江苏省泰州市姜堰二中高考数学四模试卷解析

江苏省泰州市姜堰二中高考数学四模试卷解析

‎2016年江苏省泰州市姜堰二中高考数学四模试卷 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．‎ ‎1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B=_______．‎ ‎2．已知i为虚数单位，复数z=2i+，则复数z的模为_______．‎ ‎3．命题“∃x≥0，使x（x+3）≥0”的否定是_______．‎ ‎4．执行如图程序：‎ 输出的结果S是_______．‎ ‎5．在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P（x，y），则|x|+y≤0的概率为_______．‎ ‎6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为_______．‎ ‎7．函数f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形，则ω=_______．‎ ‎8．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于_______．‎ ‎9．x≥0，y＞0，x+y≤2，则+最小值_______．‎ ‎10．已知sin（+α）+sinα=，则sin（α+）的值是_______．‎ ‎11．设点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别是左右焦点，I是△PF1F2的内心，若△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积S1，S2，S3满足2（S1﹣S2）=S3，则双曲线的离心率为_______．‎ ‎12．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为_______．‎ ‎13．已知O为△ABC的垂心，且+2+3=，则A角的值为_______．‎ ‎14．设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54=4028，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为_______．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．‎ ‎15．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，BC=CC1=4，D是A1C1中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1CD；‎ ‎（Ⅱ）求点B到平面B1CD的距离．‎ ‎16．已知△ABC中，，记．‎ ‎（1）求f（x）解析式及定义域；‎ ‎（2）设g（x）=6m•f（x）+1，，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎17．如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．‎ ‎（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；‎ ‎（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．‎ ‎18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）上顶点A（0，2），右焦点F（1，0），设椭圆上任一点到点M（0，6）的距离为d．‎ ‎（1）求d的最大值；‎ ‎（2）过点F的直线交椭圆于点S，T两点，P为准线l上一动点．‎ ‎①若PF⊥ST，求证：直线OP平分线段ST；‎ ‎②设直线PS，PF，PT的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1，k2，k3成等差数列．‎ ‎19．已知函数f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0．‎ ‎（1）当a=﹣，c=时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当c=+1时，若f（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）设函数f（x）的图象在点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））两处的切线分别为l1、l2．若x1=，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．‎ ‎20．已知有穷数列{an}各项均不相等，将{an}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{Pn}，称{Pn}为{an}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{Pn}为1，3，2．‎ ‎（1）求证：有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列的充要条件是有穷数列{an}为单调数列；‎ ‎（2）若项数不少于5项的有穷数列{bn}，{cn}的通项公式分别是bn=n•（）n（n∈N*），cn=﹣n2+tn（n∈N*），且{bn}的序数列与{cn}的序数列相同，求实数t的取值范围；‎ ‎（3）若有穷数列{dn}满足d1=1，|dn+1﹣dn|=（）n（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{dn}的通项公式．‎ ‎　‎ 附加题[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）‎ ‎21．