2013高考数学抢分必做100题数学文
2013高考数学抢分必做100题
一、选择题
1.【2013成都二诊】命题“.，都有ln(x2+1)>0”的否定为 （ ）
(A) ，都有ln(x2 +1)≤0 (B) ，使得ln(x02+1)>0
(C) ，都有ln(x2+l)<0 (D) ，使得ln(x02+1)≤0
【答案】D
2．【2013四川雅安中学二诊】已知是虚数单位，则的值是( )
A． B． C． D．
【答案】 A
3．【2013枣庄一模】下列命题的否定为假命题的是
A． B．任意一个四边形的四个顶点共圆
C．所有能被3整除的整数都是奇数 D．
【答案】D
4．【2013湖北八校二次联考】图1是某高三学生进入高中三年来的数学考试成绩的茎叶图，图中第1次到14次的考试成绩依次记为图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图。那么算法流程图输出的结果是（ ）
A． B． C． D．
7 9
8 6 3 8
9 3 9 8 8 4 1 5
10 3 1
11 4
【答案】D
5．【2013北京石景山3月统一测试】若复数（a－i）2在复平面内对应的点在y轴负半轴上，则实数a的值是（ ）
A． 1 B．-1 C． D．-
【答案】A
6．【2013太原一模】已知函数 ，若在[1，4]上随机取一个实数x0，则使得成立的概率为
A． B． C． D．
答案.C
7. 【2013四川雅安中学二诊】设不等式组 表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到直线的距离大于2的概率是 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
8．【2013山西山大附中3月月考】已知为上的可导函数，且，均有，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
9．【2013枣庄一模】两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且仅有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如表格所示，则下列座位号码符合要求的是
A．48，49 B．62，63 C．84，85 D．75，76
【答案】C
10．【2013湖北八校二次联考】《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布.
A． B． C． D．
【答案】D
11. 【2013广西四市3月联考】
定义在（－1，1）上的函数满足：，当时，有，若，，，则a,b,c的大小关系为
A. B. C. D.
【答案】A
12．【2013开封二模】函数则
A．a>b>c B．b
c>b
【答案】D
13、【2013梅州3月质检】下列命题中假命题是
A、＞0，有ln2x+lnx＋1＞0
B、R，使
C、“a2＜b2”是“a＜b”的必要不充分条件
D、，使是幂函数，且在（0，＋）上递减
【答案】C
14. 【2013浙江省金丽衢十二校二次联考】 已知的三个顶点及所在平面内一点满足，则
点与的关系
A．在内部 B．在外部
C．在边上 D．在边上
【答案】D
15. 【2013蚌埠二检】△ABC的外接圆的圆的加以为O,半径为1,若，且，则向量在向量方向上的射影的数量为( )
A. B. C. 3 D.-
【答案】A
16．【2013宝鸡二模】下列命题中，真命题是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
【答案】D
17. 【2013汕头一模】
设α、β为两个不同的平面，m、n为两条不同的直线，,有两个命题：
P ：若α//β、则m//n; q:若n丄α,则α丄β;那么（)
A. “p或q是假命题 B. “ P且q”是真命题
C. “非p或q是假命题 D. “非p且q是真命题
【答案】D
18．【2013烟台3月诊断】已知函数f(x)=，则f[f（2013）]=
A． B．- C．1 D． -1
【答案】D
19、【2013梅州3月质检】某程序框图如右图所示，若输出的S＝57，则判断框内填
A、k＞4？
B、k＞5？
C、k＞6？
D、k＞7？
【答案】A
20.【2013郑州二模】
―个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是
【答案】C
21．【2013西安五校二模】已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=2．∠ASC=∠BSC=45°则棱锥S—ABC的体积为
A． B． C． D．
【答案】C
22．【2013西安一模】若向量则=
A．（－2，－4） B．（3．4） C．（6，10） D．（－6．－10）
【答案】A
23．【2013东北三校3月联考】已知全集,集合，，则集合 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C。，故选C
24．【2013浙江省金丽衢十二校二次联考】设m、n为空间的两条不同的直线，α、β为空间的两个不同的平面，给出下列命题：
①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n．
上述命题中，所有真命题的序号是
A. ①② B. ③④ C. ①③ D. ②④
【答案】D
25．【2013西安一模】要得到函数y= cos（2x+1）的图象，只要将函数y=cos2x的图象
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】C
26【2013烟台3月诊断】函数f（x）=1nx－的图像大致是
【答案】C
27. 【2013宝鸡二模】现在定义直角坐标系内任意两点之间的一种“距离”：
，给出下列三个命题：
① 若点C在线段AB上，则；
② 在△ABC中，若∠C=,则；
③ 在△ABC中，。
其中真命题的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
28．【2013东北三校3月联考】已知向量是夹角为60°的两个单位向量，向量（R）与向量垂直，则实数的值为（ ）
A、1 B、－1 C、2 D、0
【答案】D
29．【2013黄冈3月质检】如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”.给出下列函数：①；②；③；④.其中是“同簇函数”的是
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
【答案】C
30 【2013青岛一模】定义区间，，，的长度均为. 用表示不超过的最大整数，记，其中.设，，若用表示不等式解集区间的长度，则当时，有
A． B． C． D．
【答案】A
二、填空题
31. 【2013汕头一模】函数 的定义域是________
【答案】
32. 【2013广西四市3月联考】已知球O是棱长为的正方体ABCD－的内切球，则平面截球O的截面的面积为__________。
【答案】15.
