特别提醒：‎ ‎（1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线(只有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是)，还是过某点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条切线，也未必和曲线只有一个交点；‎ ‎（2）求过某一点的切线方程时也是通过切点坐标来求。‎ 如（1）P在曲线上移动，在点P处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是______（答：）；‎ ‎（2）直线是曲线的一条切线,则实数的值为_______（答：－3或1）；‎ ‎（4）曲线在点处的切线方程是______________（答：）；‎ ‎（5）已知函数，又导函数的图象与轴交于。①求的值；②求过点的曲线的切线方程（答：①1；②或）。‎ ‎5、导数的运算法则：‎ ‎ 6.常见函数的导数公式: ‎ ‎（1）常数函数的导数为0，即（C为常数）；　‎ ‎（2），‎ 与此有关的如下：；‎ ‎ ‎ ‎7.（理科）复合函数的导数：‎ 一般按以下三个步骤进行：‎ ‎　　（1）适当选定中间变量，正确分解复合关系；‎ ‎　　（2）分步求导（弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导）；‎ ‎　　（3）把中间变量代回原自变量（一般是x）的函数。‎ ‎　　也就是说，首先，选定中间变量，分解复合关系，说明函数关系y=f(μ)，μ=f(x)；然后将已知函数对中间变量求导，中间变量对自变量求导；最后求，并将中间变量代回为自变量的函数。整个过程可简记为分解——求导——回代。熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。‎ 如（1）已知函数的导数为，则_____（答：）；‎ ‎（2）函数的导数为__________（答：）；‎ ‎（3）若对任意，，则是______（答：）‎ ‎8、函数的单调性：‎ ‎（1）函数的单调性与导数的关系 ‎①若,则为增函数；若,则为减函数；若恒成立,则为常数函数；若的符号不确定,则 不是单调函数。可导函数y＝f（x）在某个区间内是函数f(x)在该区间上为增函数的充分条件 ‎②若函数在区间（）上单调递增，则，反之等号不成立（等号不恒成立时，反过来就成立）；若函数在区间（）上单调递减，则，反之等号不成立（等号不恒成立时，反过来就成立）。‎ 提醒：导数求单调性可用于求函数值域，证明不等式（不等式一端化为0）‎ 如（1）函数，其中为实数，当时，的单调性是______（答：增函数）；‎ ‎（2）设函数在上单调函数，则实数的取值范围______（答：）；‎ ‎（3）已知函数为常数）在区间上单调递增，且方程的根都在区间内，则的取值范围是____________（答：）；‎ ‎（4）已知，，设，试问是否存在实数，使在上是减函数，并且在上是增函数？（答：）‎ ‎（2）利用导数求函数单调区间的步骤：（1）求（注意定义域）；（2）求方程的根，设根为；（3）将给定区间分成n+1个子区间（在此有一个比较根的大小问题），再在每一个子区间内判断的符号，由此确定每一子区间的单调性。‎ 如设函数在处有极值，且，求的单调区间。‎ ‎（答：递增区间（－1,1），递减区间）‎ ‎（3）利用导数函数的单调性确定参变数（已知函数的单调性）‎ 转化为恒成立 ‎7、函数的极值：‎ ‎（1）定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝‎ ‎。极大值和极小值统称为极值。‎ ‎（2）求函数在某个区间上的极值的步骤：（i）求导数；（ii）求方程的根；（iii）检查在方程的根的左右的符号：“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值。‎ 注：导数为零的点未必是极值点， ‎ 特别提醒：‎ ‎（1）是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。‎ ‎（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ （3）第二步中蕴含着比较根的大小问题，第三步中通常总结成表.‎ 如（1）函数的极值点 A.极大值点 B.极大值点 ‎ C.极小值点 D.极小值点（答：C）；‎ ‎（2）已知函数有极大值和极小值，则实数的取值范围是 ‎_____（答：或）；‎ ‎（3）函数处有极小值10，则a+b的值为____（答：－7）；‎ ‎（4）已知函数在区间[－1,2 ]上是减函数，那么b＋c有最___值___‎ ‎（答：大，）‎ ‎8、函数的最大值和最小值：‎ ‎（1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。‎ ‎（2）求函数在[]上的最大值与最小值的步骤：‎ ‎（1）求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；‎ ‎（2）将的各极值与，‎ 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。‎ 注：第一步中其实不必求出极值，只要找到导数为零点处的函数值即可；闭区间上的连续函数必有最值 如（1）函数在[0，3]上的最大值、最小值分别是______‎ ‎（答：5；）；‎ O b a x y ‎（2）用总长‎14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长‎0.5m。那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。（答：高为‎1.2米时，容积最大为）‎ 特别注意：（1）利用导数研究函数的单调性与最值（极值）时，要注意列表！（2）要善于应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题。‎ 如（1）是的导函数，的图象如右图所示，则的图象只可能是 ( 答：D )‎ O b a x y O b a x y C、‎ D、‎ O b a x y O b a x y B、‎ A、‎ ‎（2）方程的实根的个数为______（答：1）；‎ ‎（3）已知函数，抛物线，当时，函数的图象在抛物线的上方，求的取值范围（答：）。‎ ‎9.定积分 ‎(1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 ‎(2)定积分几何意义：‎ ‎①表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ‎②表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相反数 ‎(3)定积分的基本性质：‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ ‎(4)求定积分的方法：‎ ‎①定义法：分割—近似代替—求和—取极限 ‎②利用定积分几何意义 ‎③微积分基本定理