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连接AD，BD．若AC=4，DE=3，求BD的长．‎ ‎　‎ 附加题[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．已知矩阵M=，N=，试求曲线y=sinx在矩阵（MN）﹣1变换下的函数解析式．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知直线l：（t为参数）恒经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）当α=时直线l与椭圆C相交于A，B两点，求FA•FB的值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，求证：≥27．‎ ‎　‎ 解答题 ‎25．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：‎ 产假安排（单位：周）‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 有生育意愿家庭数 ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎26‎ ‎（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？‎ ‎（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．‎ ‎①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；‎ ‎②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．‎ ‎26．在数列|an|中，a1=t﹣1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：an+1（an+tn﹣1）=an（tn+1﹣1），（n∈N+）‎ ‎（1）猜想出数列|an|的通项公式并用数学归纳法证明之；‎ ‎（2）求证：an+1＞an，（n∈N+）．‎ ‎　‎ ‎2016年江苏省泰州市姜堰二中高考数学四模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．‎ ‎1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B=　{x|﹣1≤x≤3}　．‎ ‎【考点】并集及其运算．‎ ‎【分析】求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算得答案．‎ ‎【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2．‎ ‎∴A={x|﹣1≤x≤2}，‎ 又集合B={x|1＜x≤3}，‎ ‎∴A∪B={x|﹣1≤x≤3}，‎ 故答案为：{x|﹣1≤x≤3}，‎ ‎　‎ ‎2．已知i为虚数单位，复数z=2i+，则复数z的模为　　．‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】利用复数的运算性质、复数模的计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：复数z=2i+=2i+=2+i，‎ 则复数|z|==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎3．命题“∃x≥0，使x（x+3）≥0”的否定是　∀x≥0，x（x+3）＜0　．‎ ‎【考点】命题的否定．‎ ‎【分析】根据命题“∃x≥0，使x（x+3）≥0”是特称命题，其否定为全称命题，即∀x≥0，使x（x+3）＜0，从而得到答案．‎ ‎【解答】解：∵命题“∃x≥0，使x（x+3）≥0”是特称命题 ‎∴否定命题为∀x≥0，x（x+3）＜0，‎ 故答案为：∀x≥0，x（x+3）＜0‎ ‎　‎ ‎4．执行如图程序：‎ 输出的结果S是　880　．‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的S，I的值，当I=10时，结束循环，从而得解．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序代码，可得 S=1，‎ I=1，执行循环体，S=2，‎ I=4，执行循环体，S=10‎ I=7，执行循环体，S=80‎ I=10，执行循环体，S=880‎ 输出S的值为880．‎ 故答案为：880．‎ ‎　‎ ‎5．在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P（x，y），则|x|+y≤0的概率为　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（x，y）对应图形的面积，及满足条件|x|+y≤0的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．‎ ‎【解答】解：如图所示，满足条件|x|+y≤0”的区域为图中扇形的面积即阴影部分的面积，‎ ‎∵|x|+y≤0，‎ ‎∴扇形的圆心角为90°，‎ ‎∵R=2，‎ ‎∴S阴影=×4π=π，圆的面积为4π，‎ 故|x|+y≤0的概率为=，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为　4+4　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为2，高为2，求出棱锥的侧高，进而求出棱锥的侧面积，加上底面积后，可得答案．‎ ‎【解答】解：如下图所示：正四棱锥S﹣ABCD中，AB=BC=CD=AD=2，S0=2，E为BC中点，‎ 在Rt△SOE中，OE=AB=1，‎ 则侧高SE==，‎ 故棱锥的表面积S=2×2+4×（×2×）=4+4．