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文档介绍
高考数学一轮复习数列求和及数列实际问题学案
2013 年普通高考数学科一轮复习精品学案 第 30 讲 数列求和及数列实际问题 一．课标要求： 1．探索并掌握一些基本的数列求前 n 项和的方法； 2．能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等 比数列知识解决相应的实际问题。 二．命题走向 数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答 题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、 函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生 灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目。 有关命题趋势： 1．数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综 合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点； 2．数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考察学生 的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度； 3．数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等； 4．有关数列的应用问题也一直备受关注。 预测 2013 年高考对本将的考察为： 1．可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题上等联系的 综合题，以及数列、数学归纳法等有机结合。 三．要点精讲 1．数列求通项与和 （1）数列前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系式：an= 。 （2）求通项常用方法 ①作新数列法。作等差数列与等比数列； ②累差叠加法。最基本的形式是：an=(an－an－1)+(an－1+an－2)+…+(a2－a1)+a1； ③归纳、猜想法。 （3）数列前 n 项和 ①重要公式：1+2+…+n= n(n+1)； 12+22+…+n2= n(n+1)(2n+1)； 13+23+…+n3=(1+2+…+n)2= n2(n+1)2； ②等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd； ③等比数列中，Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn； ④裂项求和 将数列的通项分成两个式子的代数和，即 an=f(n+1)－f(n)，然后累加抵消掉中间的许 多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如： − − 1 1 s ss nn 1 2 = ≥ n n 2 1 6 1 4 1 、 = － 、 n·n ！ =(n+1)!－n!、Cn－1r－1=Cnr－Cn－1r、 = － 等。 ⑤错项相消法 对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n 项和，常用错项相消法。 , 其 中 是 等 差 数 列 ， 是 等 比 数 列 ， 记 ，则 ，… ⑥并项求和 把数列的某些项放在一起先求和，然后再求 Sn。 数 列 求 通 项 及 和 的 方 法 多 种 多 样 ， 要 视 具 体 情 形 选 用 合 适 方 法 。 ⑦通 项 分 解 法 ： 2．递归数列 数列的连续若干项满足的等量关系 an+k=f(an+k－1,an+k－2,…,an)称为数列的递归关系。 由递归关系及 k 个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列。如由 an+1=2an+1，及 a1=1，确 定的数列 即为递归数列。 递归数列的通项的求法一般说来有以下几种： （1）归纳、猜想、数学归纳法证明。 （2）迭代法。 （3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。 （4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。 四．典例解析 题型 1：裂项求和 例 1．已知数列 为等差数列，且公差不为 0，首项也不为 0，求和： 。 解析：首先考虑 ，则 = 。 点 评 ： 已 知 数 列 为 等 差 数 列 ， 且 公 差 不 为 0 ， 首 项 也 不 为 0 ， 下 列 求 和 也可用裂项求和法。 例 2．求 。 解析： ， )11(1 ))(( 1 CAnBAnBCCAnBAnan +−+−=++= )1( 1 +nn n 1 1 1 +n )!1( +n n ! 