高考试题——数学文重庆卷解析版

高考试题——数学文重庆卷解析版

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）‎ 数学试题卷（文史类）‎ 本试卷满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷 考生注意：‎ ‎ 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．‎ ‎ 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．‎ ‎ 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．‎ ‎5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．‎ 参考公式：‎ ‎ 如果事件互斥，那么 ‎ ‎ 如果事件相互独立，那么 ‎ ‎ 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中恰好发生次的概率 以为半径的球体积：‎ 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】A 解法1（直接法）：设圆心坐标为，则由题意知，解得，故圆的方程为。‎ 解法2（数形结合法）：由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为 解法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支，排除B，D，又由于圆心在轴上，排除C。‎ ‎2．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是（ ）‎ A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B．“若一个数的平方是正数，则它是负数” ‎ C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”‎ ‎ 【答案】B 解析 因为一个命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换，因此逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”。‎ ‎3．的展开式中的系数是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A．20 B．‎40 ‎ C．80 D．160‎ ‎【答案】D 解法1设含的为第，则，令，得，故展开式中的系数为。‎ 解法2根据二项展开式的通过公式的特点：二项展开式每一项中所含的与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件的项按3与3分配即可，则展开式中的系数为。‎ ‎4．已知向量若与平行，则实数的值是（ ）‎ A．-2 B．‎0 ‎ C．1 D．2‎ ‎【答案】D 解法1因为，所以由于与平行，得，解得。‎ 解法2因为与平行，则存在常数，使，即，根据向量共线的条件知，向量与共线，故。‎ ‎5．设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A 解析设数列的公差为，则根据题意得，解得或（舍去），所以数列的前项和 ‎6．下列关系式中正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C 解析因为，由于正弦函数在区间上为递增函数，因此，即。‎ ‎7．已知，则的最小值是（ ）‎ A．2 B． C．4 D．5‎ ‎【答案】C 解析因为当且仅当，且，即时，取“=”号。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎8．12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B 解析因为将12个组分成4个组的分法有种，而3个强队恰好被分在同一组分法有，故个强队恰好被分在同一组的概率为。‎ ‎9．在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（ ）‎ A．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为 B．若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为 C．若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为 D．若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为 ‎【答案】C 解析设底面边长为1，侧棱长为，过作。‎ 在中，，由三角形面积关系得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 设在正四棱柱中，由于，‎ 所以平面，于是，所以平面，故为点到平面 的距离，在中，又由三角形面积关系得于是，于是当，所以，所以 ‎10．把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到图像．若对任意的，曲线与至多只有一个交点，则的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B 解析根据题意曲线C的解析式为则方程，即，即对任意恒成立，于是的最大值，令则由此知函数在（0，2）上为增函数，在上为减函数，所以当时，函数取最大值，即为4，于是。‎ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案写在答题卡相应位置上．‎ ‎11．若是小于9的正整数，是奇数，是3的倍数，则 ．‎ ‎【答案】‎ 解法1，则所以，所以 解析2，而 ‎12．记的反函数为，则方程的解 ．‎ ‎【答案】2‎ 解法1由，得，即，于是由，解得 解法2因为，所以 ‎13．5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 种（用数字作答）．