33. 【2013成都二诊】在某大型企业的招聘会上，前来应聘的本科生、硕士研究生和 博士研究生共2000人，各类毕业生人数统计如图所示，则博士研究生 的人数为_____.
【答案】240
34. 【2013江苏四市二调】某篮球运动员在7天中进行投篮训练的时间（单位：分钟）用茎叶图表示（如图），图中左列表示训练
S←0
For I From 1 to 28 Step 3
S←S +I
End For
Print S
（第34题）
6 4 5 7
7 2 5
8 0 1
（第33题）
时间的十位数，右列表示训练时间的个位数，则该运动员这7天的平均训练时间为 ▲ 分钟．
【答案】72
35. 【2013江苏四市二调】根据如图所示的伪代码，最后输出的S的值为 ．
【答案】145
36．【揭阳一模】计算：= ．
【答案】2
37.【2013江苏盐城二模】定义运算，则关于非零实数的不等式的解集为 。
【答案】
38．【2013北京石景山3月统一测试】
观察下列算式：
l3 =1,
23 =3+5,
33 = 7+9+11,
43 =13 +15 +17 +19 ，
… … … …
若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则n= ．
【答案】45
39．【2013开封二模】设变量x，y满足约束条件的取值范围 。
【答案】[1/4,5]
40、【2013梅州3月质检】在极坐标系中，圆＝2上的点到直线＝3的距离的最小值是＿＿＿＿
【答案】1
41. 【2013浙江省金丽衢十二校二次联考】我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”．已知、
是一对“黄金搭档”的焦点，是它们在第一象限的交点，当时，这一
对“黄金搭档”中双曲线的离心率是
【答案】
42【2013蚌埠二检】计算：i+2i2+3i3+……+359i359= 。
【答案】-180-180i
43. 【2013北京东城区3月联考】对于函数，若存在区间，使得 ，则称区间为函数的一个“稳定区间”.给出下列三个函数：
①；②；③.
其中存在稳定区间的函数有_________________.（写出所有正确的序号）
【答案】①②
44．【2013江苏苏锡常镇四市3月调研】已知，则的值为 ．
【答案】7/9
45．【2013吉林市二模】已知函数 则 ．
【答案】
46．【2013黄冈3月质检】已知向量，若函数在区间上存在增区间，则的取值范围是 .
【答案】
47．【2013揭阳一模】给出下列等式：，，，……
请从中归纳出第个等式： ．
【答案】
48．【2013青岛一模】给出以下命题：
① 双曲线的渐近线方程为；
② 命题“，”是真命题；
③ 已知线性回归方程为，当变量增加个单位，其预报值平均增加个单位；
④ 已知，，，，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为，（）
则正确命题的序号为 （写出所有正确命题的序号）．
【答案】①③④
49．【2013湖北八校二次联考】基尼系数是衡量一个国家贫富差距的标准。图中横轴
表示人口（按收入由低到高分组）的累积百分比，纵轴表示收入的累积百分比，弧线(称为洛伦兹曲线)与对角线之间的面积叫做“不平等面积”，折线段与对角线之间的面积叫做“完全不平等面积”，不平等面积与完全不平等面积的比值为基尼系数，则：
(1) 当洛伦兹曲线为对角线时，社会达到“共同富裕”,这是社会主义国家的目标，则此时的基尼系数等于 .
