等差数列及其前n项和知识点总结高考题解析

等差数列及其前n项和知识点总结高考题解析

等差数列及其前n项和 ‎【考纲说明】‎ ‎1、理解等差数列的概念，学习等差数列的基本性质.‎ ‎2、探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.‎ ‎3、体会等差数列与一次函数的关系.‎ ‎4、本部分在高考中占5-10分左右.‎ ‎【知识梳理】‎ 一、等差数列的相关概念 ‎1、等差数列的概念 ‎ 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．通常用字母d表示。‎ ‎2、等差中项 ‎ 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或 推广：‎ ‎3、等差数列通项公式 ‎ 若等差数列的首项是，公差是，则．‎ ‎ 推广：，从而。‎ ‎4、等差数列的前项和公式 ‎ 等差数列的前项和的公式：①；②．‎ ‎5、等差数列的通项公式与前n项的和的关系 ‎( 数列的前n项的和为).‎ 二、等差数列的性质 ‎ 1、等差数列与函数的关系 ‎ 当公差时，‎ ‎ (1)等差数列的通项公式是关于的一次函数,斜率为；‎ ‎ (2)前和是关于 的二次函数且常数项为0。‎ ‎ 2、等差数列的增减性 ‎ 若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，‎ ‎ 若公差，则为常数列。‎ ‎ 3、通项的关系 ‎ 当时,则有，‎ ‎ 特别地，当时，则有.‎ 注：‎ ‎ 4、常见的等差数列 ‎ （1）若、为等差数列，则都为等差数列。‎ ‎ （2）若{}是公差为的等差数列，则，…也成等差数列（公差为）。‎ ‎ （3）数列为等差数列,每隔项取出一项仍为等差数列。‎ ‎ 5、前n项和的性质 ‎ 设数列是等差数列，为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前项的和.‎ ‎①当项数为偶数时，则 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎②当项数为奇数时，则 ‎ ‎ ‎（其中是项数为的等差数列的中间项）‎ ‎6、求的最值（或求中正负分界项）‎ ‎（1）因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性.‎ ‎（2）①“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和 ‎ 即当，由可得达到最大值时的值.‎ ‎②“首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和.‎ ‎ 即当，由可得达到最小值时的值.‎ 三、等差数列的判定与证明 ‎1、等差数列的判定方法：‎ ‎（1）定义法：若或(常数)是等差数列；‎ ‎（2）等差中项：数列是等差数列；‎ ‎（3）数列是等差数列（其中是常数）；‎ ‎（4）数列是等差数列,（其中、是常数）.‎ ‎2、等差数列的证明方法：‎ 定义法：若或(常数)是等差数列．‎ 题型一：性质的应用 例1（1）是等差数列，若，，求 ‎ （2）是等差数列，是其前项和，若，求 例2（2010山东）已知等差数列满足：，，的前项和为.‎ ‎ （Ⅰ）求及；‎ ‎ （Ⅱ）令（），求数列的前项和为.‎ 题型二：求最值 例3是等差数列，是其前项和，若,求使得最大的的值.‎ 例4是等差数列，，求的最小值.‎ 题型三：证明 例5已知数列，是其前项和，且满足，，求证：是等差数列.‎ 等比数列及其前n项和 重要知识点：‎ 1. 定义：，为数列的公比 2. 等比中项：若成等比数列，那么A叫做与的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。如已知两个正数的等差中项为A，等比中项为B，则A与B的大小关系为______（答：A＞B）‎ 3. 等比数列的前项和公式：‎ 等比数列前项和公式有两种形式，为此在求等比数列前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比是否为1时，要对分和两种情形讨论求解。‎ ‎4.等比数列的性质：‎ ‎（1）当时，则有，特别地，当时，则有.‎ ‎（2）一公比为的等比数列，其和成等比数列，公比为.‎ ‎(3)若，则为递增数列；若, 则为递减数列；若 ，则为递减数列；若, 则为递增数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列.‎ ‎(4) 当时，，这里，但，这是等比数列前项和公式的一个特征，据此很容易根据，判断数列是否为等比数列。如若是等比数列，且，则＝ ‎ ‎（答：－1）‎ (5) 如果数列既成等差数列又成等比数列，那么数列是非零常数数列.‎ 4. 等差数列的判定 ‎①定义法：‎ ‎②等比中项；(，)①‎ 注①：i. ，是a、b、c成等比的双非条件，即a、b、c等比数列.‎ ii. （ac＞0）→为a、b、c等比数列的充分不必要.‎ iii. →为a、b、c等比数列的必要不充分.‎ iv. 且→为a、b、c等比数列的充要.‎ 注意：任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.‎ 5. 一些常用公式 ‎①1+2+3 …+n = ‎ ‎②‎ ‎[注]：熟悉常用通项：9，99，999，…；‎ ‎ 5，55，555，….‎ 例1数列中，=4+1 ()且=1，若，求证：数列是等比数列。‎ 例2等比，，设，‎ （1） 证明等差 （2） 求的前项和和的通项公式、‎ ‎ ‎ 等差，等比数列练习 ‎1．（01天津理，2）设Sn是数列{an}的前n项和，且Sn=n2，则{an}是（ ）‎ A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 ‎2．（06全国I）设是公差为正数的等差数列，若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.（06全国II）设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝( )‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（02京）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）‎ A.13项 B.12项 C.11项 D.10项 ‎5. 设数列，，若以，，，为系数的二次方程：‎ ‎，(且)都有根、满足。‎ ‎（1）求证：为等比数列；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）求的前项和. ‎ ‎ ‎