2009年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

2009年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

‎2009年北京市高考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）‎ ‎1．（5分）（2009•北京）在复平面内，复数z=i（1+2i）对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可确定复数z所在象限．‎ ‎【解答】解：∵z=i（1+2i）=i+2i=﹣2+i，‎ ‎∴复数z所对应的点为（﹣2，1），‎ 故选B ‎【点评】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系．属于基础知识的考查．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2009•北京）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（k∈R），=﹣，如果∥，那么（　　）‎ A．k=1且c与d同向 B．k=1且c与d反向 C．k=﹣1且c与d同向 D．k=﹣1且c与d反向 ‎【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=﹣1是否满足条件，从而选出应选的选项．‎ ‎【解答】解：∵=（1，0），=（0，1），若k=1，‎ 则=+=（1，1），=﹣=（1，﹣1），‎ 显然，与不平行，排除A、B．‎ 若k=﹣1，则=﹣+=（﹣1，1），=﹣=（1，﹣1），‎ 即∥ 且与反向，排除C，‎ 故选 D．‎ ‎【点评】本题考查平行向量的坐标表示，当两个向量平行时，一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2009•北京）为了得到函数的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点（　　）‎ A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 ‎【考点】对数函数的图像与性质．菁优网版权所有 ‎【分析】先根据对数函数的运算法则对函数进行化简，即可选出答案．‎ ‎【解答】解：∵，‎ ‎∴只需把函数y=lgx的图象上所有的点向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 故选C．‎ ‎【点评】本题主要考查函数图象的平移变换．属于基础知识、基本运算的考查．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2009•北京）若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【考点】直线与平面平行的性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；作图题；压轴题．‎ ‎【分析】画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．‎ ‎【解答】解：依题意，BB1的长度即A1C1到上面ABCD的距离，‎ ‎∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2009•北京）“a=+2kπ（k∈Z）”是“cos2a=”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角的三角函数的定义；二倍角的余弦．菁优网版权所有 ‎【分析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断．属于基础知识、基本运算的考查．将a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=时，a=+2kπ（k∈Z）却不一定成立，根据充要条件的定义，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：当a=+2kπ（k∈Z）时，‎ cos2a=cos（4kπ+）=cos=‎ 反之，当cos2a=时，‎ 有2a=2kπ+⇒a=kπ+（k∈Z），‎ 或2a=2kπ﹣⇒a=kπ﹣（k∈Z），‎ 故选A．‎ ‎【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2009•北京）若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（　　）‎ A．45 B．55 C．70 D．80‎ ‎【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】利用二项式定理求出展开式，利用组合数公式求出各二项式系数，化简展开式求出a，b，求出a+b ‎【解答】解析：由二项式定理得：‎ ‎（1+）5=1+C51+C52（）2+C53（）3+C54（）4+C55•（）5=1+5+20+20+20+4‎ ‎=41+29，‎ ‎∴a=41，b=29，a+b=70．‎ 故选C ‎【点评】本题考查二项式定理求二项展开式、组合数公式求二项式系数．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2009•北京）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（　　）‎ A．324 B．328 C．360 D．648‎ ‎【考点】计数原理的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，个位有8种，写出结果数，当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，写出结果，根据分类计数原理得到共有的结果数．‎ ‎【解答】解：由题意知本题要分类来解，‎ 当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，‎ 因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有8×8×4=256 ‎ 当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，‎ 共有9×8×1=72 ‎ 根据分类计数原理知共有256+72=328‎ 故选B ‎【点评】数字问题是排列中的一大类问题，条件变换多样，把排列问题包含在数字问题中，解题的关键是看清题目的实质，很多题目要分类讨论，要做到不重不漏．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2009•北京）点P在直线l：y=x﹣1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A，B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是（　　）‎ A．