‎ ‎【答案】72‎ 解析可恩两个步骤完成，第一步骤先排除甲乙外的其他三人，有种，第二步将甲乙二人插入前人形成的四个空隙中，有种，则甲、乙两不相邻的排法有种。‎ ‎14．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127‎ 则该样本标准差 （克）（用数字作答）．‎ ‎【答案】2‎ 解析因为样本平均数，则样本方差所以 ‎15．已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎. 解法1，因为在中，由正弦定理得 则由已知，得，即 设点由焦点半径公式，得则 记得由椭圆的几何性质知，整理得 解得，故椭圆的离心率 解法2 由解析1知由椭圆的定义知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎，由椭圆的几何性质知所以以下同解析1.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分．）‎ 设函数的最小正周期为．‎ ‎（Ⅰ）求的最小正周期．‎ ‎（Ⅱ）若函数的图像是由的图像向右平移个单位长度得到，求的单调增区间．‎ 解：（Ⅰ）‎ 依题意得，故的最小正周期为.‎ ‎ （Ⅱ）依题意得: ‎ 由 解得‎ 故的单调增区间为: ‎ ‎17．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）‎ 某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2株．设甲、乙两种大树移栽的成活率分别为和，且各株大树是否成活互不影响．求移栽的4株大树中：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅰ）至少有1株成活的概率；‎ ‎（Ⅱ）两种大树各成活1株的概率．‎ 解: 设表示第株甲种大树成活, ; 设表示第株乙种大树成活, ‎ 则独立,且 ‎（Ⅰ）至少有1株成活的概率为:‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）由独立重复试验中事件发生的概率公式知,两种大树各成活1株的概率为:‎ ‎18．（本小题满分13分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问6分）‎ 如题（18）图，在五面体中，∥，，，四边形为平行四边形，平面，．求：‎ ‎（Ⅰ）直线到平面的距离；‎ ‎（Ⅱ）二面角的平面角的正切值．‎ 解法一:‎ ‎（Ⅰ）平面, AB到面的距离等于点A到面的距离，过点A作于G，因∥，故；又平面，由三垂线定理可知，，故，知，所以AG为所求直线AB到面的距离。‎ 在中，‎ 由平面，得AD，从而在中，‎ ‎。即直线到平面的距离为。‎ ‎（Ⅱ）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE ‎，所以，为二面角的平面角，记为.‎ 在中, ,由得,,从而 在中, ,故 所以二面角的平面角的正切值为.‎ 解法二: ‎ ‎（Ⅰ）如图以A点为坐标原点,的方向为的正方向建立空间直角坐标系数,则A(0,0,0)‎ C(2,2,0) D(0,2,0) 设可得,由.即,解得 ∥，‎ 面,所以直线AB到面的距离等于点A到面的距离。设A点在平面上的射影点为,则 因且,而 ‎,此即 解得　①　,知G点在面上,故G点在FD上.‎ ‎,故有 ② 联立①,②解得, ‎ 为直线AB到面的距离. 而 所以 ‎（Ⅱ）因四边形为平行四边形,则可设, .由 得,解得.即.故 由,因,,故为二面角的平面角，又,,,所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎19．（本小题满分12分，（Ⅰ）问7分，（Ⅱ）问5分）‎ 已知为偶函数，曲线过点，．‎ ‎（Ⅰ）求曲线有斜率为0的切线，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若当时函数取得极值，确定的单调区间．‎ 解: （Ⅰ）为偶函数,故即有 ‎ 解得 又曲线过点,得有 从而,曲线有斜率为0的切线，故有有实数解.即有实数解.此时有解得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 所以实数的取值范围:‎ ‎（Ⅱ）因时函数取得极值,故有即,解得 又 令,得 当时, ,故在上为增函数 当时, ,故在上为减函数 当时, ,故在上为增函数 ‎20．（本小题满分12分，（Ⅰ）问5分，（Ⅱ）问7分）‎ 已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．‎ ‎（Ⅰ）求该双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解：（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由 得 解得 从而，该双曲线的方程为；‎ ‎（Ⅱ）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，‎ 所以 ，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故 从而 当在线段CD上时取等号，此时的最小值为 直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故 由方程组 解得 ‎ ‎ 所以点的坐标为；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎21．（本小题满分12分，（Ⅰ）问3分，（Ⅱ）问4分，（Ⅲ）问5分）‎ 已知．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设为数列的前项和，求证：；‎ ‎（Ⅲ）求证：．‎ 解：（Ⅰ），所以 ‎（Ⅱ）由得即 所以当时，于是 所以 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎（Ⅲ）当时，结论成立 当时，有 所以 ‎