1 n )!1( 1 +n nnn cba ⋅= { }nb { }nc nnnnn cbcbcbcbS ++…++= −− 112211 1 2 1 1n n n n nqS b c b c b c− += +……+ + nnn cba ±= }12{ −n { }na ∑ = + n i ii aa1 1 1 =∑ = + n i ii aa1 1 1 ∑ = + − n i ii aad1 1 )11(1 ∑ = + n i ii aa1 1 1 1111 )11(1 ++ =− nn aa n aad { }na 1 1 11 1n n i i i ii i a a da a + = =+ −= +∑ ∑ )(,321 1 4321 1 321 1 21 11 *Nnn ∈+++++++++++++++ )1( 2 21 1 +=+…++= kkkak 点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些。 题型 2：错位相减法 例 3．设 a 为常数，求数列 a，2a2，3a3，…，nan，…的前 n 项和。 解析：①若 a=0 时，Sn=0； ②若 a=1，则 Sn=1+2+3+…+n= ； ③若 a≠1，a≠0 时，Sn-aSn=a（1+a+…+an-1-nan）， Sn= 。 例 4 ． 已 知 ， 数 列 是 首 项 为 a ， 公 比 也 为 a 的 等 比 数 列 ， 令 ，求数列 的前 项和 。 解析： ， ①-②得： ， 点评：设数列 的等比数列，数列 是等差数列，则数列 的前 项和 求 解，均可用错位相减法。 题型 3：倒序相加 例 5．求 。 解析： 。 ① 又 。 ② 所以 。 点评：Sn 表示从第一项依次到第 n 项的和，然后又将 Sn 表示成第 n 项依次反序到第一 项的和，将所得两式相加，由此得到 Sn 的一种求和方法。 ])1n(n 1 32 1 21 1[2Sn ++…+⋅+⋅=∴ 1 2 1 1121 11 3 1 2 1 2 11[2 += +−= +−+…+ −+ −= n n nnn )1n(n2 1 − ]naa)1n(1[)a1( a 1nn 2 +++−− 1,0 ≠> aa { }na )(lg Nnaab nnn ∈⋅= { }nb n nS , lgn n n na a b n a a= = ⋅ 2 3 2 3 4 1 ( 2 3 )lg ( 2 3 )lg n n n n S a a a na a aS a a a na a+ ∴ = + + + + = + + + + … … ① … … ② anaaaaSa nn n lg)()1( 12 +−+++=− [ ]n n anana aaS )1(1)1( lg 2 −+−−=∴ { }na { }nb { }nnba n nS S C C nCn n n n n= + + +3 6 31 2 … S C C C nCn n n n n n= + + + +0 3 6 30 1 2· … S nC n C C Cn n n n n n n= + − + + +−3 3 1 3 01 1 0( ) … · S nn n= −3 2 1· 例 6．设数列 是公差为 ，且首项为 的等差数列， 求和： 解析：因为 ， ， 。 点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列 的前 项和 ， 是否存在等差数列 使得 对一切自然数 n 都成立。 题型 4：其他方法 例 7．求数列 1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…前 n 项和。 解析：本题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前 n 项中共有 个奇数，故 。 例 8．求数列 1，3＋ ，32＋ ，……，3n＋ 的各项的和。 解析：其和为(1＋3＋……＋3 n)＋( ＋……＋ )= = (3n＋1－ 3-n)。 题型 5：数列综合问题 例 9．已知函数 ＝x3+x2，数列 | xn | （xn > 0）的第一项 x1＝1，以后各项按如下方 式取定：曲线 y＝ 在 处的切线与经过（0，0）和（xn，f（xn））两点 的直线平行（如图）。 求证：当 n 时：（I） ；（II） 。 解析：（I）因为 所以曲线 在 处的切线斜率 因为过 和 两点的直线斜率是 { }na d da =0 n nnnnn CaCaCaS +++=+ 1 1 0 01 n nnnnn CaCaCaS +++=+ 1 1 0 01 0 0 1 11 n n nn n nnn CaCaCaS +++= − −+ n nnnnn CaCaCa 0 1 1 0 +++= − 0 1 1 0 1 1 02 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nS a a C a a C a a C+ −∴ = + + + + + + 0 1 0 0( )( ) ( )2n n n n n n na a C C C a a= + + + + = + 1 1 0( ) 2n n nS a a − +∴ = + ⋅ { }na n nS 12)1( +−= nn { }nb n nnnnn CbCbCba +++= 2 2 1 1 1 2 1 2 + + + = +… n n n( ) S n n n n n n n = + + + + − = +( )[ ( ( ) ) ] ( )1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 4 2 2× 1 3 1 32 1 3n 1 3 1 32 + 1 3n 3 1 2 1 3 2 1n n+ −− + − 1 2 ( )f x ( )f x 1 1( ( ))n nx f x+ +⋅ ∈ *N 2 2 1 13 2n n n nx x x x− ++ = + 1 21 1( ) ( )2 2 n n nx− −≤ ≤ ' 2( ) 3 2 ,f x x x= + ( )y f x= 1 1( , ( ))n nx f x+ + 1 2 1 13 2 .nn nk x x++ += + (0,0) ( , ( ))n nx f x 2 ,n nx x+ 所以 . （II）因为函数 当 时单调递增， 而 所以 ，即 因此 又因为 令 则 因为 所以 因此 故 点评：数列与解析几何问题结合在一块，数列的通项与线段的长度、点的坐标建立起联 系。 