(2)为了估计目前我国的基尼系数，统计得到洛伦兹曲线后，采用随机模拟方法：随机产生两个数组成点,共产生了1000个点，且恰好有300个点落在区域中。则据此估计该基尼系数为： .
【答案】 0 0.4
50．【2013枣庄一模】已知一个半径为Im的半圆形工件，未搬动前如图所示（直径平行于地面放置），搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移40m，则圆心D所经过的路线长是 m
【答案】π+40
51、【2013焦作一模】下面有五个命题：
①函数的最小正周期是；
②终边在y轴上的角的集合是{α｜}；
③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
④把函数y＝3sin（2x＋）的图象向右平移得y＝3sin2x的图象；
⑤函数y＝sin（x－）在（0，）上是减函数。
其中真命题的序号是＿＿＿＿＿
【答案】①④
52【2013潍坊一模】现有一根n节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为 10cm，最下面的三节长度之和为114cm
，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n= 。
【答案】16
53【2013洛阳3月二练】
已知数组（1，2，3），（2，4，6），（3，8，11），（4，16，20），（5，32，37），…，（an，bn，cn），则c10= 。
【答案】1034
54．【2013浙江六校】
如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的体积为 .
侧视图
2
主视图
2
2
俯视图
_
开始
S=0,i=0
结束
是
否
S=S+i
输出S
i=i+2
i≤100?
【答案】 ；
55【绵阳南山中学3月月考】
右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米， 水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米．
【答案】
57【2013银川二中6次月考】
双曲线的两个焦点为, 为双曲线上一点, , 成等比数列,则＿＿＿＿＿＿
【答案】1
58【2013北海一模】的展开式中的系数是 .
【答案】．
59.【2013石家庄质检】16、当时，定义函数N（n）表示n的最大奇因数，如
则S（5）＝＿＿＿＿。
【答案】
三、解答题
60.【2013江南十校联考】
(本小题满分12分）己知现将f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，得到函数g(x)的图象
(I)求+的值；
(II)若a、b、C分别是ΔABC三个内角A、B、C的对边，a + c = 4，且当x = B时， g(x)取得最大值，求b的取值范围.
【解】：（Ⅰ）∵ ………2分
∴ ……………………5分
（Ⅱ）∵
∴当即时，取得最大值.
时取得最大值，又， ∴ ………………7分
而
……………………………………………10分
∴, 又
∴的取值范围是 …………………………………………………………12分
61．【2013南昌一模】（本小题满分12分）设角A，B，C为△ABC的三个内角，已知
（1）求角A的大小；
（2）若BC边上的高AD长的最大值。
【解】（1），因为，所以…6分
（2）由知， ……8分
所以，而……10分，
当且仅当时，上式取等号……11分
所以边上的高的最大值为.……12分
62.【四川省凉山州二诊】（12分）锐角△ABC中，a，b，c为其内角A、B、C所对边长，向量，若·= 12。
（1）求角A;
（2）若a=7，求b，c（其中b0），g（x）=x3+bx。
（1）若曲线y=f（x）与曲线y= g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；
（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其中在区间（-∞，-1）上的最大值。
78．【2013南昌一模】（本小题满分12分）设正项数列都是等差数列，且公差相等，（1）求的通项公式；（2）若的前三项，记数列
数列的前n项和为
【解】设的公差为，则,即，
由是等差数列得到：……2分，
则且，所以，……4分，
所以：……5分，……6分
（2）由，得到：等比数列的公比，
所以：， ……8分
所以……10分
……12分
79．【2013湖北八校二次联考】（本小题满分12分）如图直三棱柱的侧棱长为，，且，点分别是棱上的动点，且.
(Ⅰ)求证：无论在何处，总有 ；
(Ⅱ)当三棱锥的体积取得最大值时，求异面直线与所成角的余弦值.
