2012高考湖南理科数学试题及答案(高清版)

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2012高考湖南理科数学试题及答案(高清版)

2012 年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(湖南卷) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则 M∩N 等于( ) A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,1} 2.命题“若 π 4   ,则 tanα=1”的逆否命题是( ) A.若 π 4   ,则 tanα≠1 B.若 π 4   ,则 tanα≠1 C.若 tanα≠1,则 π 4   D.若 tanα≠1,则 π 4   3.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( ) 4.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组 样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为  0.85 85.71y x  ,则 下列结论中不正确的是( ) A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心 ( , )x y C.若该大学某女生身高增加 1 cm,则其体重约增加 0.85 kg D.若该大学某女生身高为 170 cm,则可断定其体重必为 58.79 kg 5.已知双曲线 C: 2 2 2 2 1x y a b   的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程 为( ) A. 2 2 120 5 x y  B. 2 2 15 20 x y  C. 2 2 180 20 x y  D. 2 2 120 80 x y  6.函数 f(x)=sinx-cos(x+ π 6 )的值域为( ) A.[-2,2] B.[ 3, 3] C.[-1,1] D. 3 3[ , ]2 2  7.在△ABC 中,AB=2,AC=3, 1AB BC   ,则 BC 等于( ) A. 3 B. 7 C. 2 2 D. 23 8.已知两条直线 l1:y=m 和 l2: 8 2 1y m   (m>0),l1 与函数 y=|log2x|的图象从左至 右相交于点 A,B,l2 与函数 y=|log2x|的图象从左至右相交于点 C,D.记线段 AC 和 BD 在 x 轴上的投影长度分别为 a,b,当 m 变化时, b a 的最小值为( ) A.16 2 B.8 2 C. 38 4 D. 34 4 二、填空题:本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.把答案填在 答题卡中对应题号后的横线上. (一)选做题(请考生在第 9,10,11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分) 9.在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1: 1 1 2 x t y t      , (t 为参数)与曲线 C2: sin 3cos x a y      , (θ 为参数,a>0)有一个公共点在 x 轴上,则 a=________. 10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为__________________. 11.如图,过点 P 的直线与 O 相交于 A,B 两点,若 PA=1,AB=2,PO=3,则 O 的半径等于________. (二)必做题(12~16 题) 12.已知复数 z=(3+i)2(i 为虚数单位),则|z|=________. 13. 61(2 )x x  的二项展开式中的常数项为________.(用数字作答) 14.如果执行如图所示的程序框图,输入 x=-1,n=3,则输出的数 S=________. 理图 文图 15.函数 f(x)=sin(ωx+φ)的导函数 y=f′(x)的部分图象如图所示,其中,P 为图象与 y 轴的交点,A,C 为图象与 x 轴的两个交点,B 为图象的最低点. (1)若 π 6   ,点 P 的坐标为(0, 3 3 2 ),则ω=________; (2)若在曲线段 ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率为 ________. 16.设 N=2n(n∈N*,n≥2),将 N 个数 x1,x2,…,xN 依次放入编号为 1,2,…,N 的 N 个位置,得到排列 P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺 序依次放入对应的前 2 N 和后 2 N 个位置,得到排列 P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,将此操作称为 C 变换.将 P1 分成两段,每段 2 N 个数,并对每段作 C 变换,得到 P2;当 2≤i≤n-2 时,将 Pi 分成 2i 段,每段 2i N 个数,并对每段作 C 变换,得到 Pi + 1.例如,当 N=8 时,P2= x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置. (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第________个位置; (2)当 N=2n(n≥8)时,x173 位于 P4 中的第________个位置. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市 购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购 物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件 及以上 顾客 数(人) x 30 25 y 10 结算时间 (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (2)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该 顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率. 18.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB =∠ABC=90°,E 是 CD 的中点. (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求四棱锥 P- ABCD 的体积. 19.已知数列{an}的各项均为正数,记 A(n)=a1+a2+…+an,B(n)=a2+a3+…+an+1, C(n)=a3+a4+…+an+2,n=1,2,…. (1)若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N*,三个数 A(n),B(n),C(n)组成等差数列,求数列{an} 的通项公式; (2)证明:数列{an}是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n∈N*,三个数 A(n),B(n),C(n)组成公比为 q 的等比数列. 20.某企业接到生产 3 000 台某产品的 A,B,C 三种部件的订单,每台产品需要这三 种部件的数量分别为 2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产 A 部件 6 件,或 B 部件 3 件,或 C 部件 2 件.该企业计划安排 200 名工人分成三组分别生产这三种部件,生产 B 部 件的人数与生产 A 部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (1)设生产 A 部件的人数为 x,分别写出完成 A,B,C 三种部件生产需要的时间; (2)假设这三种部件的生产同时开工,试确定正整数 k 的值,使完成订单任务的时间最 短,并给出时间最短时具体的人数分组方案. 21.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的点均在圆 C2:(x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上任 意一点 M,M 到直线 x=-2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交 于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积 为定值. 22.已知函数 f(x)=eax-x,其中 a≠0. (1)若对一切 x∈R,f(x)≥1 恒成立,求 a 的取值集合; (2)在函数 f(x)的图象上取定两点 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))(x1<x2),记直线 AB 的斜率为 k.问:是否存在 x0∈(x1,x2),使 f′(x0)>k 成立?若存在,求 x0 的取值范围;若不存在,请说 明理由. 1. B 由 N={x|x2≤x},得 x2-x≤0⇒x(x-1)≤0, 解得 0≤x≤1.又∵M={-1,0,1}, ∴M∩N={0,1}. 2. C 命题“若 π 4   ,则 tanα=1”的逆否命题是“若 tanα≠1,则 π 4   ”. 3. D 若为 D 项,则主视图如图所示,故不可能是 D 项. 4. D D 项中,若该大学某女生身高为 170 cm,则其体重约为:0.85×170-85.71= 58.79(kg).故 D 项不正确. 5. A 由 2c=10,得 c=5, ∵点 P(2,1)在直线 by xa  上, ∴ 21 b a  .又∵a2+b2=25,∴a2=20,b2=5. 故 C 的方程为 2 2 120 5 x y  . 6. B f(x)=sinx-cos(x+ π 6 ) = 3 1sin ( cos sin )2 2x x x  = 3 3sin cos2 2x x = 3 13( sin cos )2 2x x = π3sin( ) [ 3, 3]6x    . 故选 B 项. 7. A ∵ | || |cos(π ) 2| |( cos ) 1AB BC AB BC B BC B            , ∴ 1cos 2 | | B BC    . 又∵ 2 2 2| | | | | |cos 2 | | | | AB BC ACB AB BC         = 24 | | 9 1 2 2 | | 2 | | BC BC BC          , ∴ 2| | =3BC  . ∴ | |= 3BC BC  . 8. B 由题意作出如下的示意图. 由图知 a=|xA-xC|,b=|xD-xB|, 又∵xA·xB=1,xC·xD=1, ∴ 1 1| | 1 | | | | C A A C A C x xb a x x x x    . yA+yC=-log2xA-log2xC =-log2xAxC= 8 2 1 8 1 7 2 1 2 2 1 2 2 mm m m       , 当且仅当 2 1 8 2 2 1 m m    ,即 3 2m  时取等号. 由-log2xAxC≥ 7 2 ,得 log2xAxC≤ 7 2  ,即 0<xAxC≤ 7 22  从而 7 21 2 8 2| |A C b a x x    , 当 3 2m  时, b a 取得最小值8 2 ,故选 B 项. 9.答案: 3 2 解析:∵C1: 1, 1 2 , x t y t      ∴C1 的方程为 2x+y-3=0. ∵C2: sin , 3cos , x a y      ∴C2 的方程为 2 2 2 19 x y a   . ∵C1 与 C2 有一个公共点在 x 轴上,且 a>0, ∴C1 与 x 轴的交点( 3 2 ,0)在 C2 上, 代入解得 3 2a  . 