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文档介绍
数学6年高考4年模拟 数列 数列的应用
第六章 数列 第二节 数列的应用 第一部分 六年高考题荟萃 2010年高考题 一、选择题 1.（2010江西理）5.等比数列中，，=4，函数 ，则（ ） A． B. C. D. 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则只与函数的一次项有关；得：。 2.（2010江西理）4. （ ） A. B. C. 2 D. 不存在 【答案】B 【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。 3.（2010北京理）（2）在等比数列中，，公比.若，则m= （A）9 （B）10 （C）11 （D）12 【答案】C 4.（2010四川理）（8）已知数列的首项，其前项的和为，且 ，则 （A）0 （B） （C） 1 （D）2 解析：由,且 作差得an＋2＝2an＋1 又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1 Þ a2＝2a1 故{an}是公比为2的等比数列 Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1 则 【答案】B 5.（2010天津理）（6）已知是首项为1的等比数列，是的前n项和，且，则数列的前5项和为 （A）或5 （B）或5 （C） （D） 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。 显然q1，所以，所以是首项为1，公比为的等比数列， 前5项和. 【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。 6.（2010全国卷1文）（4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则= (A) (B) 7 (C) 6 (D) 【答案】A 【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想. 【解析】由等比数列的性质知，10,所以, 所以 7.（2010湖北文）7.已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则 A. B. C. D 8.（2010安徽理）10、设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别为，则下列等式中恒成立的是 A、 B、 C、 D、 【答案】 D 【分析】取等比数列,令得代入验算，只有选项D满足。 【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论. （2010湖北理数）7、如图，在半径为r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设 为前n个圆的面积之和，则= A． 2 B. C.4 D.6 9.（2010福建理）3．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n等于 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为，则，解得， 所以，所以当时，取最小值。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。 二、填空题 1.（2010浙江理）（14）设 ， 将的最小值记为，则 其中=__________________ . 解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题 2.（2010陕西文）11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝ （1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）. 解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方 所以第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）. 3.（2010辽宁理）（16）已知数列满足则的最小值为__________. 【答案】 【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。 【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n 所以 设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时有最小值。 又因为，，所以，的最小值为 4.（2010浙江文）（14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列， 那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是 。 答案： 5.（2010天津文）（15）设{an}是等比数列，公比，Sn为{an}的前n项和。记设为数列{}的最大项，则= 。 【答案】4 【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。 因为≧8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。 【温馨提示】本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解. 6.（2010湖南理）15．若数列满足：对任意的，只有有限个正整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列．例如，若数列是，则数列是．已知对任意的，，则 ， ． 三、解答题 1.（2010湖南文）20.（本小题满分13分） 给出下面的数表序列： 其中表n（n=1,2,3 ）有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。 （I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）； （II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12，记此数列为 求和： 2.