高考抛物线专题做题技巧与方法总结

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高考抛物线专题做题技巧与方法总结

高考抛物线专题做题技巧与方法总结 知识点梳理:‎ ‎1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质 ():‎ 标准方程 图形 焦点 准线 范围 对称轴 轴 轴 顶点 ‎ (0,0)‎ 离心率 ‎2.抛物线的焦半径、焦点弦 ‎①的焦半径;的焦半径;‎ ‎② 过焦点的所有弦中最短的弦,也被称做通径.其长度为2p.‎ ‎③ AB为抛物线的焦点弦,则 ,,=‎ ‎3. 的参数方程为(为参数),的参数方程为(为参数).‎ 重难点突破 重点:掌握抛物线的定义和标准方程,会运用定义和会求抛物线的标准方程,能通过方程研究抛物线的几何性质 难点: 与焦点有关的计算与论证 重难点:围绕焦半径、焦点弦,运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质 ‎1.要有用定义的意识 问题1:抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( )‎ ‎ A. B. C. D. 0‎ 点拨:抛物线的标准方程为,准线方程为,由定义知,点M到准线的距离为1,所以点M的纵坐标是 ‎2.求标准方程要注意焦点位置和开口方向 问题2:顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点(3,2)的抛物线的条数有 ‎ 点拨:抛物线的类型一共有4种,经过第一象限的抛物线有2种,故满足条件的抛物线有2条 ‎3.研究几何性质,要具备数形结合思想,“两条腿走路”‎ 问题3:证明:以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 点拨:设为抛物线的焦点弦,F为抛物线的焦点,点分别是点在准线上的射影,弦的中点为M,则,点M到准线的距离为,以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切 ‎3、典型例题讲解:‎ 考点1 抛物线的定义 题型 利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换 ‎[例1 ]已知点P在抛物线y2 = 4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为 ‎ 解题思路:将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离 ‎[解析]过点P作准线的垂线交准线于点R,由抛物线的定义知,‎ ‎,当P点为抛物线与垂线的交点时,取得最小值,最小值为点Q到准线的距离 ,因准线方程为x=-1,故最小值为3‎ 总结:灵活利用抛物线的定义,就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换,一般来说,用定义问题都与焦半径问题相关 练习:‎ ‎1.已知抛物线的焦点为,点,在抛物线上,且、、成等差数列, 则有 (  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎[解析]C 由抛物线定义,即:. ‎ ‎2. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,‎ ‎ M点坐标是 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎[解析] 设M到准线的距离为,则,当最小时,M点坐标是,选C 考点2 抛物线的标准方程 题型:求抛物线的标准方程 ‎[例2 ] 求满足下列条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程:‎ ‎(1)过点(-3,2) (2)焦点在直线上 解题思路:以方程的观点看待问题,并注意开口方向的讨论.‎ ‎[解析] (1)设所求的抛物线的方程为或,‎ ‎ ∵过点(-3,2) ∴‎ ‎ ∴‎ ‎ ∴抛物线方程为或,‎ 前者的准线方程是后者的准线方程为 ‎ (2)令得,令得,‎ ‎ ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,‎ ‎ ∴,此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时 ‎ ∴,此时抛物线方程.‎ ‎ ∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.‎ 总结:对开口方向要特别小心,考虑问题要全面 练习:‎ ‎3.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值 ‎ ‎[解析]‎ ‎4. 对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件:‎ ‎①焦点在y轴上;‎ ‎②焦点在x轴上;‎ ‎③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6;‎ ‎④抛物线的通径的长为5;‎ ‎⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1).‎ 能使这抛物线方程为y2=10x的条件是____________.(要求填写合适条件的序号)‎ ‎[解析] 用排除法,由抛物线方程y2=10x可排除①③④,从而②⑤满足条件.‎ ‎5.‎ ‎ 若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与Y轴的交点,A为抛物线上一点,且,求此抛物线的方程 ‎[解析] 设点是点在准线上的射影,则,由勾股定理知,点A的横坐标为,代入方程得或4,抛物线的方程或 考点3 抛物线的几何性质 题型:有关焦半径和焦点弦的计算与论证 ‎[例3 ]设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),则直线AB必过的定点坐标为__________.