例 10 ． 已 知 , 其 中 , 设 , 。 (I) 写 出 ； (II) 证 明 : 对 任 意 的 , 恒 有 。 解析：(I)由已知推得 ,从而有 ； (II) 证法 1:当 时， 当 x>0 时, ,所以 在[0,1]上为增函数。 因函数 为偶函数所以 在[－1,0]上为减函数， 所以对任意的 ， 2 2 1 13 2n n n nx x x x+ ++ = + 2( )h x x x= + 0x > 2 2 1 13 2n n n nx x x x+ ++ = + 2 1 14 2n nx x+ +≤ + 2 1 1(2 ) 2n nx x+ += + 12n nx x +≤ 1 1 ,2 n n x x + ≥ 11 2 1 2 1 1( ) .2 nn n n n n x x xx x x x −− − − = ⋅ ⋅⋅⋅⋅⋅ ≥ 1 2 2 12( ),nn n nx x x x+ ++ ≥ + 2 ,n n ny x x= + 1 1 .2 n n y y + ≤ 2 1 1 1 2,y x x= + = 1 2 1 1 1( ) ( ) .2 2 n n ny y− −≤ ⋅ = 2 21( ) ,2 n n n nx x x −≤ + ≤ 1 21 1( ) ( ) .2 2 n n nx− −≤ ≤ 0 ( ) ,nf x x= ' 1 1 ( )( ) (1) k k k f xf x f − − = ( , )k n n k N+≤ ∈ 0 2 1 2 2 2 0 1( ) ( ) ( ) ... ( ) ... ( )k n n n n k n nF x C f x C f x C f x C f x= + + + + + [ ]1,1x∈ − (1)kf [ ]1 2, 1,1x x ∈ − 1 1 2( ) ( ) 2 ( 2) 1nF x F x n n−− ≤ + − − ( ) ( 1) n k kf x n k x −= − + (1) 1kf n k= − + 1 1x− ≤ ≤ 2 1 2( 1) 2 2( 2) 2( ) 1 2( ) ( 1) ... ( 1) ... 2 1n n n k n k n n n n nF x x nC x n C x n k C x C x− − − −= + + − + − + + + + ( ) 0F x′ > ( )F x ( )F x ( )F x [ ]1 2, 1,1x x ∈ − 1 2( ) ( ) (1) (0)F x F x F F− ≤ − 0 1 2 1 1 2 1 0 (1) (0) ( 1) ... ( 1) ... 2 ( 1) ... ( 1) ... 2 k n n n n n n n n n k n n n n n F F C nC n C n k C C nC n C n k C C C − − − − − = + + − + − + + + = + − + − + + + + 1 ( 1) ( ) ( 1,2,3 1) n k n k n k n n n k k n n n k C n k C C nC C k n − − − − − + = − + = + = − 因此结论成立。 证法 2：当 时, 当 x>0 时, ,所以 在[0,1]上为增函数。 因函数 为偶函数所以 在[-1,0]上为减函数 所以对任意的 又因 所以 因此结论成立。 证法 3：当 时, 当 x>0 时, ,所以 在[0,1]上为增函数。 因为函数 为偶函数所以 在[－1,0]上为减函数。 所以对任意的 由 对上式两边求导得： 因此结论成立。 点评：数列与函数、导数结合在一块，考察数列是一种特殊的函数的性质，其中还要用 到数列的函数性质来解释问题。 题型 6：数列实际应用题 例 11．某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款 10 万元，第一年便可 获利 1 万元，以后每年比前一年增加 30%的利润；乙方案：每年贷款 1 万元，第一年可获利 1 万元，以后每年比前一年增加 5 千元；两种方案的使用期都是 10 年，到期一次性归还本 息. 若银行两种形式的贷款都按年息 5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？ （取 ） 1 2 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 (1) (0) ( ... ) ( ... ) (2 1) 2 1 2 ( 2) 1 k n n n n n n n n n n n F F n C C C C C C C n n n − − − − − − − − = + + + + + + = − + − = + − − 1 1x− ≤ ≤ 2 1 2( 1) 2 2( 2) 2( ) 1 2( ) ( 1) ... ( 1) ... 2 1n n n k n k n n n n nF x x nC x n C x n k C x C x− − − −= + + − + − + + + + ( ) 0F x′ > ( )F x ( )F x ( )F x [ ]1 2, 1,1x x ∈ − 1 2( ) ( ) (1) (0)F x F x F F− ≤ − 0 1 2 1(1) (0) ( 1) ... ( 1) ... 