直线l上的所有点都是“点”‎ B．直线l上仅有有限个点是“点”‎ C．直线l上的所有点都不是“点”‎ D．直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”‎ ‎【考点】两点间距离公式的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题；创新题型．‎ ‎【分析】根据题设方程分别设出A，P的坐标，进而B的坐标可表示出，把A，B的坐标代入抛物线方程联立消去y，求得判别式大于0恒成立，可推断出方程有解，进而可推断出直线l上的所有点都符合．‎ ‎【解答】解：设A（m，n），P（x，x﹣1）则，B（2m﹣x，2n﹣x+1）‎ ‎∵A，B在y=x2上 ‎∴n=m2，2n﹣x+1=（2m﹣x）2‎ 消去n，整理得关于x的方程 ‎ x2﹣（4m﹣1 ）x+2m2﹣1=0‎ ‎∵△=8m2﹣8m+5＞0恒成立，‎ ‎∴方程恒有实数解，‎ ‎∴故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系．一般是把直线与圆锥曲线方程联立，解决直线与圆锥曲线的交点个数时，利用判别式来判断．‎ ‎　‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎9．（5分）（2009•北京）=　　．‎ ‎【考点】极限及其运算．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】通过因式分解把原式转化为=，消除零因子后得到，由此能够得到的值．‎ ‎【解答】解：‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查函数的极限，解题时要注意消除零因子．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2009•北京）若实数x，y满足则s=y﹣x的最小值为　﹣6　．‎ ‎【考点】简单线性规划．菁优网版权所有 ‎【分析】①画可行域如图②目标函数s为该直线纵截距③平移目标函数可知直线过（4，﹣2）点时s有最小值．‎ ‎【解答】解：画可行域如图阴影部分，令s=0作直线l：y﹣x=0‎ 平移l过点A（4，﹣2）时s有最小值﹣6，‎ 故答案为﹣6．‎ ‎【点评】本题考查线性规划问题：可行域画法 目标函数几何意义 ‎　‎ ‎11．（5分）（2009•北京）设f（x）是偶函数，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为　﹣1　．‎ ‎【考点】偶函数；导数的几何意义．菁优网版权所有 ‎【分析】偶函数关于y轴对称，结合图象，根据对称性即可解决本题．‎ ‎【解答】解；取f（x）=x2﹣1，如图，‎ 易得该曲线在（﹣1，f（﹣1））处的切线的斜率为﹣1．‎ 故应填﹣1．‎ ‎【点评】函数性质的综合应用是函数问题的常见题型，在解决这一类问题是要注意培养数形结合的思想方法．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2009•北京）椭圆+=1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，则|PF2|=　2　，∠F1PF2的大小为　120°　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】第一问用定义法，由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|；第二问如图所示：角所在三角形三边已求得，用余弦定理求解．‎ ‎【解答】解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，‎ ‎∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．‎ 在△F1PF2中，‎ cos∠F1PF2‎ ‎=‎ ‎==﹣，‎ ‎∴∠F1PF2=120°．‎ 故答案为：2；120°‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，这类题是常考类型，难度不大，考查灵活，特别是对曲线的定义和性质考查的很到位．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2009•北京）若函数则不等式的解集为　[﹣3，1]　．‎ ‎【考点】其他不等式的解法．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题；转化思想．‎ ‎【分析】先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集．‎ ‎【解答】解：①由．‎ ‎②由．‎ ‎∴不等式的解集为x|﹣3≤x≤1，‎ 故答案为：[﹣3，1]．‎ ‎【点评】本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法．属于基础知识、基本运算．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2009•北京）{an}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，n∈N*则a2009=　1　；a2014=　0　．‎ ‎【考点】数列的概念及简单表示法．菁优网版权所有 ‎【专题】压轴题．‎ ‎【分析】由a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，知第一项是1，第二项是1，第三项是0，第2009项的2009可写为503×4﹣3，故第2009项是1，第2014项等于1007项，而1007=252×4﹣1，所以第2014项是0．‎ ‎【解答】解：∵2009=503×4﹣3，‎ ‎∴a2009=1，‎ ‎∵a2014=a1007，‎ ‎1007=252×4﹣1，‎ ‎∴a2014=0，‎ 故答案为：1，0．‎ ‎【点评】培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎15．（13分）（2009•北京）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．‎ ‎（Ⅰ）求sinC的值；‎ ‎（Ⅱ）求△ABC的面积．‎ ‎【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由cosA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和cosA代入即可求出值；‎ ‎（Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和（Ⅰ）可知公式里边的a不知道，所以利用正弦定理求出a即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0，‎ ‎∴A为锐角，‎ 则sinA==‎ ‎∴‎ ‎∴sinC=sin（﹣A）=cosA+sinA=；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA=，sinC=，‎ 又∵，‎ ‎∴在△ABC中，由正弦定理，得 ‎∴a==，‎ ‎∴△ABC的面积S=absinC=×××=．