‎ 故答案为：4+4．‎ ‎　‎ ‎7．函数f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形，则ω=　　．‎ ‎【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．‎ ‎【分析】由降幂公式和三角恒等变换公式化简f（x），由正三角形知道高和底，由此知道周期，得到ω．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）‎ ‎=3cosωx+sinωx=2sin（ωx+），‎ ‎∵△ABC为正三角形，∴△ABC的高为2，BC=4，‎ ‎∴周期T=8，∵T==8‎ ‎∴ω=．‎ ‎　‎ ‎8．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于　　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，只需求出A，B在图中的位置，∠AOB最大，即tan∠AOB最大即可．‎ ‎【解答】解：作出可行域，则A、B在图中所示的位置时，∠AOB最大，即tan∠AOB最大，‎ 由题意可得A（1，2），B（2，1）‎ ‎∴KOA=tan∠AOM=2，KOB=tan∠BOM=‎ ‎∵∠AOB=∠AOM﹣∠BOM，‎ ‎∴tan∠AOB=tan（∠AOM﹣∠BOM）‎ ‎=‎ ‎==，‎ 所以tan∠AOB的最大值为，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎9．x≥0，y＞0，x+y≤2，则+最小值　　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由条件可得[（x+2y）+（2x+y）]（+）=5++，运用基本不等式和不等式的性质，即可得到所求最小值．‎ ‎【解答】解：x≥0，y＞0，x+y≤2，可得 ‎[（x+2y）+（2x+y）]（+）=5++‎ ‎≥5+2=9，‎ 可得+≥‎ ‎=≥‎ 当且仅当2（2x+y）=x+2y，即x=0，y=2时，取得最小值．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎10．已知sin（+α）+sinα=，则sin（α+）的值是　﹣　．‎ ‎【考点】两角和与差的正弦函数．‎ ‎【分析】由条件利用两角和差的正弦公式，求得sin（α+）的值，再利用诱导公式求得sin（α+）=﹣sin（α+）的值．‎ ‎【解答】解：∵sin（+α）+sinα=cosα+sinα+sinα=（cosα+sinα）=sin（α+）=，‎ ‎∴sin（α+）=，故sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎　‎ ‎11．设点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别是左右焦点，I是△PF1F2的内心，若△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积S1，S2，S3满足2（S1﹣S2）=S3，则双曲线的离心率为　2　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】先根据题意作出示意图，利用平面几何的知识利用三角形面积公式，代入已知式2（S1﹣S2）=S3，化简可得|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．‎ ‎【解答】解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、‎ PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，‎ 则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，‎ 它们分别是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，‎ ‎∴S1=|PF1|•|IF|=|PF1|r，‎ S2=|PF2|•|IG|=|PF2|r，‎ S3=|F1F2|•|IE|=|F1F2|r，‎ 其中r是△PF1F2的内切圆的半径．‎ ‎∵S1﹣S2=S3，‎ ‎∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，‎ 两边约去得：|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，‎ 根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，‎ ‎∴2a=c⇒离心率为e==2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为　[3，+∞）　．‎ ‎【考点】分段函数的应用．‎ ‎【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．‎ ‎【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，‎ f（x）=，作出函数f（x）的图象，‎ 由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，‎ 若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，‎ 则a≥3即可，‎ 故实数a的取值范围是[3，+∞），‎ 故答案为：[3，+∞）‎ ‎　‎ ‎13．已知O为△ABC的垂心，且+2+3=，则A角的值为　　．‎ ‎【考点】向量的线性运算性质及几何意义．‎ ‎【分析】取AC，BC的中点分别为E，F；化简可得2+4=0，从而记||=x，则||=2x，|AB|=6x，|AC|=|EC|=，|EH|=2xcosA，从而可得=cosA，从而解得．