2k n n n n n nF F C nC n C n k C C −− = + + − + − + + + 1 2 1 1 0(1) (0) 2 3 ... ...k n n n n n nF F C C kC nC C− −− = + + + + + + 1 2 1 1 02[ (1) (0)] ( 2)[ ... ... ] 2k n n n n n nF F n C C C C C− −− = + + + + + + + 1 2 1 1 0 1 2(1) (0) [ ... ... ]2 2 (2 2) 1 2 ( 2) 12 k n n n n n n n n nF F C C C C C n n n − − − +− = + + + + + + += − + = + − − 1 1x− ≤ ≤ 2 1 2( 1) 2 2( 2) 2( ) 1 2( ) ( 1) ... ( 1) ... 2 1n n n k n k n n n n nF x x nC x n C x n k C x C x− − − −= + + − + − + + + + ( ) 0F x′ > ( )F x ( )F x ( )F x [ ]1 2, 1,1x x ∈ − 1 2( ) ( ) (1) (0)F x F x F F− ≤ − 0 1 2 1(1) (0) ( 1) ... ( 1) ... 2k n n n n n nF F C nC n C n k C C −− = + + − + − + + + 1 1 2 2 1 1 2 1 1 1 2 [(1 ) ] [ ... .. 1] ... .. n n n n k n k n n n n n n n k n k n n n n n x x x x C x C x C x C x C x C x C x C x x − − − − − − + − + − = + + + + + = + + + + + 1 1 1 2 2 1(1 ) (1 ) ( 1) ...( 1) .. 2 1n n n n n n k n k n n n n nx x nx x nx nC x n C x n k C x C x− − − − −+ − + + − = + − + − + + + + 2 2 2 1 2( ) (1 ) (1 )n n nF x x nx x nx−= + + + − 1 1(1) (0) 2 2 1 ( 2)2 1n n nF F n n n n− −∴ − = + − − = + − − 665.575.1,786.133.1,629.105.1 101010 === 解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列， ①甲方案获利： （万 元）， 银行贷款本息： （万元）， 故甲方案纯利： （万元）， ②乙方案获利： （万元）； 银行本息和： （万元） 故乙方案纯利： （万元）； 综上可知，甲方案更好。 点评：这是一道比较简单的数列应用问题，由于本息金与利润是熟悉的概念，因此只建 立通项公式并运用所学过的公式求解。 例 12．自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察 其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 xn 表示某鱼群在第 n 年年初的总量，n∈N*， 且 x1＞0.不考虑其它因素，设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 xn 成正比，死亡量与 xn2 成正比，这些比例系数依次为正常数 a，b，c。 （Ⅰ）求 xn+1 与 xn 的关系式； （Ⅱ）猜测：当且仅当 x1，a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？ （不要求证明） （Ⅱ）设 a＝2，b＝1，为保证对任意 x1∈（0,2），都有 xn＞0，n∈N*，则捕捞强度 b 的 最大允许值是多少？证明你的结论。 解析：（I）从第 n 年初到第 n+1 年初，鱼群的繁殖量为 axn，被捕捞量为 bxn，死亡量 为 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则 xn 恒等于 x1， n∈N*， 从而由（*）式得： 因为 x1>0，所以 a>b。 猜测：当且仅当 a>b，且 时，每年年初鱼群的总量保持不变。 63.423.0 13.1%)301(%)301(%)301(1 10 92 ≈−=+++++++ 29.16%)51(10 10 ≈+ 34.2629.1663.42 =− 5.02 910110)5.091()5.021()5.01(1 ××+×=×+++×++++ 50.32= ]%)51(%)51(%)51(1[05.1 92 +++++++× 21.1305.0 105.105.1 10 ≈−×= 29.1921.1350.32 =− .(**)*),1(.(*)*,, 1 2 1 2 NncxbaxxNncxbxaxxxcx nnnnnnnnn ∈−+−=∈−−=− ++ 即因此 ..0*,,0)( 11 c baxcxbaNncxbax nn −==−−∈−− 即所以恒等于 c bax −=1 （Ⅲ）若 b 的值使得 xn>0，n∈N* 由 xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知 0查看更多