‎ 解题思路:由特殊入手,先探求定点位置 ‎[解析]设直线OA方程为,由解出A点坐标为 解出B点坐标为,直线AB方程为,令得,直线AB必过的定点 总结:(1)由于是填空题,可取两特殊直线AB, 求交点即可;(2)B点坐标可由A点坐标用换k而得。‎ 练习:‎ ‎6. 若直线经过抛物线的焦点,则实数 ‎ ‎[解析]-1‎ ‎7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B在抛物线准线上的射影为,则 ( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎[解析]C 基础巩固训练:‎ ‎1.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于,则这样的直线( )                     ‎ A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或2条 D.不存在 ‎[解析]C ,而通径的长为4.‎ ‎2.在平面直角坐标系中,若抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5,则点P的纵坐标为 (  )‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎[解析] B 利用抛物线的定义,点P到准线的距离为5,故点P的纵坐标为4.‎ ‎3.两个正数a、b的等差中项是,一个等比中项是,且则抛物线的焦点坐标为( ) ‎ A. B. C. D.‎ ‎[解析] D. ‎ ‎4. 如果,,…,是抛物线上的点,它们的横坐标依次为,,…,,F是抛物线的焦点,若成等差数列且,则=( ).‎ A.5 B.6 C. 7 D.9 ‎ ‎[解析]B 根据抛物线的定义,可知(,2,……,n),成等差数列且,,=6‎ ‎5、抛物线准线为l,l与x轴相交于点E,过F且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AB⊥l,垂足为B,则四边形ABEF的面积等于( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎[解析] C. 过A作x轴的垂线交x轴于点H,设,则 ‎,‎ 四边形ABEF的面积=‎ ‎6、设是坐标原点,是抛物线的焦点,是抛物线上的一点,与轴正向的夹角为,则为 .‎ ‎[解析]. ‎ 过A 作轴于D,令,则即,解得.‎ 综合提高训练 ‎7.在抛物线上求一点,使该点到直线的距离为最短,求该点的坐标 ‎[解析]解法1:设抛物线上的点,‎ 点到直线的距离,‎ 当且仅当时取等号,故所求的点为 解法2:当平行于直线且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求,设该直线方程为,代入抛物线方程得,‎ 由得,故所求的点为 ‎8. 已知抛物线(为非零常数)的焦点为,点为抛物线上一个动点,过点且与抛物线相切的直线记为.‎ ‎(1)求的坐标;‎ ‎(2)当点在何处时,点到直线的距离最小?‎ 解:(1)抛物线方程为 ‎ 故焦点的坐标为 ‎ ‎(2)设 ‎ ‎ ‎ 直线的方程是 ‎ ‎ ‎9. 设抛物线()的焦点为 F,经过点 F的直线交抛物线于A、B两点.点 C在抛物线的准线上,且BC∥X轴.证明直线AC经过原点O.‎ 证明:因为抛物线()的焦点为,所以经过点F的直线AB的方程可设为 ‎ ,代人抛物线方程得 ‎ .‎ ‎ 若记,,则是该方程的两个根,所以 ‎.‎ 因为BC∥X轴,且点C在准线上,所以点C的坐标为,‎ 故直线CO的斜率为 即也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O.‎ ‎10.椭圆上有一点M(-4,)在抛物线(p>0)的准线l上,抛物线的焦点也是椭圆焦点.‎ ‎(1)求椭圆方程;‎ ‎(2)若点N在抛物线上,过N作准线l的垂线,垂足为Q距离,求|MN|+|NQ|的最小值.‎ 解:(1)∵上的点M在抛物线(p>0)的准线l上,抛物线的焦点也是椭圆焦点.‎ ‎∴c=-4,p=8……①‎ ‎∵M(-4,)在椭圆上 ‎∴……②‎ ‎∵……③‎ ‎∴由①②③解得:a=5、b=3‎ ‎∴椭圆为 由p=8得抛物线为 设椭圆焦点为F(4,0),‎ 由椭圆定义得|NQ|=|NF|‎ ‎∴|MN|+|NQ|≥|MN|+|NF|=|MF|‎ ‎=,即为所求的最小值.‎ 参考例题:‎ ‎1、已知抛物线C的一个焦点为F(,0),对应于这个焦点的准线方程为x=-.‎ ‎(1)写出抛物线C的方程;‎ ‎(2)过F点的直线与曲线C交于A、B两点,O点为坐标原点,求△AOB重心G的轨迹方程;‎ ‎(3)点P是抛物线C上的动点,过点P作圆(x-3)2+y2=2的切线,切点分别是M,N.当P点在何处时,|MN|的值最小?求出|MN|的最小值.‎ 解:(1)抛物线方程为:y2=2x. (4分)‎ ‎(2)①当直线不垂直于x轴时,设方程为y=k(x-),代入y2=2x,‎ 得:k2x2-(k2+2)x+.‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,y1+y2=k(x1+x2-1)=.‎ 设△AOB的重心为G(x,y)则,‎ 消去k得y2=为所求, (6分)‎ ‎②当直线垂直于x轴时,A(,1),B(,-1), (8分)‎ ‎△AOB的重心G(,0)也满足上述方程.‎ 综合①②得,所求的轨迹方程为y2=, (9分)‎ ‎(3)设已知圆的圆心为Q(3,0),半径r=,‎ 根据圆的性质有:|MN|=2. (11分)‎ 当|PQ|2最小时,|MN|取最小值,‎ 设P点坐标为(x0,y0),则y=2x0.‎ ‎|PQ|2=(x0-3)2+ y= x-4x0+9=(x0-2)2+5,‎ ‎∴当x0=2,y0=±2时,|PQ|2取最小值5,‎ 故当P点坐标为(2,±2)时,|MN|取最小值. ‎ 抛物线专题练习 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)‎ ‎1.如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1,那么它的焦点坐标为 ( A )‎ A.(1, 0) B.(2, 0) C.(3, 0) D.(-1, 0)‎ ‎2.