高考解三角形做题技巧与方法总结

高考解三角形做题技巧与方法总结

最新2015年高考解三角形做题技巧与方法总结 知识点整理 ‎1．直角三角形中各元素间的关系：‎ 在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。‎ ‎（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）‎ ‎（2）锐角之间的关系：A＋B＝90°；‎ ‎（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）‎ sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。‎ ‎2．斜三角形中各元素间的关系：‎ 在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。‎ ‎（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。‎ ‎（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 ‎（R为外接圆半径）‎ ‎（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a2＝b2＋c2－2bccosA； b2＝c2＋a2－2cacosB； c2＝a2＋b2－2abcosC。‎ ‎3．三角形的面积公式：‎ ‎（1）＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；‎ ‎（2）＝absinC＝bcsinA＝acsinB；‎ ‎4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：‎ ‎（1）两类正弦定理解三角形的问题：‎ 第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.‎ ‎ 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.‎ ‎（2）两类余弦定理解三角形的问题：‎ 第1、已知三边求三角.‎ 第2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.‎ ‎5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。‎ ‎（1）角的变换 因为在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。‎ ‎；‎ ‎（2）判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式.‎ ‎6．求解三角形应用题的一般步骤： （1）分析：分析题意，弄清已知和所求；‎ ‎（2）建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；‎ ‎（3）求解：正确运用正、余弦定理求解；‎ ‎（4）检验：检验上述所求是否符合实际意义。‎ 三、典例解析 类型一：解三角形与向量的结合 例1.在中，角A,B,C的对边分别为,b,c,且满足，．‎ ‎（Ⅰ）求的面积；‎ ‎（Ⅱ）若，求边与的值．‎ 解：（Ⅰ）由正弦定理得，‎ ‎，，，‎ 由得，的面积为．‎ ‎（Ⅱ）因，故，‎ 由余弦定理得 ‎ 练习：‎ ‎1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ‎ （I）求cosB的值； （II）若，且，求b的值.‎ 解：（I）由正弦定理得，‎ 因此 ‎ （II）解：由，‎ 所以a＝c＝ 类型2解三角形与三角恒等变换的结合 例2：在中，分别是角的对边，若，。‎ ‎ （1）求角的大小；‎ ‎ （2）若求面积。‎ 解：（1）由 ‎；‎ 又，；‎ ‎（2）由正弦定理可得，，‎ 由得，；‎ 所以ABC面积；‎ 例3：如图，角为钝角，且，点、分别是在角的两边上不同于点的动点. 新|课 | 标|第 |一| 网 ‎（1）若=5， =，求的长；‎ ‎（2）设的值.‎ 解：（1）是钝角，，‎ ‎ 在中，由余弦定理得：‎ ‎ 所以 ‎ 解得 或（舍去负值），所以 ‎ ‎（2）由 ‎ 在三角形APQ中，‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 练习2：‎ 在ABC中，, sinB=.‎ ‎（I）求sinA的值 ， (II)设AC=，求ABC的面积.‎ 本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分 解：（Ⅰ）由，且，∴，∴‎ ‎，‎ A B C ‎∴，又，∴‎ ‎（Ⅱ）如图，由正弦定理得 ‎∴，又 ‎∴ ‎ 类型3：解三角形中的最值问题 例4：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且 ‎ （1）求的值； （2）若b=2，求△ABC面积的最大值．‎ 解：(1) 由余弦定理：conB= ‎ sin+cos2B= - ‎ ‎（2）由 ∵b=2， ‎ ‎+=ac+4≥2ac,得ac≤,S△ABC=acsinB≤(a=c时取等号)‎ ‎ 故S△ABC的最大值为 ‎5、在中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量 ‎，，且。‎ ‎（I）求锐角B的大小； （II）如果，求的面积的最大值。‎ ‎(1)解：m∥n Þ 2sinB(2cos2－1)＝－cos2B Þ2sinBcosB＝－cos2B Þ tan2B＝－ ……4分 ∵0＜2B＜π,∴2B＝,∴锐角B＝ ……2分 (2)由tan2B＝－ Þ B＝或 ①当B＝时，已知b＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立) ……3分 ∵△ABC的面积S△ABC＝ acsinB＝ac≤ ∴△ABC的面积最大值为 ……1分 ②当B＝时，已知b＝2，由余弦定理，得： 4＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac＝(2＋)ac(当且仅当a＝c＝－时等号成立) ∴ac≤4(2－) ……1分 ∵△ABC的面积S△ABC＝ acsinB＝ac≤2－ ∴△ABC的面积最大值为2－ ……1分 注：没有指明等号成立条件的不扣分.‎ 类型4：解三角形中的综合题目 例5：在△ABC中，A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知向量， （I）求A的大小；（II）求的值.‎ 解：（1）由m//n得 ……2分 ‎ 即 ‎ ‎ 舍去 ‎ ‎ （2）‎ ‎ 由正弦定理，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 练习：△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且有sin2C+cos（A+B）=0，.当，求△ABC的面积。‎ 由 ‎ 有 ……6分 由， ……8分 由余弦定理 ‎ 当 课后作业 ‎1.在中，分别是角的对边，若，。‎ ‎ （1）求角的大小；‎ ‎ （2）若求面积 解：（1）由 ‎；……………………4分 又，；……………………6分 ‎（2）由正弦定理可得，，；…………………8分 由得，；……………………10分 所以ABC面积；……………………12分 ‎2、△中，所对的边分别为，,.‎ ‎ （1）求； （2）若,求. ‎ 解：(1) 因为，即，‎ 所以，‎ 即 ，‎ 得 . 所以,或(不成立).‎ 即 , 得，所以.‎ 又因为，则，或（舍去） ‎ 得 ‎(2)， ‎ ‎ 又, 即 ，21世纪教育网 ‎ 得 ‎3.中，为边上的一点，，，，求