10.答案:{x|x> 1 4 } 解析:对于不等式|2x+1|-2|x-1|>0,分三种情况讨论: 1°,当 1 2x   时,-2x-1-2(-x+1)>0, 即-3>0,故 x 不存在; 2°,当 1 12 x   时,2x+1-2(-x+1)>0, 即 1 14 x  ; 3°,当 x>1 时,2x+1-2(x-1)>0,3>0, 故 x>1. 综上可知, 1 4x  ,不等式的解集是 1 4x x     . 11.答案: 6 解析:过 P 作圆的切线 PC 切圆于 C 点,连结 OC. ∵PC2=PA·PB=1×3=3, ∴ 3PC  . 在 Rt△POC 中, 2 2 6OC PO PC   . 12.答案:10 解析:∵z=(3+i)2,∴|z|=32+12=10. 13.答案:-160 解析: 61(2 )x x  的通项为 6 1 6 1C (2 ) ( )r r r rT x x     =(-1)r 6Cr 26-rx3-r.当 3-r=0 时,r=3. 故(-1)3 3 6C 26-3=- 3 6C 23=-160. 14.答案:-4 解析:输入 x=-1,n=3. i=3-1=2,S=6×(-1)+2+1=-3; i=2-1=1,S=(-3)×(-1)+1+1=5; i=1-1=0,S=5×(-1)+0+1=-4; i=0-1=-1,-1<0,输出 S=-4. 15.答案:(1)3 (2) π 4 f(x)=sin(ωx+φ),f′(x)=ωcos(ωx+φ). 解析:(1) π 6   时,f′(x)=ωcos(ωx+ π 6 ). ∵ 3 3'(0) 2f  ,即 π 3 3cos 6 2   ,∴ω=3. (2)当ωx+φ= π 2 时, π 2x     ; 当ωx+φ= 3π 2 时, 3π 2x     . 由几何概型可知,该点在△ABC 内的概率为 3π 2 π 2 1 2π 11 | | | || | | | 2 22 3π 2[0 cos( )] sin( ) π 2 AC P x x                           = π 2 3π π 2 2sin( ) sin( )                = π 2 3π πsin( ) sin( )2 2   = π π2 1 1 4  . 16.答案:(1)6 (2)3×2n-4+11 解析:(1)由题意知,当 N=16 时,P0=x1x2x3x4x5…x16,P1=x1x3x5…x15x2x4…x16,则 P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16, 此时 x7 位于 P2 中的第 6 个位置. (2)方法同(1),归纳推理知 x173 位于 P4 中的第 3×2n-4+11 个位置. 17.解:(1)由已知得 25+y+10=55,x+30=45,所以 x=15,y=20, 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的 100 位顾客一次购物的结 算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本.将频率视为概率得 15 3( 1) 100 20P X    , 30 3( 1.5) 300 10P X    , 25 1( 2) 100 4P X    , 20 1( 2.5) 100 5P X    , 10 1( 3) 100 10P X    . X 的分布列为 X 1 1.5 2 2.5 3 P 3 20 3 10 1 4 1 5 1 10 X 的数学期望为   3 3 1 1 11 1.5 2 2.5 3 1.920 10 4 5 10E X     = + + + + = . (2)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟”,Xi(i=1,2)为该顾客前面 第 i 位顾客的结算时间,则 P(A)=P(X1=1 且 X2=1)+P(X1=1 且 X2=1.5)+P(X1=1.5 且 X2=1). 由于各顾客的结算相互独立,且 X1,X2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以 P(A)=P(X1=1)×P(X2=1)+P(X1=1)×P(X2=1.5)+P(X1=1.5)×P(X2=1) = 3 3 3 3 3 3 9 20 20 20 10 10 20 80       . 故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为 9 80 . 18.解:解法一:(1)如图所示,连接 AC.由 AB=4,BC=3,∠ABC=90°得 AC=5.又 AD=5, E 是 CD 的中点,所以 CD⊥AE.因为 PA⊥平面 ABCD,CD 平面 ABCD,所以 PA⊥CD.而 PA,AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE. (2)过点 B 作 BG∥CD,分别与 AE,AD 相交于点 F,G,连结 PF. 由(1)CD⊥平面 PAE 知,BG⊥平面 PAE.于是∠BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角, 且 BG⊥AE. 由 PA⊥平面 ABCD 知,∠PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角. 由题意∠PBA=∠BPF,因为 sin∠PBA= PA PB ,sin∠BPF= BF PB ,所以 PA=BF. 由∠DAB=∠ABC=90°知,AD∥BC. 又 BG∥CD,所以四边形 BCDG 是平行四边形. 故 GD=BC=3,于是 AG=2. 在 Rt△BAG 中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以 2 2 2 5BG AB AG   , 2 16 8 5 52 5 ABBF BG    . 