‎ ‎【解答】解：∵+2+3=，‎ ‎∴++2+2=，‎ 取AC，BC的中点分别为E，F；‎ ‎∴2+4=0，‎ 记||=x，则||=2x，‎ ‎|AB|=6x，|AC|=|EC|=，|EH|=2xcosA，‎ 故=cosA，‎ 即=2cosA，‎ 解得cosA=或cosA=﹣（舍去），‎ 故A=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎14．设各项均为正整数的无穷等差数列{an}，满足a54=4028，且存在正整数k，使a1，a54，ak成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为　301　．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】由题意和等差数列的通项公式得a1+53d=4028，由d为正整数得a1是53的倍数，由等比中项的性质列出式子：a542=a1ak=4×4×19×19×53×53，对a1分类讨论，分别化简后结合题意可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意得a54=4028，则a1+53d=4028，‎ 化简得+d=76，‎ ‎∵d为正整数，∴a1是53的倍数，‎ ‎∵a1，a54，ak成等比数列，‎ ‎∴a542=a1ak=4×4×19×19×53×53，且an是整数，‎ ‎（1）若a1=53，53+53d=4028，解得d=75，‎ 此时ak=4×4×19×19×53=53+75（k﹣1），得k=4081，成立，‎ ‎（2）若a1=2×53，106+53d=4028，解得d=74，‎ 此时ak=2×4×19×19×53=2×53+74（k﹣1），得k=2886，成立，‎ ‎（3）若a1=3×53，159+53d=4028，解得d=73，‎ 此时ak=（4×4×19×19×53）不是整数，舍去，‎ ‎（3）若a1=4×53，212+53d=4028，解得d=72，‎ 此时ak=4×19×19×53=4×53+72（k﹣1），得k=1060，成立，‎ ‎（4）若a1=16×53=848，848+53d=4028，得53d=3180，d=60，‎ 此时ak=19×19×53=16×53+60（k﹣1），得k不是整数，不成立，‎ ‎（5）若a1=19×53=1007，1007+53d=4028，得53d=3021，d=57，‎ 此时ak=4×4×19×53=19×53+57（k﹣1），得k=265，成立，‎ ‎（6）若a1=53×53=2809，2809+53d=4028，得53d=1219，d=23，‎ 此时ak=4×4×19×19=53×53+72（k﹣1），得k=129，成立，‎ ‎∴公差d的所有可能取值之和为75+74+72+57+23=301．‎ 故答案为：301．‎ ‎　‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．‎ ‎15．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，BC=CC1=4，D是A1C1中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1CD；‎ ‎（Ⅱ）求点B到平面B1CD的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设BC1∩B1C于点E，连DE，利用三角形的中位线性质，证明DE∥A1B，即可证明A1B∥平面B1CD；‎ ‎（Ⅱ）利用等体积，求点B到平面B1CD的距离．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）设BC1∩B1C于点E，连DE，‎ ‎∵在△A1BC1中，D为A1C1的中点，E为BC1的中点，‎ ‎∴DE∥A1B，‎ ‎∵DE⊂平面B1CD，A1B⊄平面B1CD，‎ ‎∴A1B∥平面B1CD．‎ ‎（Ⅱ）解：△B1CD中，B1D=CD==2，B1C=4，‎ ‎∴==4．‎ 设点B到平面B1CD的距离为h，则h=，‎ ‎∴h=．‎ ‎　‎ ‎16．已知△ABC中，，记．‎ ‎（1）求f（x）解析式及定义域；‎ ‎（2）设g（x）=6m•f（x）+1，，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦定理．‎ ‎【分析】（1），结合正弦定理，可以表示出BC、AB边的长，根据边长为正，可求出x的取值范围，即定义域，同时我们不难给出求f（x）解析式．‎ ‎（2）由（1）的结论写出g（x）的解析式，并求出g（x）的值域（边界含参数），利用集合相等，边界值也相等，易确定参数的值．‎ ‎【解答】解：（1）由正弦定理有：‎ ‎∴=‎ ‎（2）g（x）=6mf（x）+1=‎ 假设存在实数m符合题意，∵，∴．‎ 因为m＞0时，的值域为（1，m+1]．‎ 又g（x）的值域为，解得；‎ ‎∴存在实数，使函数f（x）的值域恰为．‎ ‎　‎ ‎17．如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．‎ ‎（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；‎ ‎（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．‎ ‎【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】（1）设⊙P切OA于M，⊙Q切OA于N，记⊙P、⊙Q的半径分别为rP、rQ．可得|OP|=80﹣rP，由此求得rP的解析式．‎ ‎（2）由|PQ|=rP+rQ，求得rQ= （0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），求得rQ=80（﹣1﹣+），再利用二次函数的性质求得它的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，‎ 记⊙P、⊙Q的半径分别为rP、rQ．