高考数学考点简单多面体与球练习

高考数学考点简单多面体与球练习

考点22 简单多面体与球 ‎1.（2010·四川高考理科·Ｔ11）半径为的球的直径垂直于平面，垂足为，是平面内边长为的正三角形，线段,分别与球面交于点，，那么,两点间的球面距离 是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【命题立意】本题考查了两点间的球面距离（即求弧长）问题，解三角形，平行线等分线段成比例的知识，考查了学生利用平面几何知识解决空间几何体问题的能力.‎ ‎【思路点拨】欲求,两点间的球面距离，根据弧长公式可知，需求的弧度数，进而转化为求线段的长度.∵题目中所给条件大多集中在内， 故探求与的数量关系.‎ ‎【规范解答】选A . 连结，∵为球的直径，∴ ，‎ 在中， ‎ 由射影定理可得.则.‎ 同理，连结,则△ABM≌△ABN,则,又,‎ ‎∴∥.∴, 即.‎ 在三角形中, OM=OM=R, 利用余弦定理可得：‎ ‎ ，∴,∴M,N两点间的球面距离为.‎ ‎2.（2010·全国卷Ⅰ理科·Ｔ12）已知在半径为2的球面上有A，B，C，D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【命题立意】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.‎ ‎【思路点拨】当时体积最大，选择合适的底和高，利用三棱锥体积公式求解.‎ ‎【规范解答】选B.方法一： 当时，体积最大，如图：‎ ‎ 过作平面，使,‎ 交与点,设点到的距离为,‎ 则有,当直径通过与的中点时,,故.‎ 方法二：如图：当异面直线与间的距离最大，且时，‎ 四面体的体积最大，分别取与的中点，， ‎ 连结，此时球心为线段的中点，则..‎ ‎3．（2010·湖北高考理科·Ｔ13）圆柱形容器内盛有高度为‎8 cm的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是____cm.‎ ‎【命题立意】本题主要考查圆柱和球的体积公式以及考生的运算求解能力．‎ ‎【思路点拨】圆柱形容器的容积减去圆柱内高度为‎8cm的水的体积即为3个球的体积和。‎ ‎【规范解答】设球的半径为，则圆柱形容器的高为6，容积为，高度为‎8cm的水的体积为，3个球的体积和为，由题意-=解得.‎ ‎【答案】4‎ ‎4. （2010·江西高考文科·Ｔ１６）长方体的顶点 均在同一个球面上，，，则，两点间 的球面距离为 .‎ ‎【命题立意】本题主要考查棱锥、球的基本知识，考查多面体与球体的内接问题，考查球面距离问题，考查空间想象力．‎ ‎【思路点拨】先求体对角线长即为球的直径，再求球心角，最后由弧长公式求两点间的球面距离.‎ ‎【规范解答】设球的半径为，则设球心为，则，所以所求A,B两点间的球面距离为 ‎【答案】‎ ‎5. （2010·上海高考理科·Ｔ１2）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O,剪去,将剩余部分沿OC,OD折叠，使OA,OB重合，则以A（B）,C,D,O为顶点的四面体的体积为 ．‎ ‎【命题立意】本题考查立体几何中的折叠问题和几何体体积的求法．‎ ‎【思路点拨】先确定折叠后的几何体的形状，再由体积公式求体积．‎ ‎【规范解答】折叠后的图形如图所示,‎ ‎ ∵，∴.‎ ‎ ∴为四面体的高，‎ ‎∴‎ ‎．‎ ‎【答案】‎ ‎【方法技巧】折叠问题的关键是找到折叠前后，变与不变的量．一般在折线同侧的量（包括角和距离）不变，跨过折线的量要改变．‎ ‎6.（2010·上海高考文科·Ｔ6）已知四棱锥的底面是边长为6 的正方形，侧棱底面，且，则该四棱锥的体积是 ．‎ ‎【命题立意】本题考查棱锥的体积公式的应用，属容易题．‎ ‎【思路点拨】按棱锥的体积公式代入数值求解．‎ ‎【规范解答】=96.‎ ‎【答案】96‎ ‎7. （2010·上海高考文科·Ｔ20）如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用‎9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.‎ ‎(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到‎0.01平方米）;‎ ‎(2)若要制作一个如图放置的，底面半径为‎0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）.‎ ‎【命题立意】本题是个应用题，主要考查学生分析问题、解决问题的能力，涉及函数求最值、几何体的三视图等相关知识.‎ ‎【思路点拨】（1）建立关于的函数，根据函数的性质求最值；‎ ‎（2）确定几何体的有关数据后，按三视图的要求画图．‎ ‎【规范解答】（1）设圆柱形灯笼的高为，则，所以 所以(1.2-2r)．‎ 所以，当时S有最大值．‎ 最大值为（平方米）‎ ‎（2）由（1）知时，其正视图与侧视图均为边长是0.6的正方形，俯视图是半径为0.3的圆．