（2010全国卷2理）（18）（本小题满分12分） 已知数列的前项和． （Ⅰ）求； （Ⅱ）证明：． 【命题意图】本试题主要考查数列基本公式的运用，数列极限和数列不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力. 【参考答案】 【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心. 估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续. 3.（2010北京理）（20）（本小题共13分） 已知集合对于，，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 （Ⅰ）证明：，且; （Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P). 证明：（P）≤. （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效） 证明：（I）设，， 因为，，所以, 从而 又 由题意知，，. 当时，; 当时， 所以 (II)设，， ，，. 记，由（I）可知 所以中1的个数为，的1的 个数为。 设是使成立的的个数，则 由此可知，三个数不可能都是奇数， 即,,三个数中至少有一个是偶数。 （III）,其中表示中所有两个元素间距离的总和， 设种所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0 则= 由于 所以 从而 4.（2010天津文）（22）（本小题满分14分） 在数列中，=0，且对任意k，成等差数列，其公差为2k. （Ⅰ）证明成等比数列； （Ⅱ）求数列的通项公式； （Ⅲ）记，证明. 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （I）证明：由题设可知，，，，， 。 从而，所以，，成等比数列。 （II）解：由题设可得 所以 . 由，得 ，从而. 所以数列的通项公式为或写为，。 （III）证明：由（II）可知，， 以下分两种情况进行讨论： （1） 当n为偶数时，设n=2m 若，则， 若，则 . 所以，从而 （2） 当n为奇数时，设。 所以，从而 综合（1）和（2）可知，对任意有 5.（2010天津理）（22）（本小题满分14分） 在数列中，，且对任意.，，成等差数列，其公差为。 （Ⅰ）若=，证明，，成等比数列（） （Ⅱ）若对任意，，，成等比数列，其公比为。 【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。 （Ⅰ）证明：由题设，可得。 所以 = =2k(k+1) 由=0，得 于是。 所以成等比数列。 （Ⅱ）证法一：（i）证明：由成等差数列，及成等比数列，得 当≠1时，可知≠1，k 从而 所以是等差数列，公差为1。 （Ⅱ）证明：，，可得，从而=1.由（Ⅰ）有 所以 因此， 以下分两种情况进行讨论： （1） 当n为偶数时，设n=2m() 若m=1,则. 若m≥2，则 + 所以 (2)当n为奇数时，设n=2m+1（） 所以从而··· 综合（1）（2）可知，对任意,,有 证法二：（i）证明：由题设，可得 所以 由可知。可得， 所以是等差数列，公差为1。 （ii）证明：因为所以。 所以，从而，。于是，由（i）可知所以是公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得= ，故。 从而。 所以，由，可得 。 于是，由（i）可知 以下同证法一。 6.（2010湖南理）21．（本小题满分13分） 数列中，是函数的极小值点 （Ⅰ）当a=0时，求通项； （Ⅱ）是否存在a，使数列是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。 7.（2010江苏卷）19、（本小题满分16分） 设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。 （1）求数列的通项公式（用表示）； （2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。 [解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。 （1）由题意知：， ， 化简，得： ， 当时，，适合情形。 故所求 （2）（方法一） ， 恒成立。 又，， 故，即的最大值为。 （方法二）由及，得，。 于是，对满足题设的，，有 。 所以的最大值。 另一方面，任取实数。设为偶数，令，则符合条件，且。 于是，只要，即当时，。 所以满足条件的，从而。 因此的最大值为。 2009年高考题 一、选择题 1.（2009广东卷理）已知等比数列满足，且，则当时， A. B. C. D. 【解析】由得，，则， ，选C. 【答案】 C 2.（2009辽宁卷理）设等比数列{ }的前n 项和为 ，若 =3 ，则 = A. 2 B. C. D.3 【解析】设公比为q ,则＝1＋q3＝3 Þ q3＝2 于是 【答案】B 3.（2009宁夏海南卷理）等比数列的前n项和为，且4，2，成等差数列。若=1，则=( ) A.7 B.8 C.15 D.16 【解析】4，2，成等差数列，,选C. 【答案】 C 4.（2009湖北卷文）设记不超过的最大整数为[],令{}=-[]，则{}，[], A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B 【解析】可分别求得，.则等比数列性质易得三者构成等比数列. 5.（2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如： 他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是 A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C 【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项，则由可排除A、D，又由知必为奇数，故选C. 6..（2009安徽卷理）已知为等差数列，++=105，=99，以表示的前项和，则使得达到最大值的是 A.21 B.20 C.19 D. 18 【答案】 B 【解析】由++=105得即，由=99得即 ，∴，，由得，选B 7.