数列的综合应用知识点总结例题解析高考练习题带答案

数列的综合应用知识点总结例题解析高考练习题带答案

数列的综合应用 ‎【考纲说明】‎ ‎1．会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的 和；‎ ‎2．能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题；‎ ‎3 .理解数列作为函数的特性，能够抽象出数列的模型；‎ ‎【知识梳理】‎ 考点一：通项公式的求解技巧 1. 归纳、猜想数列的通项.‎ 2. 迭代法求一阶递推式的通项公式.‎ 3. 用等差（等比）数列的通项公式求数列的通项公式.‎ 4. 已知数列{an}前n项和Sn，则.‎ 5. 已知an-an-1=f(n)(n³2),则可用叠加法求an.‎ 6. 已知=f(n)(n³2),则可用叠乘法求an.‎ 7. 已知数列{an}前n项之积Tn，一般可求Tn-1，则an=.‎ 8. 已知混合型递推式f(an,Sn)=0,可利用an=Sn-Sn-1(n³2)将关系式转化为只含有an或Sn的递推式,再求an或先间接求出Sn再求出an.‎ 9. 已知数列{an}的递推关系，研究它的特点后，可以通过一系列的恒等变形如:倒数、通分、约分、裂项、等式两边同时乘以或除以同一个式子、因式分解、平方、开方、配方、取对数、辅助数列、待定系数等等构造得出新数列{f(an)}为等差或等比数列.‎ 例如:形如an+1=Aan+f(n)或an+1=Aan+qn,均可以两边同时除以An+1后进行求解,也可以通过待定系数法将其转化为等比数列求解;形如an＝的递推数列可以两边同时倒数来求通项.‎ 考点二：数列求和的技巧 一、公式法 ‎1、等差数列的前项和公式 ‎ ‎ ‎2、等比数列的前项和公式 ‎ ‎ ‎3、常用几个数列的求和公式 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ 二、 错位相减法 ‎ 用于求数列的前n项和，其中，分别是等差数列和等比数列。‎ 三、 裂项相消法 适用于{}其中{an}是各项不为0的等差数列。即:=(-),‎ 特别:;.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 四、 倒序相加法 ‎ 推导等差数列的前项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它 ‎ ‎ 与原数列相加，就可以得到个。‎ 五、 分组求和法 ‎ 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等 ‎ 差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。‎ 考点三：数列的综合应用 一、 数列与函数的综合 二、 等差与等比数列的综合 一、 数列的实际应用 ‎ 数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合 ‎【经典例题】‎ ‎【例1】 (2011年高考天津卷理科4)已知为等差数列，其公差为-2，且是与的 ‎ 等比中项，为的前n项和, ,则的值为 ‎ A．-110 　　 B．‎-90 　　 ‎ C．90 　 D．110‎ ‎【解析】D ‎【例2】(2011年高考江西卷理科5)已知数列的前项和满足:,且 ‎ ‎ ,那么 ( )‎ ‎ A. 1 B. ‎9 C. 10 D. 55‎ ‎【解析】A ‎【例3】（2008年江西省高考题）数列{an}的通项公式是an=，若前n项和为10， ‎ ‎ 则项数为（ ）‎ ‎ A、11 B、‎99 C、120 D、121‎ ‎【解析】C ‎【例4】（2008安徽）设数列{an}满足a1=a，an+1=can+1-c，n∈N*，其中a，c为实数，c≠0‎ 1. 求数列{an}的通项公式；‎ 2. 设a=，c=，bn=n（1-an），n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn。‎ ‎【解析】（1）∵an+1-1=c（an-1）‎ ‎ ∴当a≠1时，{an-1}是首项为a-1，公比为c的等比数列 ‎ ∴an-1=（a-1）cn-1，即an=（a-1）cn-1+1‎ ‎ 当n=1时，an=a仍满足上式。‎ ‎ ∴数列{an}的通项公式为an=（a-1）cn-1+1（n∈N*）‎ ‎（2）由（1）得bn=n（1-a）cn-1=n（）n，‎ ‎ Sn=b1+b2+…+bn=+2（）2+…+n（）n ①‎ ‎ Sn=（）2+2（）3+…+（n-1）（）n+n（）n+1 ②‎ ‎ ∴①-②得Sn=+（）2+…+（）n-n（）n+1‎ ‎ ∴Sn=1++（）2+…+（）n-1-n（）n=2[1-（）n]-n（）n ‎ ∴Sn=2-（2+n）（）n ‎【例5】（2008浙江省） 已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=2np+nq（n∈N*，p，q为常数），‎ ‎ 且x1，x4，x5成等差数列，求：‎ （1） P，q的值；‎ （2） 数列{xn}前n项和Sn的公式。‎ ‎【解析】‎ （1） 由x1=3，得2p+q=3‎ ‎ 又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4，得3+25p+5q=25p+8q ‎ 解得p=1，q=1‎ ‎（2）Sn=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）=2n+1-2+‎ ‎【例6】 (2011年福建理16)已知等比数列{an}的公比q=3，前3项和S3=。‎ ‎（I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（II）若函数在处取得最大值，且最大值 ‎ 为a3，求函数f（x）的解析式。‎ ‎【解析】（I）由 解得 所以 ‎（II）由（I）可知 因为函数的最大值为3，所以A=3。‎ 因为当时取得最大值，‎ 所以 又 ‎ 所以函数的解析式为 ‎【例7】(2011年全国新课标卷)等比数列的各项均为正数，且 ‎(1)求数列的通项公式.‎ ‎(2)设 求数列的前项和.‎ ‎【解析】（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由得所以。‎ 由条件可知a>0,故。‎ 由得，所以。‎ 故数列{an}的通项式为an=。