如图：‎ ‎8. （2010·重庆高考文科·Ｔ20）如题图，四棱锥中，‎ 底面为矩形，，，‎ 点是棱的中点. ‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎【命题立意】本小题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系，考查余弦定理及其应用，考查空间向量的基础知识和在立体几何中的应用，考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力，考查数形结合的思想，考查转化与化归的思想.‎ ‎【思路点拨】（1）通过证明线线垂直证明结论：线面垂直，（2）作出二面角的平面角，再利用三角函数、余弦定理等知识求余弦值.或建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算证明垂直和求出有关角的三角函数值.‎ ‎【规范解答】方法一：（1）如图所示，由得.又知为等腰直角三角形，而点是棱的中点，‎ 所以.‎ 由题意知，又是在面内的射影，由三垂线定理得，从而，故。因为，，PB∩BC=B所以.‎ ‎（2）由（1）知，又∥，得，故.在中，，所以 ，‎ 所以在中，.在中，，‎ 又，所以为等边三角形.取的中点,连结,则.‎ 因，且，则为等腰直角三角形，连结，则，‎ 所以为所求的二面角的平面角.连结，在中，，‎ ‎,，所以 ‎ ‎，故二面角的平面角的余弦值为.‎ 方法二：（1）以为坐标原点，‎ 射线分别为轴、轴、轴的正半轴，‎ 建立空间直角坐标系.如图所示.‎ 设，则，，，。于是，，，则，‎ 所以，故.‎ ‎（2）设平面BEC的法向量为，由（Ⅰ）知，，故可取.设平面DEC的法向量，则，由，得D，C，‎ 从而，，故，所以，，可取，则，从而.‎ ‎【方法技巧】（1）用几何法推理证明、计算求解；（2）空间向量坐标法，通过向量的坐标运算解题.‎ ‎9. （2010·重庆高考理科·Ｔ１9）如图，四棱锥中，底面为矩形，，，点是棱的中点.‎ ‎（1）求直线与平面的距离；‎ ‎（2）若，求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎【命题立意】本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、三垂线定理等，考查线面距离的求法、二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程的思想、数形结合的思想方法、转化与化归的能力.‎ ‎【思路点拨】（1）把直线到平面的距离转化为点到平面的距离，‎ 寻找过此点与平面垂直的直线；（2）作出二面角的平面角，‎ 再根据三角函数、余弦定理等求解.‎ ‎【规范解答】方法一：（1）如图1，在矩形中，‎ ‎∥，从而∥平面，故求直线与平面的距离就是点到平面的距离.因为，所以，‎ 由知为等腰直角三角形，又点是棱的中点.故，又在矩形中，，而是在底面上的射影，由三垂线定理得，从而，故，从而，故之长即为直线与平面的距离.在中，，所以 ‎ ‎，即直线与平面的距离是.‎ ‎（2）过点作，交于，过点作，交于点，则为所求二面角的平面角.因为，又∥，得，故，从而，在中，，又因为，所以为等边三角形，故为的中点，且.‎ 因为，故，又，知且∥，从而，且点为的中点.连结，则在中，.所以.‎ 方法二：（I）如图2，以为坐标原点，‎ 射线分别为轴、轴、轴的正半轴，‎ 建立空间直角坐标系.设，‎ 则，，,‎ 因此,‎ ‎，则，所以，又因为∥，所以∥平面，故直线与平面的距离为点到平面的距离，即为.‎ ‎（2）因为AD，则，设平面的法向量为，则，又，所以，‎ 所以，取，则.‎ 设平面的法向量，则.又，所以，所以，取，则.所以，所以二面角的平面角的余弦值为.‎ ‎【方法技巧】（1）用几何法推理证明、计算求解；（2）空间向量坐标法，通过向量的坐标运算解题，并体会法向量在求空间角中的作用.‎ ‎10. （2010·江西高考文科·Ｔ２０）如图，与 都是边长为2的正三角形，‎ 平面平面，平面，.‎ ‎（1）求直线与平面所成的角的大小；‎ ‎（2）求平面与平面所成的二面角的正弦值.‎ ‎【命题立意】本题主要考查空间几何体的线线、线面与面面 垂直关系及平行关系，考查空间线面角、二面角的问题以及有关的计算问题，考查空间向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、化归转化能力和运算求解能力。‎ ‎【思路点拨】本题主要有两种方法，方法一：几何法（1）直接找出线面角，然后求解；‎ ‎（2）对二面角的求法思路， 一般是分三步①“作”，②“证”，③“求”. 其中“作”是关键， “证”‎ 是难点.方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解.‎ ‎【规范解答】方法一：（1）如图：取中点，连结，则OB⊥CD，OM⊥CD.‎ 又平面平面,则MO⊥平面，所以MO∥AB，‎ A，B，O，M共面.延长AM，BO相交于E，连结CE,DE,则∠AEB就是AM与 平面BCD所成的角.‎ OB=MO=，MO∥AB，则，，所以，故.‎ ‎（2）CE是平面与平面的交线.