‎ ‎∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|=80﹣rP，‎ ‎∴+rP=80，∴rP= （0＜θ＜）．‎ ‎（2）∵|PQ|=rP+rQ∴|OP|﹣|OQ|=﹣=rP+rQ，‎ ‎∴rQ= （0＜θ＜）．‎ 令t=1+sinθ∈（1，2），∴rQ=80•=80（﹣1﹣+），‎ 令m=∈（，1），rQ=80（﹣2m2+3m﹣1），∴m=时，有最大值10．‎ ‎　‎ ‎18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）上顶点A（0，2），右焦点F（1，0），设椭圆上任一点到点M（0，6）的距离为d．‎ ‎（1）求d的最大值；‎ ‎（2）过点F的直线交椭圆于点S，T两点，P为准线l上一动点．‎ ‎①若PF⊥ST，求证：直线OP平分线段ST；‎ ‎②设直线PS，PF，PT的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1，k2，k3成等差数列．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）由题意可得b=2，c=1，解得a，可得椭圆的方程，设椭圆上一点（m，n），代入椭圆方程，再由两点的距离公式，化简整理可得n的二次函数，即可得到所求最大值；‎ ‎（2）①当过点F（1，0）的直线的斜率不存在，显然成立；当过点F的直线的斜率存在，设为x=my+1，代入椭圆方程4x2+5y2=20，运用韦达定理和中点坐标公式，可得ST的中点Q的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得n=﹣4m，由直线的斜率公式即可得证；‎ ‎②由①可得k2=，运用两点的斜率公式，计算k1+k3，运用点满足直线方程，化简整理，代入韦达定理，结合等差数列的中项的性质即可得证．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得b=2，c=1，a==，‎ 可得椭圆方程为+=1，‎ 设椭圆上一点（m，n），可得+=1，即m2=5（1﹣），‎ 即有d==‎ ‎==，‎ 由于﹣2≤n≤2，可得n=﹣2时，d取得最大值8；‎ ‎（2）①证明：当过点F（1，0）的直线的斜率不存在，即为x=1，‎ 显然有直线OP平分线段ST；‎ 当过点F的直线的斜率存在，设为x=my+1，‎ 代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得 ‎（4m2+5）y2+8my﹣16=0，‎ 设S（x1，y1），T（x2，y2），可得 y1+y2=﹣，y1y2=﹣，（*）‎ 线段ST的中点Q坐标为（，﹣），‎ 由椭圆的准线方程可得l：x=5，‎ 设P（5，n），即有直线OP的斜率为，‎ 由PF⊥ST，可得kPF==﹣m，即n=﹣4m，‎ 可得直线OP的斜率和直线OQ的斜率相等，且为﹣，‎ 则直线OP平分线段ST；‎ ‎②证明：由①可得k2=，‎ k1+k3=+=+‎ ‎=，‎ 代入（*），可得k1+k3==，‎ 即有k1+k3=2k2，则k1，k2，k3成等差数列．‎ ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0．‎ ‎（1）当a=﹣，c=时，求函数f（x）的单调区间；‎ ‎（2）当c=+1时，若f（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）设函数f（x）的图象在点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））两处的切线分别为l1、l2．若x1=，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求f（x）的单调区间；‎ ‎（2）若f（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，则只需求出f（x）的最小值即可；‎ ‎（3）由l1⊥l2知，，得到，分类讨论，再由导数与单调性的关系，即可得到实数c的最小值．‎ ‎【解答】解：函数，求导得．‎ ‎（1）当，时，，‎ 若，则恒成立，所以f（x）在上单调减；‎ 若，则，令f′（x）=0，解得或（舍），‎ 当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调减；‎ 当时，f′（x）＞0，f（x）在上单调增．‎ 所以函数f（x）的单调减区间是，单调增区间是．‎ ‎（2）当x＞c，时，，而，所以 当c＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（c，1）上单调减；‎ 当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调增．‎ 所以函数f（x）在（c，+∞）上的最小值为，‎ 所以恒成立，解得a≤﹣1或a≥1，‎ 又由，得a＞﹣2，所以实数a的取值范围是（﹣2，﹣1]．‎ ‎（3）由l1⊥l2知，，而，则，‎ 若，则，所以，‎ 解得，不符合题意；‎ 故，则，‎ 整理得，，由c＞0得，，‎ 令，则，t＞2，所以，‎ 设，则，‎ 当时，g′（t）＜0，g（t）在上单调减；‎ 当时，g′（t）＞0，g（t）在上单调增．‎ 所以，函数g（t）的最小值为，故实数c的最小值为．‎ ‎　‎ ‎20．已知有穷数列{an}各项均不相等，将{an}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{Pn}，称{Pn}为{an}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{Pn}为1，3，2．