（2009江西卷理）数列的通项，其前项和为，则为 A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】由于以3 为周期,故 故选A 8.（2009四川卷文）等差数列｛｝的公差不为零，首项＝1，是和的等比中项，则数列的前10项之和是 A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B 【解析】设公差为，则.∵≠0，解得＝2，∴＝10 二、填空题 9.（2009浙江文）设等比数列的公比，前项和为，则 ． 【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前项和的知识联系． 答案 15 解析 对于 10.（2009浙江文）设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列． 【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 答案： 解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，，成等比数列． 11.（2009北京理）已知数列满足：则________；=_________. 答案 1，0 解析 本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型. 依题意，得，. ∴应填1，0. 12..（2009江苏卷）设是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则= . 答案 -9 解析 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。 有连续四项在集合，四项成等比数列，公比为，= -9 13.(2009山东卷文)在等差数列中,,则. 解析 设等差数列的公差为,则由已知得解得,所以. 答案:13. 【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 14.(2009湖北卷理)已知数列满足：（m为正整数）， 若，则m所有可能的取值为__________。 答案 4 5 32 解析 （1）若为偶数，则为偶, 故 ①当仍为偶数时， 故 ②当为奇数时， 故得m=4。 （2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数 ，所以=1可得m=5 15.（2009宁夏海南卷理）等差数列{}前n项和为。已知+-=0，=38,则m=_______ 解析由+-=0得到。 答案10 16.（2009陕西卷文）设等差数列的前n项和为,若,则 . 解析:由可得的公差d=2,首项=2,故易得2n. 答案:2n 17.(2009陕西卷理)设等差数列的前n项和为,若,则 . 答案：1 18.（2009宁夏海南卷文）等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和= 解析 由得：，即，，解得：q＝2，又=1，所以，，＝。 答案 19.(2009湖南卷理)将正⊿ABC分割成（≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)= ，…，f(n)= (n+1)(n+2) 答案 解析 当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知 即 进一步可求得。由上知中有三个数，中 有6个数，中共有10个数相加 ，中有15个数相加….，若中有个数相加，可得 中有个数相加，且由 可得所以 = 20.（2009重庆卷理）设，，，，则数列的通项公式= ． 解析 由条件得且所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则 答案 2n+1 三、解答题 21.(2009年广东卷文)（本小题满分14分） 已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）. （1）求数列和的通项公式； （2）若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少? 解（1）, ,, . 又数列成等比数列， ，所以 ； 又公比，所以 ； 又,, ； 数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ； ()； （2） ； 由得，满足的最小正整数为112. 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列中， （I）设，求数列的通项公式 （II）求数列的前项和 分析：（I）由已知有 利用累差迭加即可求出数列的通项公式: () （II）由（I）知, = 而,又是一个典型的错位相减法模型， 易得 = 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.（2009北京理）已知数集具有性质；对任意的 ，与两数中至少有一个属于. （Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； （Ⅱ）证明：，且； （Ⅲ）证明：当时，成等比数列. 【解析】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分 分类讨论等数学思想方法．本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题. （Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P. 由于都属于数集， ∴该数集具有性质P. （Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A， 由于，∴，故. 从而，∴. ∵， ∴，故. 由A具有性质P可知. 又∵， ∴， 从而， ∴. （Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即， ∵，∴，∴， 由A具有性质P可知. ，得，且，∴， ∴，即是首项为1，公比为成等比数列..k.s.5. 24.（2009江苏卷）设是公差不为零的等差数列，为其前项和，满足。 （1）求数列的通项公式及前项和； （2）试求所有的正整数，使得为数列中的项。 【解析】 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。 （1）设公差为，则，由性质得，因为，所以，即，又由得 ，解得，, (2) （方法一）=,设， 则=, 所以为8的约数 （方法二）因为为数列中的项， 故为整数，又由（1）知：为奇数，所以 经检验，符合题意的正整数只有。 25（2009江苏卷）对于正整数≥2，用表示关于的一元二次方程有实数根的有序数组的组数，其中（和可以相等）；对于随机选取的（和可以相等），记为关于的一元二次方程有实数根的概率。 （1）求和； （2）求证：对任意正整数≥2，有. 【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。 26.（2009山东卷理)等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立 解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为, （2）当b=2时，, 则,所以 下面用数学归纳法证明不等式成立. ① 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. ① 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边= 所以当时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式. 27.（2009广东卷理）知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为． （1）求数列的通项公式； （2）证明：. 解：（1）设直线：，联立得，则，∴（舍去） ，即，∴ （2）证明：∵ ∴ 由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又， 则有，即. 28.（2009安徽卷理）首项为正数的数列满足 （I）证明：若为奇数，则对一切都是奇数； （II）若对一切都有，求的取值范围. 解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。 解：（I）已知是奇数，假设是奇数，其中为正整数， 则由递推关系得是奇数。 根据数学归纳法，对任何，都是奇数。 （II）（方法一）由知，当且仅当或。 另一方面，若则；若，则 根据数学归纳法， 综合所述，对一切都有的充要条件是或。 （方法二）由得于是或。 因为所以所有的均大于0，因此与同号。 根据数学归纳法，，与同号。 因此，对一切都有的充要条件是或。 29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列，，且对满足的正整数都有 （1）当时，求通项 （2）证明：对任意，存在与有关的常数，使得对于每个正整数，都有 解：（1）由得 将代入化简得 所以 故数列为等比数列，从而 即 可验证，满足题设条件. (2) 由题设的值仅与有关,记为则 考察函数 ,则在定义域上有 故对， 恒成立. 又 , 注意到,解上式得 取,即有 . 30. (2009湖北卷理)已知数列的前n项和（n为正整数）。 （Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式； (Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。 解（I）在中，令n=1，可得，即 当时，， . . 又数列是首项和公差均为1的等差数列. 于是. (II)由（I）得，所以 由①-②得 于是确定的大小关系等价于比较的大小 由 可猜想当证明如下： 证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。 （2）假设时 所以当时猜想也成立 综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有 证法2：当时 综上所述，当，当时 31.（2009四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。 （I）求数列与数列的通项公式； （II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由； （III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有； 解（I）当时， 又 ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴， …………………………………3分 （II）不存在正整数，使得成立。 证明：由（I）知 ∴当n为偶数时，设 ∴ 当n为奇数时，设 ∴ ∴对于一切的正整数n，都有 ∴不存在正整数，使得成立。 …………………………………8分 （III）由得 又， 当时，， 当时， 32.（2009湖南卷文）对于数列,若存在常数M＞0,对任意的，恒有 , 则称数列为数列. （Ⅰ）首项为1，公比为的等比数列是否为B-数列？请说明理由; （Ⅱ）设是数列的前n项和.给出下列两组判断： A组：①数列是B-数列, ②数列不是B-数列; B组：③数列是B-数列, ④数列不是B-数列. 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论； (Ⅲ)若数列是B-数列，证明：数列也是B-数列。 解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为,则.于是 == 所以首项为1，公比为的等比数列是B-数列 . （Ⅱ）命题1：若数列是B-数列，则数列是B-数列.此命题为假命题. 事实上设=1，，易知数列是B-数列，但=n， . 由n的任意性知，数列不是B-数列。 命题2：若数列是B-数列，则数列不是B-数列。此命题为真命题。 事实上，因为数列是B-数列，所以存在正数M，对任意的，有 , 即.于是 , 所以数列是B-数列。 （注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） (Ⅲ)若数列是B-数列，则存在正数M，对任意的有 . 因为 . 记，则有 . 因此. 故数列是B-数列. 33. (2009陕西卷理) 已知数列满足， . 猜想数列的单调性，并证明你的结论； （Ⅱ)证明：。 证明（1）由 由猜想：数列是递减数列 下面用数学归纳法证明： （1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即 易知，那么 = 即 也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当n=1时，，结论成立 当时，易知 34.