‎ ‎【点评】考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值．灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值．‎ ‎　‎ ‎16．（14分）（2009•北京）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．‎ ‎（1）求证：BC⊥平面PAC；‎ ‎（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；‎ ‎（3）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．‎ ‎【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；证明题．‎ ‎【分析】（1）欲证BC⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BC与平面PAC内两相交直线垂直，根据线面垂直的性质可知PA⊥BC，而AC⊥BC，满足定理所需条件；‎ ‎（2）根据DE⊥平面PAC，垂足为点E，则∠DAE是AD与平面PAC所成的角．在Rt△ADE中，求出AD与平面PAC所成角即可；‎ ‎（3）根据DE⊥AE，DE⊥PE，由二面角的平面角的定义可知∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角，而PA⊥AC，则在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC，从而存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．‎ ‎【解答】解：（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．‎ 又∠BCA=90°，∴AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC．‎ ‎（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，‎ ‎∴DE=BC．‎ 又由（1）知，BC⊥平面PAC，‎ ‎∴DE⊥平面PAC，垂足为点E，‎ ‎∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角．‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB．‎ 又PA=AB，∴△ABP为等腰直角三角形，‎ ‎∴AD=AB．‎ 在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=AB，‎ ‎∴在Rt△ADE中，sin∠DAE===，‎ 即AD与平面PAC所成角的正弦值为．‎ ‎（3）∵DE∥BC，又由（1）知，BC⊥平面PAC，‎ ‎∴DE⊥平面PAC．‎ 又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PBC，‎ ‎∴DE⊥AE，DE⊥PE，‎ ‎∴∠AEP为二面角A﹣DE﹣P的平面角．‎ ‎∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，‎ ‎∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．‎ 这时，∠AEP=90°，‎ 故存在点E使得二面角A﹣DE﹣P是直二面角．‎ ‎【点评】考查线面所成角、线面垂直的判定定理以及二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．‎ ‎　‎ ‎17．（13分）（2009•北京）某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，遇到红灯时停留的时间都是2min．‎ ‎（Ⅰ）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；‎ ‎（Ⅱ）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；相互独立事件的概率乘法公式．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）由题意知在各路口是否遇到红灯是相互独立的，所以这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯是相互独立事件同时发生的概率，根据公式得到结果．‎ ‎（2）由题意知变量的可能取值，根据所给的条件可知本题符合独立重复试验，根据独立重复试验公式得到变量的分布列，算出期望．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，‎ ‎∵事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，‎ ‎∴事件A的概率为 ‎（Ⅱ）由题意可得ξ可能取的值为0，2，4，6，8（单位：min）‎ 事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”（k=0，1，2，3，4），‎ ‎∴，‎ ‎∴即ξ的分布列是 ‎ ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ P ‎∴ξ的期望是 ‎【点评】考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，而对立事件是指同一次试验中，不会同时发生的事件，遇到求用至少来表述的事件的概率时，往往先求它的对立事件的概率．‎ ‎　‎ ‎18．（13分）（2009•北京）设函数f（x）=xekx（k≠0）．‎ ‎（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅲ）若函数f（x）在区间（﹣1，1）内单调递增，求k的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；压轴题．‎ ‎【分析】（I）欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．