于是 PA=BF= 8 5 5 . 又梯形 ABCD 的面积为 S= 1 2 ×(5+3)×4=16,所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 1 1 8 5 128 5163 3 5 15V S PA       . 解法二:如图所示,以 A 为坐标原点,AB,AD,AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴 建立空间直角坐标系.设 PA=h,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0), E(2,4,0),P(0,0,h). (1)易知CD  =(-4,2,0), AE  =(2,4,0), AP  =(0,0,h). 因为 CD AE  =-8+8+0=0, CD AP  =0,所以 CD⊥AE,CD⊥AP,而 AP,AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE. (2)由题设和(1)知, CD  , PA  分别是平面 PAE,平面 ABCD 的法向量. 而 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,所以 |cos , | |cos , |CD PB PA PB    , 即 CD PB PA PB CD PB PA PB             . 由(1)知, CD  =(-4,2,0), PA  =(0,0,-h). 又 PB  =(4,0,-h),故 2 2 2 16 0 0 0 0| | | | 2 5 16 16 h h h h          . 解得 8 5 5h  . 又梯形 ABCD 的面积为 S= 1 2 ×(5+3)×4=16,所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 1 1 8 5 128 5163 3 5 15V S PA       . 19.解:(1)对任意 n∈N*,三个数 A(n),B(n),C(n)是等差数列,所以 B(n)-A(n)=C(n)-B(n), 即 an+1-a1=an+2-a2,亦即 an+2-an+1=a2-a1=4. 故数列{an} 是首项为 1,公差为 4 的等差数列. 于是 an=1+(n-1)×4=4n-3. (2)①必要性:若数列{an}是公比为 q 的等比数列,则对任意 n∈N*,有 an+1=anq.由 an >0 知,A(n),B(n),C(n)均大于 0,于是 2 3 1 1 2 1 2 1 2 ( )( ) ( ) n n n n a a a q a a aB n qA n a a a a a a              … … … … , 3 4 2 2 3 1 2 3 1 2 3 1 ( )( ) ( ) n n n n a a a q a a aC n qB n a a a a a a                  … … … … , 即 ( ) ( ) ( ) ( ) B n C n qA n B n   .所以三个数 A(n),B(n),C(n)组成公比为 q 的等比数列. ②充分性:若对任意 n∈N*,三个数 A(n),B(n),C(n)组成公比为 q 的等比数列,则 B(n)=qA(n),C(n)=qB(n). 于是 C(n)-B(n)=q[B(n)-A(n)],得 an+2-a2=q(an+1-a1),即 an+2-qan+1=a2-qa1. 由 n=1 有 B(1)=qA(1),即 a2=qa1,从而 an+2-qan+1=0. 因为 an>0,所以 2 2 1 1 n n a a qa a     . 故数列{an}是首项为 a1,公比为 q 的等比数列. 综上所述,数列{an}是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n∈N*,三个数 A(n),B(n),C(n)组成公比为 q 的等比数列. 20.解:(1)设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为 T1(x), T2(x),T3(x),由题设有 1 2 3000 1000( ) 6T x x x   , 2 2000( )T x kx  , 3 1500( ) 200 (1 )T x k x    , 其中 x,kx,200-(1+k)x 均为 1 到 200 之间的正整数. (2)完成订单任务的时间为 f(x)= max{T1(x),T2(x),T3(x)},其定义域为{x|0<x< 200 1 k ,x∈N*}.易知,T1(x),T2(x)为 减函数,T3(x)为增函数.注意到 T2(x)= 2 k T1(x),于是 ①当 k=2 时,T1(x)=T2(x),此时 f(x)=max{T1(x),T3(x)} =max{ 1000 1500, 200 3x x }. 由函数 T1(x),T3(x)的单调性知,当1000 1500 200 3x x   时 f(x)取得最小值,解得 400 9x  . 由于 40044 459   ,而 f(44)=T1(44)= 250 11 ,f(45)=T3(45)= 300 13 ,f(44)<f(45). 故当 x=44 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f(44)= 250 11 . ②当 k>2 时,T1(x)>T2(x),由于 k 为正整数,故 k≥3,此时 1500 1500 375 200 (1 ) 200 (1 3) 50k x x x       . 记 375( ) 50T x x   ,φ(x)=max{T1(x),T(x)},易知 T(x)是增函数,则 f(x)=max{T1(x),T3(x)}≥max{T1(x),T(x)} =φ(x)=max{ 1000 375, 50x x }. 