（2009四川卷文）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有 成立，记 （I）求数列与数列的通项公式； （II）设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立？若存在，找出一个正整数；若不存在，请说明理由； （III）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有； 解（I）当时， 又 ∴数列是首项为，公比为的等比数列， ∴， …………………………………3分 （II）不存在正整数，使得成立。 证明：由（I）知 ∴当n为偶数时，设 ∴ 当n为奇数时，设 ∴ ∴对于一切的正整数n，都有 ∴不存在正整数，使得成立。 …………………………………8分 （III）由得 又， 当时，， 当时， …………………………………14分 35.（2009天津卷理）已知等差数列{}的公差为d（d0），等比数列{}的公比为q（q>1）。设=+…..+ ,=-+…..+(-1 ,n (I) 若== 1，d=2，q=3，求 的值； (II) 若=1，证明（1-q）-（1+q）=，n； (Ⅲ) 若正数n满足2nq，设的两个不同的排列， ， 证明。 本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识，考查运算能力，推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力，满分14分。 （Ⅰ）解：由题设，可得 所以， （Ⅱ）证明：由题设可得则 ① ② ① 式减去②式，得 ① 式加上②式，得 ③ ② 式两边同乘q，得 所以， (Ⅲ)证明： 因为所以 （1） 若，取i=n （2） 若，取i满足且 由（1）,(2)及题设知，且 ① 当时，得 即，…， 又所以 因此 ② 当同理可得，因此 综上， 36.（2009四川卷理）设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。 （I）求数列的通项公式； （II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有； （III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。 本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。 解：（Ⅰ）当时， 又 数列成等比数列，其首项，公比是 ……………………………………..3分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 = 又 当 当 （Ⅲ）由（Ⅰ）知 一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设 则 > 对一切大于1的奇数n恒成立 只对满足的正奇数n成立，矛盾。 另一方面，当时，对一切的正整数n都有 事实上，对任意的正整数k，有 当n为偶数时，设 则 < 当n为奇数时，设 则 < 对一切的正整数n，都有 综上所述，正实数的最小值为4………………………….14分 37.（2009年上海卷理）已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列。 （1） 若，是否存在，有说明理由； （2） 找出所有数列和，使对一切,,并说明理由； （3） 若试确定所有的，使数列中存在某个连续项的和是数列中的一项，请证明。 [解法一]（1）由，得， ．．．．．．2分 整理后，可得，、，为整数， 不存在、，使等式成立。 ．．．．．．5分 （2）若，即， （*） （ⅰ）若则。 当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。 ．．．．．．7分 （ⅱ）若，（*）式等号左边取极限得，（*）式等号右边的极限只有当时，才能等于1。此时等号左边是常数，，矛盾。 综上所述，只有当{}为非零常数列，{}为恒等于1的常数列，满足要求。．．．．．．10分 【解法二】设 则 （i） 若d=0，则 （ii） 若（常数）即，则d=0，矛盾 综上所述，有， 10分 （3） 设. ， . 13分 取 15分 由二项展开式可得正整数M1、M2，使得（4-1）2s+2=4M1+1, 故当且仅当p=3s,sN时，命题成立. 说明：第（3）题若学生从以下角度解题，可分别得部分分（即分步得分） 若p为偶数，则am+1+am+2+……+am+p为偶数，但3k为奇数 故此等式不成立，所以，p一定为奇数。 当p=1时，则am+1=bk,即4m+5=3k， 而3k=(4-1)k = 当ｋ为偶数时，存在ｍ，使４ｍ＋５＝3k成立 1分 当p=3时，则am+1+am+2+am+3=bk,即3am+2-bk, 也即3（4m+9）=3k,所以4m+9=3k-1,4(m+1)+5=3k-1 由已证可知，当k-1为偶数即k为奇数时，存在m, 4m+9=3k成立 2分 当p=5时，则am+1+am+2+……+am+5=bk,即5am+3=bk 也即5（4m+13）=3k,而3k不是5的倍数，所以，当p=5时，所要求的m不存在 故不是所有奇数都成立. 2分 38.(2009重庆卷理）设个不全相等的正数依次围成一个圆圈． （Ⅰ）若，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足：，求通项； （Ⅱ）若每个数是其左右相邻两数平方的等比中项，求证：； 解：（I）因是公比为d的等比数列，从而 由 ，故 解得或（舍去）。因此 又 。解得 从而当时， 当时，由是公比为d的等比数列得 因此 （II）由题意得 有①得 ④ 由①，②，③得， 故. ⑤ 又，故有 .⑥ 下面反证法证明： 若不然，设 若取即，则由⑥得，而由③得 得由②得而 ④及⑥可推得（）与题设矛盾 同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾,因此为6的倍数 由均值不等式得 由上面三组数内必有一组不相等（否则，从而与题设矛盾），故等号不成立，从而 又，由④和⑥得 因此由⑤得 2005—2008年高考题 一、选择题 1.（2008江西卷）在数列中，， ，则（ ） A． B． C． D． 答案 A 2.（2007福建）数列的前项和为，若，则等于（ ） A．1 B． C． D． 答案 B 3.