圆心在抛物线y 2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 ( D )‎ A.x2+ y 2-x-2 y -=0 B.x2+ y 2+x-2 y +1=0 ‎ C.x2+ y 2-x-2 y +1=0 D.x2+ y 2-x-2 y +=0‎ ‎3.抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是 ( A )‎ ‎ A.(1,1) B.() C. D.(2,4)‎ ‎4.一抛物线形拱桥,当水面离桥顶2m时,水面宽4m,若水面下降1m,则水面宽为( B )‎ A.m B. 2m C.4.5m D.9m ‎5.平面内过点A(-2,0),且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是 ( C )‎ A. y 2=-2x B. y 2=-4x C.y 2=-8x D.y 2=-16x ‎6.抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上点(-5,m)到焦点距离是6,则抛物线的方程是 ( B )‎ A. y 2=-2x B. y 2=-4x ‎ C. y 2=2x D. y 2=-4x或y 2=-36x ‎7.过抛物线y 2=4x的焦点作直线,交抛物线于A(x1, y 1) ,B(x2, y 2)两点,如果x1+ x2=6,那么|AB|= ( A )‎ A.8 B.10 C.6 D.4‎ ‎8.把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移,所得的曲线的方程是(C )‎ ‎ A. B.‎ C. D. ‎ ‎9.过点M(2,4)作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有 ( C )‎ ‎ A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 ‎10.过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点,若线段PF与FQ的长分别是p、q,则等于 ( C )‎ A.2a B. C.4a D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分)‎ ‎11.抛物线y 2=4x的弦AB垂直于x轴,若AB的长为4,则焦点到AB的距离为 2 .‎ ‎12.抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 .‎ ‎13.P是抛物线y 2=4x上一动点,以P为圆心,作与抛物线准线相切的圆,则这个圆一定经过一个定点Q,点Q的坐标是 (1,0) .‎ ‎14.抛物线的焦点为椭圆的左焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为 ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共76分)‎ ‎15.已知动圆M与直线y =2相切,且与定圆C:外切,求动圆圆心M的轨迹方程.(12分)‎ ‎[解析]:设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,由抛物线的定义可知:动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,以y=3为准线的一条抛物线,其方程为.‎ ‎16.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.(12分)‎ ‎[解析]:设抛物线方程为,则焦点F(),由题意可得 ‎ ,解之得或,‎ ‎ 故所求的抛物线方程为,‎ ‎17.动直线y =a,与抛物线相交于A点,动点B的坐标是,求线段AB中点M的轨迹的方程.(12分)‎ ‎[解析]:设M的坐标为(x,y),A(,),又B得 ‎ ‎ 消去,得轨迹方程为,即 ‎18.河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶5米时,水面宽为8米,一小船宽4米,高2米,载货后船露出水面上的部分高0.75米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开始不能通航?(12分)‎ ‎[解析]:如图建立直角坐标系,‎ 设桥拱抛物线方程为,由题意可知,‎ B(4,-5)在抛物线上,所以,得,‎ ‎ 当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为AA’,则A(),由得,又知船面露出水面上部分高为0.75米,所以=2米 ‎19.如图,直线l1和l2相交于点M,l1⊥l2,点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.(14分)‎ ‎[解析]:如图建立坐标系,以l1为x轴,MN的垂直平分线为y轴,点O为坐标原点.由题意可知:曲线C是以点N为焦点,以l2为准线的抛物线的一段,其中A、B分别为C的端点.‎ 设曲线段C的方程为,‎ ‎ 其中分别为A、B的横坐标,.‎ ‎ 所以,. 由,得 ‎ ①‎ ‎ ②‎ 联立①②解得.将其代入①式并由p>0解得,或.‎ 因为△AMN为锐角三角形,所以,故舍去. ∴p=4,.‎ 由点B在曲线段C上,得.综上得曲线段C的方程为.‎ ‎ ‎ ‎20.已知抛物线.过动点M(,0)且斜率为1的直线与该抛物线交于不同的两点A、B,.‎ ‎(Ⅰ)求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若线段AB的垂直平分线交轴于点N,求面积的最大值.(14分)‎ ‎ [解析]:(Ⅰ)直线的方程为,将,‎ 得 . 设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、,‎ 则 又,‎ ‎∴ . ∵, ∴ . 解得 . ‎ ‎(Ⅱ)设AB的垂直平分线交AB于点Q,令坐标为,则由中点坐标公式,得 ‎, . ‎ ‎∴ . 又 为等腰直角三角形,‎ ‎∴ , ∴ ‎ 即面积最大值为 ‎ ‎
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