北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑三

北大附中高考数学专题复习导数与微分经点答疑三

学科：数学 教学内容：导数与微分经点答疑（三）‎ 例8 设 思路启迪 利用三角函数的关系，将secx写成，再利用商的求导法则及cosx的导数公式即可求出 规范解法 由上例得 类似地可得 例9 设 规范解法 y＝sin2x＝2sinxcosx．由法则2得 从上面的例子可以看出，y＝sin2x是一个复合函数，它由两个函数y＝sinu与u＝2x复合而成，sin2x的导数是2cos2x而不是cos2x，那么sin2x的导数与sinu的导数和u＝2x的导数是什么关系呢？由于，而，即y对x的导数等于y对中间变量u的导数再乘以中间变量u对x的导数．一般地，我们有复合函数的求导法则（4）‎ 法则（4）设函数在点x可导，函数y＝f（u）在其对应点 也可导，则复合函数在点x可导，且y对x的导数等于y对中间变量的导数再乘以中间变量对自变量x的导数．即： 证明：设自变量x有增量△x（△x≠0）时，中间变量u和函数y分别有相应增量△u与△y，由于在x处可导，从而连续，即有．‎ 重复应用法则（4），我们可以把复合函数求导法则推广到多次（有限次）复合的情形，如设 ‎[注：求复合函数的导数，首先要把复合函数进行“分解”，即找出它是由哪几个“简单函数”复合而成．这里的“简单函数”是指基本初等函数或多项式函数．因为导数基本公式中都是基本初等函数的导数，而多项式函数是幂函数的线性组合，其导数也易求．然后再利用复合函数的求导法则和导数的基本公式即可．如果“分解”得不彻底，即“分解”出来的函数不是基本初等函数或“多项式”函数，则在利用法则和公式时就要出现错误．]‎ 例10 思路启迪 该函数可以分解成两个函数，对于这两个函数的导数可利用公式．只要正确运用复合函数求导法则及相应公式即可．‎ 规范解法 设u＝4x－1,则可看作是由复合而成的，由复合函数的求导法则得： 例11 规范解法 设u＝cosx,则可看作是由与u＝cosx 复合而成，由复合函数的求导法则得 例12 思路启迪 函数y＝sinlnx是由函数y＝sinu与u＝lnx复合构成．这里写出中间变量u只是为了初学者正确使用复合函数求导法则，其实，在复合函数求导法则运用熟练以后，中间变量就不必再写出来，但复合关系一定要清楚，并且心中记住复合函数求导的过程．‎ 规范解法 例13 思路启迪 函数 规范解法 例14 思路启迪 该函数是由两个函数复合而成，求y对x的导数，先求y对u即对求导，再乘以u即对x的导数．‎ 思路启迪 利用恒等式将写成，则可看用由与两个函数复合而成．‎ 求由多个函数经多次复合而成的复合函数的导数时，就要多次地应用复合函数求导法则．‎ ．‎ 分析上例，怎样逐次地应用复合函数的求导法则呢？应先对给定的函数进行分析，当取什么函数作为中间变量（不必写出，心中清楚）时，给定的函数对此中间变量求导并利用导数公式．本例是把看作中间变量，给定的函数就可应用幂函数的导数公式，根据复合函数求导法则，有：‎ 这时中间变量仍是变量x的复合函数，重复刚才所说的方法，本例是把看作中间变量，可利用正弦函数的导数公式，由复合函数的求导法则有：‎ 逐次地作下去，直至最后一个中间变量对x求导数为止（本例最后一个中间变量即为）．‎ 从上面分析看到，要逐次地应用复合函数求导法则，关键在于选择中间变量，选择的原则是某个函数做中间变量时，给定的函数变可应用导数公式．‎ 思路启迪 可看作复合而成，而是由x与两个函数的和所构成，可看作是与复合而成．‎ 规范解法 思路启迪 由于x≠0与x＝0时函数的结构不相同，因此须用导数定义求解法．‎ ‎[注：一般情况求分段函数的导函数可以按照以下步骤来完成．‎ ‎①若函数在各段开区间为可导，应分别求出它在各区间内的导数．‎ ‎②判断分段点处的可导性．‎ ‎（Ⅰ）若函数在点不连续，则它在点不可导．‎ ‎（Ⅱ）若函数在点连续，按分段点左、右侧的不同解析式分别求出其左、右导数．‎ 当左、右导数存在并且相等时，则函数在点可导；‎ 当左、右导数存在，但不相等；或其中至少有一个导数不存在，则在点就不可导]．‎ 例23 证明可导的偶函数的导函数为奇函数，而可导的奇函数的导函数为偶数．并对这个事实加以几何解释．‎ 思路启迪 要证明一个函数是奇数，需证明，有f（－x）＝－f（x）,而要证明一个函数是偶函数，需证明f（－x）＝f（x）．‎ 规范证法 设f（x）为偶函数，则对x∈R有f（－x）＝f（x），‎ 同理可证：可导的奇函数的导函数为偶函数．‎ 这个事实说明：凡对称于Oy轴的图形，其对称点的切线也关于Oy轴对称；凡关于原点对称的图形，其对称点的切线相互平行．‎ 思路启迪 是由sinnx与两个函数所构成；而是由sinu与u＝nx复合而成；是由与复合而成．‎ 规范解法 例25 设函数 讨论：（1）n取何值时，f（x）在x＝0连续。‎ ‎（2）n取何值时，f（x）在x＝0可导．‎ 思路启迪 要使函数f（x）在点连续，需使要使函数f（x）在点可导，需使极限存在，只要能紧扣函数的连续与可导的这两个定义，本题将会迎刃而解．‎ 此极限当n－1>0时存在，因此n≥2时，f（x）在x＝0可导，此时，．‎ 可以看出，反函数x＝lny对y的导数，等于直接函数对于x 的导数的倒数；反之亦然．一般地，我们有（反函数求导法则）‎ 法则（5）若函数y＝f（x）在点x处有导数，且，则它的反函数在相应点上也有导数，且 证明：设x有增量△x≠0，相应地y的增量为△y（△y≠0）,由于y＝f（x）在点x可导，从而连续．因此故有 例26 求y＝arcsinx的导数．‎ 同理可得：‎ 思路启迪 函数可以看作y＝arccotu与两个函数复合而成．借助复合函数数求导法则及前面的公式即可求出．‎ 前面，我们不仅把所有的基本初等函数的导数（作为我们的公式）都求了出来，而且还给出了函数的和、差、积、商的求导法则与复合函数的求导法则，因此，现在我们可以说：一切初等函数的求导问题均已解决．事实上，根据初等函数的定义，初等函数是可用一个式子表示的，而这个式子是由基本初等函数（常数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数）经过有限次的四则运算和有限次复合而构成的，所以任何初等函数的导数都可以利用基本公式和上述求导法则求出来．因此，前面给出的公式和求导法则，对于求导运算是非常重要的，我们必须熟练掌握，并能熟练运用．为了便于查阅和记忆，现将这些公式和求导法则归纳如下 导数的基本公式：‎ 求导法则：‎ 求导数运算称为微分法，它是微积分学最基本运算之一，这就要求我们熟练地掌握，为此，首先必须牢记导数公式表；其次，能够熟练地使用求导法则，尤其要掌握好复合函数求导法则．‎ ‎10．对不等式可否逐项求导？‎ 一般地说不行，如在区间（－∞，0）上有，但在此区间上不能对此不等式逐项求导，因为在（－∞，0）上，不等式2≤2x是不成立的．‎