（2007宁夏）已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ） Ａ．3 Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ． 答案 B 4．（2006江西卷）已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若 ，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200＝（ ） A．100 B. 101 C.200 D.201 解析 依题意，a1＋a200＝1，故选A 答案 A 5. (2005重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) A. 4 B.5. C.6 D.7 答案 C 二、填空题 6.（2008江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ． ． ． ． ． ． ． 按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ． 答案 7.（2008湖北）观察下列等式： …………………………………… 可以推测，当≥2（）时， . 答案 0 8.（2007重庆）设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则_____. 答案 18 9．（2006广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第堆第层就放一个乒乓球，以表示第堆的乒乓球总数，则；（答案用表示）. 答案 10， 三、解答题 10.（2008全国I）设函数．数列满足，． （Ⅰ）证明：函数在区间是增函数； （Ⅱ）证明：； （Ⅲ）设，整数．证明：． （Ⅰ）证明：， 故函数在区间(0,1)上是增函数； （Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，，， 由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，，即成立； （ⅱ）假设当时，成立，即 那么当时，由在区间是增函数，得 .而，则， ，也就是说当时，也成立； 根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数，恒成立. （Ⅲ）证明：由．可 1， 若存在某满足，则由⑵知： 2， 若对任意都有，则 ，即成立. 11.（2008山东卷)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …… 记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n 项和，且满足＝1=（n≥2）. (Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和. 12.(2007湖南)已知（）是曲线上的点，，是数列的前项和，且满足，，…． （I）证明：数列（）是常数数列； （II）确定的取值集合，使时，数列是单调递增数列； （III）证明：当时，弦（）的斜率随单调递增 解：（I）当时，由已知得． 因为，所以． …… ① 于是． ……② 由②－①得． …… ③ 于是． …… ④ 由④－③得， …… ⑤ 所以，即数列是常数数列． （II）由①有，所以．由③有，，所以，． 而 ⑤表明：数列和分别是以，为首项，6为公差的等差数列， 所以，，， 数列是单调递增数列且对任意的成立． 且 ． 即所求的取值集合是． （III）解法一：弦的斜率为 任取，设函数，则 记，则， 当时，，在上为增函数， 当时，，在上为减函数， 所以时，，从而，所以在和上都是增函数． 由（II）知，时，数列单调递增， 取，因为，所以． 取，因为，所以． 所以，即弦的斜率随单调递增． 解法二：设函数，同解法一得，在和上都是增函数， 所以，． 故，即弦的斜率随单调递增． 13.（2007浙江）已知数列{}中的相邻两项、是关于x的方程 的两个根，且≤ (k ＝1，2，3，…)． (I)求及 (n≥4)(不必证明)；(Ⅱ)求数列{}的前2n项和S2n． (I)解：方程的两个根为． 当k＝1时，，所以； 当k＝2时，，所以； 当k＝3时，，所以； 当k＝4时，，所以； 因为n≥4时，，所以 （Ⅱ）＝． 14.（2007四川）已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,u）（u,N +），其中为正实数. （Ⅰ）用xx表示xn+1； （Ⅱ）若a1=4，记an=lg，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式； （Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3. 解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力． （Ⅰ）由题可得． 所以曲线在点处的切线方程是：． 即． 令，得． 即． 显然，∴． （Ⅱ）由，知，同理． 故． 从而，即．所以，数列成等比数列． 故． 即． 从而 所以 （Ⅲ）由（Ⅱ）知， ∴ ∴ 当时，显然． 当时， ∴ ． 综上，． 15.（2005湖南）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N*，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c. （Ⅰ）求xn+1与xn的关系式； （Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （Ⅲ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N*，则捕捞强度b的 最大允许值是多少？证明你的结论. 解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得 因为x1>0，所以a>b. 猜测：当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变. （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N* 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知 0查看更多