（79题图）
【解】 (Ⅰ) 是正方形， …………2分
又， ………4分
，
又 ……6分
(Ⅱ)设三棱椎的体积为.当时取等号 …………8分
故当即点分别是棱上的中点时，体积最大，则为所求；，，， ……12分
80、【2013焦作一模】（本小题满分12分）
某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段［90,100），［100,110），…
，,140,150）后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
（1）求分数在［120,130）内的频率，并补全这个频率分布直方图；
（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；
（3）用分层抽样的方法在分数段为［110,130）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段［120,130）内的概率。
【解】
81. 【2013郑州二模】(本小题满分12分）
已知椭圆C: 的右焦点为F，左顶点为A，点P为曲线D上的动点，以PF为直径的圆恒与y轴相切.
(I)求曲线D的方程；
(II)设O为坐标原点，是否存在同时满足下列两个条件的ΔAPM?①点M在椭圆C上;②点O为ΔAPM的重心.若存在，求出点P的坐标；若不存在,说明理由.（若三角形 ABC的三点坐标为A(x1，y1),B(x2,y2),C(x3，y3)，则其重心G的坐标为，))
【解】（Ⅰ）设，由题知，所以以为直径的圆的圆心，
则，
整理得为所求． ――――4分
（Ⅱ）不存在，理由如下： ――――5分
若这样的三角形存在，由题可设，由条件①知，
由条件②得，又因为点，
所以即，故，――――9分
解之得或（舍），
当时，解得不合题意，
所以同时满足两个条件的三角形不存在． ――――12分
82．【2013揭阳一模】（本小题满分14分）
如图（3），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，，,现将梯形沿CB、DA折起，使EF//AB且，得一简单组合体
如图（4）示，已知分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）若,求四棱锥F-ABCD的体积. 图（3）
图（4）
【解】证明：连结，∵四边形是矩形，为中点，
∴为中点，--------------------------------------------------------------1分
在中，为中点，故--------------------------3分
∵平面，平面，平面；---4分
（2）依题意知 且
∴平面
∵平面，∴，------------------5分
∵为中点，∴
结合，知四边形是平行四边形
∴，----------------------------------------------------7分
而，∴ ∴，即-----8分
又 ∴平面，----------------------------------9分
（3）解法一：过F点作交AB于Q点，由（2）知△PAE为等腰直角三角形，
∴，从而,------------------------------------------10分
∴，-------------------------------------------------------------------11分
又由（2）可知平面ABCD，-----------------------------------------12分
∴,--------------------------------------14分
【解法2：∵三棱锥F-CBD与F-ABD等底等高，∴,-----------10分
∴,-----------------------------------------------11分
由（2）知△PAE为等腰直角三角形，∴,从而------12分
故
∴
∴--------------------------------------------------14分】
83．【2013东北三校3月联考】（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱AA2⊥底面ABC，∠ACB = 90°，E是棱CC1的中点，F是AB中点，AC ＝BC =1，AA1 = 1。
（1）求证：CF∥平面AEB1；
（2）求三棱蕉C－AB1E在底面AB1E上的高。
【解】（Ⅰ）证明：取AB1的中点G，联结EG，FG，
F、G分别是AB、AB1中点，
为侧棱的中点，FG∥EC，FG＝EC，
所以四边形FGEC是平行四边形 ……4分
G
，CF平面AB1E，平面AB1E 平面AB1E. ……6分
（Ⅱ）三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱，面ABC.
又AC平面ABC， ， ∠ACB＝90°, ，
平面EB1C, ……8分
……10分
三棱锥的高为 ……12分
84．（本小题满分1 2分）
如图，四边形ABCD中，,AD∥BC，AD =6，BC =4，AB =2，点E、F分别在BC、AD上，EF∥AB．现将四边形ABEF沿EF折起，使平面ABCD平面EFDC，设AD中点为P．
( I )当E为BC中点时，求证：CP//平面ABEF
(Ⅱ)设BE=x，问当x为何值时，三棱锥A-CDF的体积有最大值？并求出这个最大值。
【解】
85．【2013南京二模】（本小题满分16分）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，问C应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由．
【解】
86、【2013湖南湘西自治州二次联考】（本小题满分13分）
已知椭圆,的离心率为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底作等腰三角形，顶点为
（1）求椭圆的方程；
（2）求的面积。
【解】
87．【2013青岛一模】（本小题满分12分）
已知,数列满足,数列满足；数列为公比大于的等比数列，且为方程的两个不相等的实根.
（Ⅰ）求数列和数列的通项公式；
（Ⅱ）将数列中的第项，第项，第项，……，第项，……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，求数列的前项和.
【解】（Ⅰ） ，
……………………………………………3分
因为为方程的两个不相等的实数根.