‎ ‎（Ⅱ ）‎ 故 所以数列的前n项和为 ‎【例8】(2011年高考浙江卷理科19)已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为，且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式及（Ⅱ）记，，当时，试比较与的大小.‎ ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎ 则 ，‎ ‎（Ⅱ） ‎ 因为，所以 当时， 即；‎ 所以当时，；当时， .‎ ‎【课堂练习】‎ 1. ‎（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中 ‎ 项, ,则等于 ‎ ‎ A. 18 B. ‎24 C. 60 D. 90 ‎ ‎2.（2010江西理数）等比数列中，，=4，函数，则（ ）‎ ‎ A． B. C. D. ‎ (1) ‎（2010湖北文数）7.已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数 ‎ 列，则 ‎ A. B. C. D ‎4.（2010福建理数）设等差数列的前n项和为,若,,则当 ‎ 取最小值时,n等于 ‎ A．6 B．‎7 ‎ C．8 D．9‎ ‎5.（2013年福建（理））已知等比数列的公比为q,记则以下结论一定正确的是( )‎ A.数列为等差数列,公差为 B.数列为等比数列,公比为 C.数列为等比数列,公比为 D.数列为等比数列,公比为 6．（2013年重庆（理））已知是等差数列,,公差,为其前项和,若成等比数列,则 ‎7．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版））已知等比数列是递增数列,是的前项和,若是方程的两个根,则____________. ‎ ‎8、（2009年全国卷）设等差数列{}的前项和为，公比是正数的等比数列{}的前项和为，已知的通项公式。‎ ‎9、（2011浙江卷）已知公差不为0的等差数列的首项为，且，，成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）对，试比较与的大小．‎ ‎10、（2010年山东卷）已知等差数列满足：，，的前项和为 ‎（Ⅰ）求及；‎ ‎（Ⅱ）令（），求数列的前项和为。‎ ‎11.（2013年湖北卷（理））已知等比数列满足:,.‎ ‎(I)求数列的通项公式;‎ ‎(II)是否存在正整数,使得?若存在,求的最小值;若不存在,说明理由.‎ ‎12．（2013年山东（理））设等差数列的前n项和为,且,.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设数列前n项和为,且 (为常数).令.求数列的前n项和.‎ ‎【课后作业】‎ ‎1.（2009重庆卷文）设是公差不为0的等差数列，且成等比数列，则的前项和=（ ） ‎ A． B． C． D．‎ ‎2.（2010安徽理数）设是任意等比数列，它的前项和，前项和与前项和分别 为，则下列等式中恒成立的是 A、 B、‎ C、 D、‎ 3．（2013辽宁）下面是关于公差的等差数列的四个命题:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中的真命题为 ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎4．（2013年新课标Ⅱ卷）等差数列的前项和为,已知,则的最 ‎ 小值为________.‎ ‎ ‎ ‎5. 已知（2008年湖北省质检题）求和：Sn=-1+3-5+7-…+（-1）n（2n-1） ‎ ‎6. {an}的通项an=lg，求{an}的前n项和Sn。‎ ‎7．（2013年高考四川卷（理））在等差数列中,,且为和的等比中项,求数列的首项、公差及前项和.‎ ‎8.（2009辽宁卷）等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列 ‎ （1）求{}的公比q；‎ ‎ （2）求-=3，求 ‎ ‎9.（2010重庆文数）（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分. ）‎ 已知是首项为19，公差为-2的等差数列，为的前项和.‎ ‎（Ⅰ）求通项及；‎ ‎（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的通项公式及其前项和.‎ ‎10.若函数对任意都有。‎ ‎（1），数列是等差数列吗？是证明你的结论；‎ ‎（2）求数列的的前项和。‎ ‎【参考答案】‎ ‎【课堂练习】‎ ‎1、C 2、C 3、C 4、A 5、C 6、64 7、63‎ ‎8、解： 设的公差为，的公比为 由得 ①‎ 由得 ②‎ 由①②及解得 ‎ ‎ 故所求的通项公式为 ‎ ‎9、解：设等差数列的公差为，由题意可知 ‎ 即，从而 因为 ‎ 故通项公式 ‎ （Ⅱ）解：记 ‎ 所以 ‎ 从而，当时，；当 ‎10、解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，‎ 由于，，所以，，‎ 解得，，由于， ，‎ 所以，‎ ‎（Ⅱ）因为，所以 因此 故 ‎ 所以数列的前项和 ‎11、解:(I)由已知条件得:,又,, ‎ ‎ 所以数列的通项或 (II)若,,不存在这样的正整数; 若,,不存在这样的正整数. ‎ ‎12、解:(Ⅰ)设等差数列的首项为,公差为, 由,得 , 解得,, 因此 (Ⅱ)由题意知: 所以时, 故, 所以, 则 两式相减得 整理得 所以数列数列的前n项和 ‎ ‎【课后作业】‎ 1、 A 2、D 3、D 4、-49 5、当n为偶数时，Sn=n；当n为奇数时，Sn=-n ‎6、∵an=lg=lg（n+1）-lgn ‎ ∴Sn=（lg2-lg1）+（lg3-lg2）+…+（lg（n+1）-lgn）=lg（n+1）-lg1=lg（n+1）‎ ‎7、解:设该数列公差为,前项和为.由已知,可得 . 所以, 解得,或,即数列的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3. 所以数列的前项和或 ‎ ‎8、解：（Ⅰ）依题意有 ‎ 由于 ，故 ‎ ‎ 又，从而 ‎ ‎ （Ⅱ）由已知可得 ‎ 故 ‎ ‎9、‎ ‎10.解：（1）、（倒序相加）‎ ‎ ‎ 则，由条件：对任意都有。‎ 从而：数列是的等差数列。‎ ‎（2）、‎ ‎=‎ ‎=‎ 故：=‎