‎ ‎（II）先求出f（x）的导数，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间即可；‎ ‎（III）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，若k＜0，则当且仅当﹣≥1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，由此即可求k的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=（1+kx）ekx，f′（0）=1，f（0）=0，‎ 曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x；‎ ‎（Ⅱ）由f′（x）=（1+kx）ekx=0，得x=﹣（k≠0），‎ 若k＞0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，‎ f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，‎ 当x∈（﹣，+∞，）时，f′（x）＞0，‎ 函数f（x）单调递增，‎ 若k＜0，则当x∈（﹣∞，﹣）时，‎ f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，‎ 当x∈（﹣，+∞，）时，‎ f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若k＞0，则当且仅当﹣≤﹣1，‎ 即k≤1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，‎ 若k＜0，则当且仅当﹣≥1，‎ 即k≥﹣1时，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增，‎ 综上可知，函数f（x）（﹣1，1）内单调递增时，‎ k的取值范围是[﹣1，0）∪（0，1]．‎ ‎【点评】本小题主要考查直线的斜率、利用导数研究函数的单调性、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力以及分类讨论思想．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）（2009•北京）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右准线方程为x=‎ ‎（I）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线l是圆O：x2+y2=2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．‎ ‎【考点】圆与圆锥曲线的综合．菁优网版权所有 ‎【专题】计算题；综合题；压轴题；转化思想．‎ ‎【分析】（ I）先利用条件列出关于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出双曲线方程．‎ ‎（II）先求出圆的切线方程，再把切线与双曲线方程联立求出关于点A，B坐标之间的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可证明∠AOB的大小为定值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意，，‎ 解得a=1，c=，‎ b2=c2﹣a2=2，‎ ‎∴所求双曲C的方程．‎ ‎（Ⅱ）设P（m，n）（mn≠0）在x2+y2=2上，‎ 圆在点P（m，n）处的切线方程为y﹣n=﹣（x﹣m），‎ 化简得mx+ny=2．‎ 以及m2+n2=2得 ‎（3m2﹣4）x2﹣4mx+8﹣2m2=0，‎ ‎∵切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且0＜m2＜2，‎ ‎3m2﹣4≠0，且△=16m2﹣4（3m2﹣4）（8﹣2m2）＞0，‎ 设A、B两点的坐标分别（x1，y1），（x2，y2），‎ x1+x2=，x1x2=．‎ ‎∵，‎ 且 ‎=x1x2+[4﹣2m（x1+x2）+m2x1x2]‎ ‎=+[4﹣+]‎ ‎=﹣=0．‎ ‎∴∠AOB的大小为900．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，‎ 考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（13分）（2009•北京）已知数集A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…an，n≥2）具有性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A．‎ ‎（I）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；‎ ‎（Ⅱ）证明：a1=1，且；‎ ‎（Ⅲ）证明：当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5成等比数列．‎ ‎【考点】数列的应用．菁优网版权所有 ‎【专题】证明题；综合题；压轴题；新定义；分类讨论．‎ ‎【分析】（I）根据性质P；对任意的i，j（1≤i≤j≤n），aiaj与两数中至少有一个属于A，验证给的集合集{1，3，4}与{1，2，3，6}中的任何两个元素的积商是否为该集合中的元素；‎ ‎（Ⅱ）由性质P，知anan＞an，故anan∉A，从而1=∈A，a1=1．再验证又∵＜＜…＜＜，，，…，，从而++…++=a1+a2+…+an，命题得证；‎ ‎（Ⅲ）跟据（Ⅱ），只要证明即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由于3×与均不属于数集{1，3，4，‎ ‎∴该数集不具有性质P．‎ 由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6，‎ ‎∴该数集具有性质P．‎ ‎（Ⅱ）∵A={a1，a2，…，an}具有性质P，‎ ‎∴anan与中至少有一个属于A，‎ 由于1≤a1＜a2＜…＜an，∴anan＞an 故anan∉A．‎ 从而1=∈A，a1=1．‎ ‎∵1=a1＜a2＜…an，n≥2，∴akan＞an（k=2，3，4，…，n），‎ 故akan∉A（k=2，3，4，…，n）．‎ 由A具有性质P可知∈A（k=2，3，4，…，n）．‎ 又∵＜＜…＜＜，‎ ‎∴，，…，，‎ 从而++…++=a1+a2+…+an，‎ ‎∴且；‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当n=5时，‎ 有，，即a5=a2•a4=a32，‎ ‎∵1=a1＜a2＜…＜a5，∴a3a4＞a2a4=a5，∴a3a4∉A，‎ 由A具有性质P可知∈A．‎ 由a2•a4=a32，得∈A，‎ 且1＜，∴，‎ ‎∴，‎ 即a1，a2，a3，a4，a5 是首项为1，公比为a2等比数列．‎ ‎【点评】本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分分类讨论等数学思想方法．此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属于较难层次题．‎