所以，……………………………………………………………4分
解得：，,所以：……………………………………………………6分
（Ⅱ）由题知将数列中的第3项、第6项、第9项……删去后构成的新数列中的奇数列与偶数列仍成等比数列，首项分别是，公比均是 …………9分
88．【2013江苏苏锡常镇四市3月调研】(本小题满分16分)
某部门要设计一种如图所示的灯架，用来安装球心为，半径为（米）的球形灯泡．该灯架由灯托、灯杆、灯脚三个部件组成，其中圆弧形灯托，，，所在圆的圆心都是、半径都是（米）、圆弧的圆心角都是（弧度）；灯杆垂直于地面，杆顶到地面的距离为（米），且；灯脚，，，是正四棱锥的四条侧棱，正方形的外接圆半径为（米），四条灯脚与灯杆所在直线的夹角都为（弧度）．已知灯杆、灯脚的造价都是每米(元)，灯托造价是每米(元)，其中，，都为常数．设该灯架的总造价为(元) ．
（1）求关于的函数关系式；
（2）当取何值时，取得最小值？
【解】
89. 【北京东城区3月联考】（（本小题共14分）
已知函数，当时，的值中所有整数值的个数记为.
（Ⅰ）求的值，并求的表达式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和；
（Ⅲ）设，，若对任意的，都有
成立，求的最小值.
【解】（Ⅰ）当时，在上递增，
所以，，.----------------------------2分
因为在上单调递增，
所以，，
从而.------------------4分
（Ⅱ）因为，-------------------5分
所以
.----------------------------6分
当是偶数时，-----7分
；-----------------8分
当是奇数时，
.--------------------------------------------------10分
（Ⅲ），-----------------------------------11分
，
，
错位相减得，-----------12分
所以，.---------------------------------------13分
因为,
若对任意的，都有成立，则，
所以，的最小值为.----------------------------------------14分
90. 【2013郑州二模】
已知函数f(x)=|x—a|
(I)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
(II)在（I)的条件下,若f(x)+f(x + 5)m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围.
【解】（Ⅰ）由得，解得．
又已知不等式的解集为，所以，解得.――――4分
（Ⅱ）当时，，设，
于是 ――――6分
所以当时，； 当时，； 当时，．
综上可得，的最小值为5．――――9分
从而若，即对一切实数恒成立，
则的取值范围为（-∞，5]．――――10分
91. 【2013吉林市二模】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知关于的不等式．
（Ⅰ）当时，求此不等式的解集；
（Ⅱ）若此不等式的解集为，求实数的取值范围．
【解】（Ⅰ）解：当时， 不等式为.
由绝对值的几何意义知，不等式的意义可解释为数轴上的点到1，2的距离之和大于
于2.∴或 ∴不等式的解集为. ……5分
注 也可用零点分段法求解．
（Ⅱ）解：∵，
∴原不等式的解集为R等价于， ∴或，又，
∴.
92．（本小题满分14分）已知函数.
(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线垂直，求实数的值.
(Ⅱ)若，求的最小值；
(Ⅲ)在(Ⅱ)上求证：.
【解】（Ⅰ）的定义域为，，根据题意有，
所以解得或. ………………………………4分
（Ⅱ）
当时，因为，由得，解得，
由得，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增； …………………6分
（Ⅲ）由（2）知，当a>0, 的最小值为
令
当
。 …………………14分
93．【2013南京二模】（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，椭圆C：过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点在椭圆C上，F为椭圆的左焦点，直线的方程为．
①求证：直线与椭圆C有唯一的公共点；
②若点F关于直线的对称点为Q，求证：当点P在椭圆C上运动时，直线PQ恒过定点，并求出此定点的坐标．
【解】
94.【北京东城区3月联考】（本小题共14分）
已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，一个顶点为，且其右焦点到直线的距离等于3．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)是否存在经过点，斜率为的直线，使得直线与椭圆交于两个不同的点，并且？若存在，求出直线的方程；若不存在,请说明理由．
【解】（Ⅰ）设椭圆的方程为，其右焦点的坐标为.
由已知得.由得，所以.----4分
所以，椭圆的方程为.-------------------------------5分
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线，设，
的中点为.---------------------------------------------6分
由得，------------------8分
则，且由得.------------------10分
由得，所以，----------------11分
即，
所以，，将代入解得
，
所以.--------------------------------------------13分
故存在满足条件的直线，其方程为.-------------14分
【注】其它解法酌情给分.
