北京市高考理科数学试题及答案

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北京市高考理科数学试题及答案

‎2008年普通高等学校招生全国统一考试 数学(北京卷)‎ 第Ⅰ卷(选择题 共40分)‎ 一、本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1.已知全集,集合,,那么集合等于( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.若,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.“函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的( )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.若点到直线的距离比它到点的距离小1,则点的轨迹为( )‎ A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 ‎5.若实数满足则的最小值是( )‎ A.0 B.1 C. D.9‎ ‎6.已知数列对任意的满足,且,那么等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.过直线上的一点作圆的两条切线,当直线关于对称时,它们之间的夹角为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.如图,动点在正方体的对角线上.过点作垂直于平面的直线,与正方体表面相交于.设,,则函数的图象大致是( )‎ A B C D M N P A1‎ B1‎ C1‎ D1‎ y x A.‎ O y x B.‎ O y x C.‎ O y x D.‎ O ‎ 第Ⅱ卷(共110分)‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.‎ ‎9.已知,其中是虚数单位,那么实数 ___________.‎ ‎10.已知向量与的夹角为,且,那么的值为 _________ .‎ ‎11.若展开式的各项系数之和为32,则_______ ,其展开式中的常数项为 ________ .(用数字作答)‎ ‎2‎ B C A y x ‎1‎ O ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎12.如图,函数的图象是折线段,其中的坐标分别为,则________; ________.(用数字作答)‎ ‎13.已知函数,对于上的任意,有如下条件:①; ②; ③.其中能使恒成立的条件序号是 _________ .‎ ‎14.某校数学课外小组在坐标纸上,为学校的一块空地设计植树方案如下:第棵树种植在点处,其中,,当时,‎ 表示非负实数的整数部分,例如,.‎ 按此方案,第6棵树种植点的坐标应为 __________ ;第2008棵树种植点的坐标应为________ .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.‎ ‎15.(本小题共13分)‎ 已知函数()的最小正周期为.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数在区间上的取值范围.‎ ‎16.(本小题共14分)‎ A C B P 如图,在三棱锥中,,,,.‎ ‎(Ⅰ)求证:;‎ ‎(Ⅱ)求二面角的大小;‎ ‎(Ⅲ)求点到平面的距离.‎ ‎17.(本小题共13分)‎ 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.‎ ‎(Ⅰ)求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率;‎ ‎(Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;‎ ‎(Ⅲ)设随机变量为这五名志愿者中参加岗位服务的人数,求的分布列.‎ ‎18.(本小题共13分)已知函数,求导函数,并确定的单调区间.‎ ‎19.(本小题共14分)‎ 已知菱形的顶点在椭圆上,对角线所在直线的斜率为1.‎ ‎(Ⅰ)当直线过点时,求直线的方程;‎ ‎(Ⅱ)当时,求菱形面积的最大值.‎ ‎20.(本小题共13分)‎ 对于每项均是正整数的数列,定义变换,将数列变换成数列 ‎.‎ 对于每项均是非负整数的数列,定义变换,将数列各项从大到小排列,然后去掉所有为零的项,得到数列;‎ 又定义.‎ 设是每项均为正整数的有穷数列,令.‎ ‎(Ⅰ)如果数列为5,3,2,写出数列;‎ ‎(Ⅱ)对于每项均是正整数的有穷数列,证明;‎ ‎(Ⅲ)证明:对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列,存在正整数,当时,.‎ 参考答案 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎1.D 2.A 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎9. 10. 11.5 10 12. ‎ ‎13.② 14. ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分)‎ ‎15.(共13分)‎ 解:(Ⅰ)‎ ‎.‎ 因为函数的最小正周期为,且,所以,解得.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得.‎ 因为,所以,所以,‎ 因此,即的取值范围为.‎ ‎16.(共14分)‎ A C B D P 解法一:‎ ‎(Ⅰ)取中点,连结.‎ ‎,‎ ‎.‎ ‎,‎ ‎.‎ A C B E P ‎,‎ 平面.‎ 平面,‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ),,‎ ‎.‎ 又,‎ ‎.‎ 又,即,且,‎ 平面.‎ 取中点.连结.‎ ‎,.‎ 是在平面内的射影,‎ ‎.‎ 是二面角的平面角.‎ 在中,,,,‎ ‎.‎ A C B D P H 二面角的大小为.‎ ‎(Ⅲ)由(Ⅰ)知平面,‎ 平面平面.‎ 过作,垂足为.‎ 平面平面,‎ 平面.‎ 的长即为点到平面的距离.‎ 由(Ⅰ)知,又,且,‎ 平面.‎ 平面,‎ ‎.‎ 在中,,,‎ ‎.‎ ‎.‎ 点到平面的距离为.‎ ‎17.(共13分)‎ 解:(Ⅰ)记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件,那么,‎ 即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是.‎ ‎(Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件,那么,‎ 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是.‎ ‎(Ⅲ)随机变量可能取的值为1,2.事件“”是指有两人同时参加岗位服务,‎ 则.所以,的分布列是 ‎1‎ ‎3‎ ‎18.(共13分)‎ 解:‎ ‎.‎ 令,得.‎ 当,即时,的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 当,即时,的变化情况如下表:‎ ‎0‎ 所以,当时,函数在上单调递减,在上单调递增,‎ 在上单调递减.‎ 当时,函数在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减.‎ 当,即时,,所以函数在上单调递减,在上单调递减.‎ ‎19.(共14分)‎ 解:(Ⅰ)由题意得直线的方程为.因为四边形为菱形,所以.‎ 于是可设直线的方程为.由得.‎ 因为在椭圆上,所以,解得.‎ 设两点坐标分别为,‎ 则,,,.所以.‎ 所以的中点坐标为.由四边形为菱形可知,点在直线上, ‎ 所以,解得.所以直线的方程为,即.‎ ‎(Ⅱ)因为四边形为菱形,且,‎ 所以.所以菱形的面积.‎ 由(Ⅰ)可得,‎ 所以.‎ 所以当时,菱形的面积取得最大值.‎ ‎20.(共13分)‎ ‎(Ⅰ)解:,,;,‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)证明:设每项均是正整数的有穷数列为,‎ 则为,,,,,‎ 从而 ‎.‎ 又,‎ 所以 ‎,‎ 故.‎ ‎(Ⅲ)证明:设是每项均为非负整数的数列.‎ 当存在,使得时,交换数列的第项与第项得到数列,‎ 则.‎ 当存在,使得时,若记数列为,‎ 则.所以.‎ 从而对于任意给定的数列,由 可知.又由(Ⅱ)可知,所以.‎ 即对于,要么有,要么有.‎ 因为是大于2的整数,所以经过有限步后,必有.‎ 即存在正整数,当时,.‎
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