一轮效果监测高考数学一轮复习检测平面向量的数量积及平面向量的应用Word版含解析
平面向量的数量积及平面向量的应用
【选题明细表】
知识点、方法
题号
数量积的运算
1、4、9
长度及垂直问题
1、2、3、5
夹角问题
7、10
平面向量的应用
6、8、11、12
一、选择题
1.(2012年高考重庆卷)设x∈R,向量a=(x,1),b=(1,-2),且a⊥b,则|a+b|等于( B )
(A) (B) (C)2 (D)10
解析:∵a⊥b,∴x-2=0,
∴x=2.
∴|a+b|====.故选B.
2.(2013乐山市第一次调研)已知两点A(-1,0),B(1,3),向量a=(2k-1,2),若⊥a,则实数k的值为( C )
(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2
解析:由=(2,3),因为⊥a,
所以2(2k-1)+2×3=0,
得k=-1,故选C.
3.(2012年高考辽宁卷)已知两个非零向量a、b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( B )
(A)a∥b (B)a⊥b
(C)|a|=|b| (D)a+b=a-b
解析:法一 代数法:将原式平方得|a+b|2=|a-b|2,
∴a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,∴a·b=0,∴a⊥b,
故选B.
法二 几何法:如图所示,
在▱ABCD中,设=a,=b,
∴=a+b,=a-b,
∵|a+b|=|a-b|,
∴平行四边形两条对角线长度相等,即平行四边形ABCD为矩形,
∴a⊥b,故选B.
4.(2013玉溪一中月考)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则向量a在向量b方向上的投影是( A )
(A)-4 (B)4 (C)-2 (D)2
解析:cos
===-,
向量a在向量b方向上的投影为
|a|cos=6×(-)=-4,
故选A.
5.(2012东北四校联考)已知平面向量a和b,|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为120°,则|2a+b|等于( A )
(A)2 (B)4 (C)2 (D)6
解析:由题意可知|2a+b|2=4a2+b2+4a·b=4|a|2+|b|2+4|a||b|·cos 120°=4,所以|2a+b|=2,故选A.
6.(2013成都市高三一诊模拟)已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,1),则|2a-b|的最大值和最小值分别为( B )
(A)4,0 (B)4,0 (C)16,0 (D)4,4
解析:|2a-b|=|(2cos θ-,2sin θ-1)|
=
=,
所以最大值和最小值分别为4,0.
故选B.
二、填空题
7.单位圆上三点A,B,C满足++=0,则向量,的夹角为 .
解析:∵A,B,C为单位圆上三点 ,
∴||=||=||=1,又++=0,
∴-=+,
∴=(+)2=++2·,
可得cos<,>=-,
∴向量,的夹角为120°.
答案:120°
8.(2011年高考天津卷)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,
∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为 .
解析:如图建立平面直角坐标系,
设C(0,b),则B(1,b),
又A(2,0),设P(0,y),
则+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),
∴|+3|2=25+(3b-4y)2,
∴当3b-4y=0,即y=b时,
|+3|2的最小值为25.
∴|+3|的最小值为5.
答案:5
9.(2012德州一模)已知a=(m,n),b=(p,q),定义a⊗b=mn-pq,下列等式中,
①a⊗a=0;②a⊗b=b⊗a;③(a+b)⊗a=a⊗a+b⊗a;
④(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),
一定成立的是 .(填上所有正确等式的序号)
解析:由a⊗b的定义可知,①a⊗a=mn-mn=0,故①正确,②a⊗b=mn-pq,b⊗a=pq-mn,故②错误,③a+b=(m+p,n+q),所以(a+b)⊗a=(m+p)(n+q)-mn,而a⊗a+b⊗a=pq-mn,故③错误,④(a⊗b)2=(mn-pq)2,(a·b)2=(mp+nq)2,所以(a⊗b)2+(a·b)2=(m2+q2)(n2+p2),故④正确.
答案:①④
三、解答题
10.已知a、b、c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2).
(1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;
(2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.
解:(1)设c=(x,y),由c∥a和|c|=2,可得:
∴或
∴c=(2,4)或c=(-2,-4).
(2)∵(a+2b)⊥(2a-b),
∴(a+2b)·(2a-b)=0,
即2a2+3a·b-2b2=0,
∴2|a|2+3a·b-2|b|2=0,
∴2×5+3a·b-2×=0,
∴a·b=-,
∴cos θ==-1,
∵θ∈[0,π],∴θ=π.
即a与b的夹角大小为π.
11.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c.若·=·=k(k∈R).
(1)判断△ABC的形状;
(2)若k=2,求b的值.
解:(1)∵·=cbcos A,·=bacos C,
∴bccos A=abcos C,
根据正弦定理,得sin Ccos A=sin Acos C,
即sin Acos C-cos Asin C=0,sin(A-C)=0,
∴A=C,即a=c.
则△ABC为等腰三角形.
(2)由(1)知a=c,
由余弦定理,得
·=bccos A=bc·=.
·=k=2,
即=2,解得b=2.
12.(2012山东省威海市高三第一次模拟)已知向量m=(2cos x,cos x-sin x),n=,且满足f(x)=m·n.
(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;
(2)设△ABC的内角A满足f(A)=2,a、b、c分别为角A、B、C所对的边,且·=,求边BC的最小值.
解:(1)f(x)=2cos x（sin x+cos x）+sin x·cos x-sin2 x=2sin x·cos x+cos2 x-sin2 x=sin 2x+cos 2x=
2sin,
由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,
故所求单调递增区间为(k∈Z).
(2)由f(A)=2sin=2,0
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