‎ ‎（1）求证：有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列的充要条件是有穷数列{an}为单调数列；‎ ‎（2）若项数不少于5项的有穷数列{bn}，{cn}的通项公式分别是bn=n•（）n（n∈N*），cn=﹣n2+tn（n∈N*），且{bn}的序数列与{cn}的序数列相同，求实数t的取值范围；‎ ‎（3）若有穷数列{dn}满足d1=1，|dn+1﹣dn|=（）n（n∈N*），且{d2n﹣1}的序数列单调减，{d2n}的序数列单调递增，求数列{dn}的通项公式．‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【分析】（1）由题意，分别证明充分性和必要性．其中，充分性证明即若有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列，则有穷数列{an}为单调数列，分别讨论{Pn}为递增数列时，数列{an}的特点是项由大到小依次排列，得到有穷数列{an}为单调递减数列；‎ 同理{Pn}为递减数列，有穷数列{an}为单调递增数列．必要性证明同样需将有穷数列{an}分为递增和递减来讨论，最后得出其序数列{Pn}为等差数列；‎ ‎（2）通过作差法比较相邻两项的大小关系，即bn+1﹣bn=•（）n，得到当n≥2时，bn+1＜bn．所以需要比较第一项的大小所在的位置，计算可以得出b2＞b3＞b1＞b4的大小关系．由数列{cn}大小关系为c2＞c3＞c1＞c4＞c5＞…＞cn﹣1＞cn．‎ 分别算出c1=t﹣1，c2=2t﹣4，c3=3t﹣9．由列c2＞c3＞c1列不等式并求解得t的取值范围．‎ ‎（3）因为{d2n﹣1}的序数列单调减，即d2n+1﹣d2n﹣1＞0，将其变形可得到d2n+1﹣d2n+d2n﹣d2n﹣1＞0．利用|d2n+1﹣d2n|=＜|d2n﹣d2n﹣1|=可得d2n﹣d2n﹣1＞0，即d2n﹣d2n﹣1==①，由d2n+1﹣d2n＜0，d2n+1﹣d2n==②‎ 整理①②得dn+1﹣dn=．所以可知数列{dn+1﹣dn}是等比数列，则可求其前n项和为Tn﹣1=（d2﹣d1）+（d3﹣d2）+…+（dn﹣dn﹣1）=dn﹣d1．即可求出数列{dn}的通项公式．‎ ‎【解答】（1）证明：由题意得，‎ 充分条件：‎ 因为有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列 所以①{Pn}为1，2，3，…，n﹣2，n﹣1，n 所以有穷数列{an}为递减数列，‎ ‎②{Pn}为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1‎ 所以有穷数列{an}为递增数列，‎ 所以由①②，有穷数列{an}为单调数列 必要条件：‎ 因为有穷数列{an}为单调数列 所以①有穷数列{an}为递减数列 则{Pn}为1，2，3，…，n﹣2，n﹣1，n的等差数列 ‎②有穷数列{an}为递增数列 则{Pn}为n，n﹣1，n﹣2，…，3，2，1的等差数列 所以由①②，序数列{Pn}为等差数列 综上，有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列的充要条件是有穷数列{an}为单调数列 ‎（2）解：由题意得，‎ 因为bn=n•（）n（n∈N*）‎ 所以bn+1﹣bn=•（）n 当n≥2时，bn+1﹣bn＜0即bn+1＜bn b2=，b2=，b3=，b4=‎ b2＞b3＞b1＞b4＞b5＞…＞bn﹣1＞bn 又因为cn=﹣n2+tn（n∈N*），且{bn}的序数列与{cn}的序数列相同 所以c2＞c3＞c1＞c4＞c5＞…＞cn﹣1＞cn 又因为c1=t﹣1，c2=2t﹣4，c3=3t﹣9‎ 所以2t﹣4＞3t﹣9＞t﹣1‎ 所以4＜t＜5即t∈（4，5）‎ ‎（3）解：由题意得，d2n+1﹣d2n﹣1＞0‎ 所以d2n+1﹣d2n+d2n﹣d2n﹣1＞0‎ 又因为|d2n+1﹣d2n|=＜|d2n﹣d2n﹣1|=‎ 所以d2n﹣d2n﹣1＞0，即d2n﹣d2n﹣1==①‎ d2n+1﹣d2n＜0，d2n+1﹣d2n==②‎ 整理①②得dn+1﹣dn=‎ 令数列Bn=dn+1﹣dn则数列{Bn}是以为首相，为公比的等比数列，所以{Bn}的前n﹣1项和为Tn﹣1==‎ 所以dn=d1+Tn﹣1=‎ ‎　‎ 附加题[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）‎ ‎21．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连接AD，BD．若AC=4，DE=3，求BD的长．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】先证明△EDA∽△DBA，再证明△ACD≌△AED，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：因为CD与⊙O相切于点D，所以∠CDA=∠DBA，…‎ 又因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB=90°．‎ 又DE⊥AB，所以△EDA∽△DBA，‎ 所以∠EDA=∠DBA，所以∠EDA=∠CDA．…‎ 又∠ACD=∠AED=90°，AD=AD，所以△ACD≌△AED．‎ 所以AE=AC=4，所以AD=5，…‎ 又=，所以BD=．…‎ ‎　‎ 附加题[选修4-2：矩阵与变换]‎ ‎22．已知矩阵M=，N=，试求曲线y=sinx在矩阵（MN）﹣1变换下的函数解析式．‎ ‎【考点】二阶行列式与逆矩阵．‎ ‎【分析】先求出MN，从而求出矩阵（MN）﹣1=，设（x，y）是曲线y=sinx上的任意一点，在矩阵（MN）﹣1变换下对应的点为（a，b），得到x=，y=2b，由此能求出曲线y=sinx在矩阵（MN）﹣1变换下的曲线方程．‎ ‎【解答】解：∵矩阵M=，N=，‎ ‎∴MN==，‎ ‎∵→，‎ ‎∴矩阵（MN）﹣1=，‎ 设（x，y）是曲线y=sinx上的任意一点，在矩阵（MN）﹣1变换下对应的点为（a，b）．‎ 则=，‎ ‎∴，即x=，y=2b，‎ 代入y=sinx得：2b=sin（a），即b=sin（a）．‎ 即曲线y=sinx在矩阵（MN）﹣1变换下的曲线方程为y=sin（x）．