95. 【2013汕头一模】(本小题满分14分）
数列{an}的前Sn项和为存在常数A,B,C,使得an+Sn=A2 +Bn + C对任意正整数 n都成立.
(1)若，C = 1，设bn=an+n,求证：数列{bn}是等比数列；
(2)在（1)的条件下，cn=(2n+1)bn，数列{cn}的前n项和为Tn；,证明：Tn <5;
(3)若C= 0, {an}是首项为1的等差数列，若对任意的正整数n都成立，求实数的取值范围.（注：）
【解】
96【2013洛阳3月二练】（本题满分 12 分）
已知函数．
（1）判断函数是否存在斜率为3的切线，若存在，求出切线方程，若不存在，说明理由；
（2）设函数在点处的切线方程为，求使恒成立的点P的坐标。
【解】
97.【2013南平质检】（本小题满分14分）
如图，设椭圆C:（）的离心率，顶点M、N的距离为,
O
y
x
A
M
B
N
O为坐标原点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A，B两点.
（ⅰ）试判断点O到直线AB的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由；
（ⅱ）求的最小值.
【解】（Ⅰ）由得………1分
由顶点M、N的距离为，得………2分
又由，解得
所以椭圆C的方程为………4分
（Ⅱ）解法一：（ⅰ）点O到直线AB的距离为定值………5分
设,
① 当直线AB的斜率不存在时，则为等腰直角三角形，不妨设直线OA：
将代入，解得
所以点O到直线AB的距离为；………6分
② 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为与椭圆C：
联立消去得………7分
，………8分
因为，所以，
即………10分
所以，整理得，
所以点O到直线AB的距离
综上可知点O到直线AB的距离为定值………11分
（ⅱ）在Rt中，因为
又因为≤，所以≥………13分
所以≥，当时取等号，即的最小值是………14分
解法二：（ⅰ）点O到直线AB的距离为定值………5分
设,
①当直线OA的斜率为0时，，，此时
同理，当直线OA的斜率不存在时，………6分
②当直线OA的斜率存在且不为0时，设直线OA的方程为与椭圆C：
联立，解得………7分
………8分
同理，………9分
所以………10分
所以，即
综上可知点O到直线AB的距离为定值………11分
（ⅱ）………12分
≥………13分
当且仅当，即时，的最小值是………14分
98.【2013湖北八校二次联考】（本小题满分14分）已知函数，其中是常数且.
（Ⅰ）若时，在区间上单调递增，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，讨论的单调性；
（Ⅲ）设是正整数，证明：
.【解】(Ⅰ) ∵,故，∴.
∵当时，是增函数，∴在时恒成立. …2分
即在时恒成立.∵当时，是减函数，
∴当时，∴. ………4分
(II) ，故
，所以 ……5分
当时，，故的减区间为，
增区间为
当时，，故的减区间为，
增区间为 …………9分
(Ⅲ) 由(Ⅰ)知，当时，在是增函数.
∴即，
∵，∴，∴，
即 ………12分
∴
∴ ………14分
99.【2013江南十校联考】(本小题满分13分）巳知直线与圆Cn:x2+y2=2an+n交于不同的两点数列{an}满足：•
(I)求数列{an}的通项公式；
(E)若，求数列{bn}的前n项和Tn
【解】（Ⅰ）圆的圆心到直线的距离，半径
………………4分
又 ……………………………………………6分
（Ⅱ）当为偶数时，
． ………………………………9分
当为奇数时，为偶数，
而，∴． ………………12分
…………………
100.【2013浙江六校联考】 (本题满分15分)
已知抛物线C的方程为,直线l:轴的交点在抛物线C准线的右侧.
(Ⅰ)求证:直线l与抛物线C恒有两个不同交点；
(Ⅱ)已知定点,若直线l与抛物线C的交点为Q、R,满足,是否存在实数, 使得原点到直线l的距离不大于,若存在，求出正实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解】(本题满分15分)
证明：（Ⅰ）由题知,联立，消去x可得
且
所以直线与抛物线恒有两个不同的交点； ………………5分
（Ⅱ）解：设，由（﹡）可得
故
………………8分
（如上各题若有其他解法，均可酌情给分）
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