由函数 T1(x),T(x)的单调性知,当1000 375 50x x   时φ(x)取最小值,解得 400 11x  . 由于 40036 3711   ,而φ(36)=T1(36)= 250 250 9 11  ,φ(37)=T(37)= 375 250 13 11  . 此时完成订单任务的最短时间大于 250 11 . ③当 k<2 时,T1(x)<T2(x),由于 k 为正整数,故 k=1,此时 f(x)=max{T2(x),T3(x)}=max{ 2000 750,100x x }. 由函数 T2(x),T3(x)的单调性知,当 2000 750 100x x   时 f(x)取最小值,解得 800 11x  , 类似①的讨论,此时完成订单任务的最短时间为 250 9 ,大于 250 11 . 综上所述,当 k=2 时,完成订单任务的时间最短,此时,生产 A,B,C 三种部件的人 数分别为 44,88,68. 21.解:(1)方法一:设 M 的坐标为(x,y), 由已知得 2 2| 2| ( 5) 3x x y     . 易知圆 C2 上的点位于直线 x=-2 的右侧,于是 x+2>0,所以 2 2( 5) 5x y x   + . 化简得曲线 C1 的方程为 y2=20x. 方法二:由题设知,曲线 C1 上任意一点 M 到圆 C2 圆心(5,0)的距离等于它到直线 x=- 5 的距离.因此,曲线 C1 是以(5,0)为焦点,直线 x=-5 为准线的抛物线.故其方程为 y2= 20x. (2)当点 P 在直线 x=-4 上运动时,P 的坐标为(-4,y0).又 y0≠±3,则过 P 且与圆 C2 相切的直线的斜率 k 存在且不为 0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为 y-y0 =k(x+4),即 kx-y+y0+4k=0.于是 0 2 | 5 4 | 3 1 k y k k     . 整理得 72k2+18y0k+y02-9=0.① 设过 P 所作的两条切线 PA,PC 的斜率分别为 k1,k2,则 k1,k2 是方程①的两个实根.故 0 0 1 2 18 72 4 y yk k     .② 由 1 0 1 2 4 0, 20 k x y y k y x       得 k1y2-20y+20(y0+4k1)=0.③ 设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1,y2,y3,y4,则 y1,y2 是方程③的两个实根, 所以 0 1 1 2 1 20( 4 )y ky y k  .④ 同理可得 0 2 3 4 2 20( 4 )y ky y k  .⑤ 于是由②④⑤三式得 0 1 0 2 1 2 3 4 1 2 400( 4 )( 4 )y k y ky y y y k k   = 2 0 1 2 0 1 2 1 2 400[ 4( ) 16 ]y k k y k k k k    = 2 2 0 0 1 2 1 2 400( 16 ) 6 400y y k k k k    . 所以,当 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6 400. 22.解:(1)若 a<0,则对一切 x>0,f(x)=eax-x<1,这与题设矛盾.又 a≠0,故 a >0. 而 f′(x)=aeax-1,令 f′(x)=0 得 1 1lnx a a  . 当 1 1lnx a a  时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当 1 1lnx a a  时,f′(x)>0,f(x)单调递增.故 当 1 1lnx a a  时,f(x)取最小值 1 1 1 1 1( ln ) lnf a a a a a   . 于是对一切 x∈R,f(x)≥1 恒成立.当且仅当 1 1 1ln 1a a a   .① 令 g(t)=t-tlnt,则 g′(t)=-lnt. 当 0<t<1 时,g′(t)>0,g(t)单调递增; 当 t>1 时,g′(t)<0,g(t)单调递减. 故当 t=1 时,g(t)取最大值 g(1)=1.因此,当且仅当 1 1a  ,即 a=1 时,①式成立. 综上所述,a 的取值集合为{1}. (2)由题意知, 2 1 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) e e 1 ax axf x f xk x x x x      . 令φ(x)=f′(x)-k=aeax- 2 1 2 1 e eax ax x x   .则 φ(x1)= 1 2 1 eax x x   [ea(x2-x1)-a(x2-x1)-1], φ(x2)= 2 2 1 eax x x [ea(x1-x2)-a(x1-x2)-1]. 令 F(t)=et-t-1,则 F′(t)=et-1. 当 t<0 时,F′(t)<0,F(t)单调递减; 当 t>0 时,F′(t)>0,F(t)单调递增. 故当 t≠0 时,F(t)>F(0)=0,即 et-t-1>0. 从而 ea(x2 -x1)-a(x2 -x1)-1>0,ea(x1 -x2)-a(x1 -x2)-1>0.又 1 2 1 e 0 ax x x  , 2 2 1 e 0 ax x x  ,所以φ(x1)<0,φ(x2)>0. 因为函数 y=φ(x)在区间[x1,x2]上的图象是连续不断的一条曲线,所以存在 c∈(x1,x2), 使得φ(c)=0.又φ′(x)=a2eax>0,φ(x)单调递增,故这样的 c 是唯一的,且   2 1 2 1 1 e eln ax ax c a a x x   . 故当且仅当   2 1 2 2 1 1 e eln , ax ax x xa a x x      时,f′(x)>k. 综上所述,存在 x0∈(x1,x2),使 f′(x0)>k 成立,且 x0 的取值范围为   2 1 2 2 1 1 e eln , ax ax xa a x x      .
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