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知直线l：（t为参数）恒经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．‎ ‎（1）求m的值；‎ ‎（2）当α=时直线l与椭圆C相交于A，B两点，求FA•FB的值．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）椭圆C：（φ为参数），利用平方关系消去参数化为普通方程，可得右焦点F（1，0）．根据直线l：（t为参数）恒经过点（c，0），可得m．‎ ‎（2）当α=时，直线l的参数方程为：，代入椭圆方程可得：3t2+2t﹣2=0，利用|FA|•|FB|=|t1t2|，即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）椭圆C：（φ为参数），消去参数化为： +y2=1，可得右焦点F（1，0）．‎ 直线l：（t为参数）恒经过点（1，0），取t=0，则m=1．‎ ‎（2）当α=时，直线l的参数方程为：，代入椭圆方程可得：3t2+2t﹣2=0，‎ ‎∴t1t2=﹣．‎ ‎∴|FA|•|FB|=|t1t2|=．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，求证：≥27．‎ ‎【考点】不等式的证明．‎ ‎【分析】由正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，运用三元均值不等式，可得ab2c3≤，再由均值不等式即可得证．‎ ‎【解答】证明：因为正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，‎ 所以，即，‎ 所以，‎ 因此．‎ ‎　‎ 解答题 ‎25．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查，得到如下数据：‎ 产假安排（单位：周）‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ 有生育意愿家庭数 ‎4‎ ‎8‎ ‎16‎ ‎20‎ ‎26‎ ‎（1）若用表中数据所得的频率代替概率，面对产假为14周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？‎ ‎（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．‎ ‎①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；‎ ‎②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．‎ ‎【分析】（1）由表中信息可知，利用等可能事件概率计算公式能求出当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率和当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率．‎ ‎（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有10种，由此利用列举法能求出其和不低于32周的概率．‎ ‎②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．‎ ‎【解答】解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；‎ 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为…‎ ‎（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，‎ 由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选 法共有（种），‎ 其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6种，‎ 由古典概型概率计算公式得…‎ ‎②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．‎ ‎，，‎ ‎，‎ 因而ξ的分布列为 ξ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ P ‎0.1‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 所以E（ξ）=29×0.1+30×0.1+31×0.2+32×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1=32，…‎ ‎　‎ ‎26．在数列|an|中，a1=t﹣1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：an+1（an+tn﹣1）=an（tn+1﹣1），（n∈N+）‎ ‎（1）猜想出数列|an|的通项公式并用数学归纳法证明之；‎ ‎（2）求证：an+1＞an，（n∈N+）．‎ ‎【考点】用数学归纳法证明不等式．‎ ‎【分析】（1）由原递推式得到，再写出前几项，从而猜想数列|an|的通项公式，进而利用数学归纳法证明．‎ ‎（2）利用（1）的结论，作差进行比较，故可得证．‎ ‎【解答】解：（1）由原递推式得到，， =‎ 猜想得到…‎ 下面用数学归纳法证明 ‎10当n=1时 a1=t﹣1 满足条件 ‎20假设当n=k时，‎ 则，∴，∴‎ 即当n=k+1时，原命题也成立．‎ 由10、20知…‎ ‎（2）==‎ 而ntn﹣（tn﹣1+tn﹣2+…+t+1）=（tn﹣tn﹣1）+（tn﹣tn﹣2）+…+（tn﹣t）+（tn﹣1）=tn﹣1（t﹣1）+tn﹣2（t2﹣1）+tn﹣3（t3﹣1）+…+t（tn﹣1﹣1）+（tn﹣1）=‎ 故t＞0，且t≠1时有an+1﹣an＞0，即an+1＞an…‎ ‎　‎ ‎2016年9月9日