‎ 由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.‎ 作BF⊥EC于F，连结AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，设为.‎ 因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.‎ ‎，‎ ‎，‎ 所以，所求二面角的正弦值是.‎ 方法二：取CD中点O，连结OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,‎ 则MO⊥平面.以O为原点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴，建立空 间直角坐标系如图.‎ OB=OM=，则各点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），‎ ‎（1）设直线AM与平面BCD所成的角为.‎ 因（0，，），平面 的法向量为.则有 ‎，所以.‎ ‎（2），.‎ 设平面ACM的法向量为，由得.‎ 解得，，取.又平面BCD的法向量为，‎ 则 设所求二面角为，则.‎ ‎11. （2010·江西高考理科·Ｔ２０）如图，与都是边长为2的正三角形，平面平面，平面，．‎ ‎（1）求点到平面的距离；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的正弦值．‎ ‎ 【命题立意】本题考查空间几何体的线线、线面与面面垂直关系及平行关系，考查空间中点面距离，考查二面角的求解以及几何体的计算问题，考查空间向量的坐标运算，考查数形结合思想，考查考生的空间想象能力、推理论证能力、化归转化能力和运算求解能力。‎ ‎【思路点拨】本题主要有两种方法，‎ 方法一：几何法（1）将点面距离问题转化为体积相等的问题，降低直接求解的难度；（2）对二面角的求法思路， 一般是①“作”，②“证”，③“求”. 其中“作”是关键， “证”是难点.‎ 方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量，借助于法向量求解，使问题变得简单.‎ ‎【规范解答】方法一：（1）取中点，连结，‎ 则．‎ 又平面平面，则，‎ 所以//，//平面．‎ 到平面的距离相等．‎ 作于，连结，则．‎ 求得，．‎ 设点到平面的距离为，由得 ‎．‎ 即，解得．‎ ‎（2）延长相交于，连结，，是平面与平面的交线．‎ 由（1）知，是的中点，则四边形是菱形．‎ 作于，连结，则就是二面角 的平面角，设为．‎ 因为，所以．‎ ‎,．‎ 方法二：取中点，连结，则．‎ 又平面平面，则平面．以为原点，‎ 直线OC,BO,OM为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系如图．，则各点坐标分别为 ‎（1）设是平面MBC的法向量，则由得由得取 则 ‎ (2)设平面ACM的法向量为由得解得取又平面BCD的法向量为 所以设所求二面角为则 ‎12. （2010·四川高考理科·Ｔ18）已知正方体的棱长为1，点是棱的中点，‎ 点是对角线的中点.‎ ‎（1）求证：为异面直线和的公垂线；‎ ‎（2）求二面角的大小；‎ ‎（3）求三棱锥的体积.‎ ‎【命题立意】本题主要考查异面直线、直线与平面垂直、‎ 二面角、正方体、三棱锥体积等基础知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力，转化与化归的数学思想.‎ ‎【思路点拨】方法一：几何法. 问题（1），分别证明，即可. ‎ 问题（2）首先利用三垂线定理，作出二面角的平面角， 然后通过平面角所在的直角三角形，求出平面角的一个三角函数值，便可解决问题.‎ 问题（3）选择便于计算的底面和高，观察图形可知，和都在平面内，且，故，利用三棱锥的体积公式很快求出.‎ 方法二：建立空间直角坐标系，利用空间向量中的法向量求解.‎ ‎【规范解答】方法一：（1）连结.取的中点，则为的中点，连结.‎ ‎ ∵点是棱的中点，点是的中点，‎ ‎ ‎ 由，得.‎ ‎∵，且BD∩BB´=B ∴.‎ ‎ ∴.∴.‎ 又∵与异面直线和都相交，‎ ‎ 故为异面直线和的公垂线，‎ ‎（2）取的中点，连结，则，‎ 过点作于，连结，则由三垂线 定理得，.‎ ‎∴为二面角的平面角.‎ ‎.‎ 在中.tan∠‎ 故二面角的大小为.‎ ‎（3）易知，,且和都在平面内，‎ ‎ 点到平面的距离，‎ ‎∴.‎ 方法二：以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，‎ ‎（1） ∵点是棱的中点，点是的中点，‎ ‎ ∴, ，, ,.‎ ‎ ,,‎ ‎∴,,‎ 又∵与异面直线和都相交，‎ ‎ 故为异面直线和的公垂线，‎ ‎（2）设平面的一个法向量为，‎ ‎，.‎ 即 ‎ 取，则..‎ ‎ 取平面的一个法向量.‎ ‎，‎ 由图可知，二面角的平面角为锐角，‎ 故二面角的大小为.‎ ‎（3）易知，，设平面的一个法向量为，‎ ‎ ,,‎ ‎ 即 取，则，从而.‎ 点到平面的距离.‎ ‎.‎