天津市2014高考数学压轴卷文含解析

天津市2014高考数学压轴卷文含解析

天津高考压轴卷数学文word版有解析 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，那么m的值可以是（　　）.‎ ‎　‎ A．‎ ‎﹣1‎ B．‎ ‎0‎ C．‎ ‎1‎ D．‎ ‎2‎ ‎2．设集合，集合B为函数的定义域，则( ).‎ ‎ (A) (B) (C)[1,2) (D) (1,2]‎ ‎3. 函数y=sin（2x+φ）的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为（　　）.‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎0‎ D．‎ ‎4. 函数f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1﹣x），则f（x）﹣g（x）是（　　）.‎ ‎　‎ A．‎ 奇函数 B．‎ 偶函数 ‎　‎ C．‎ 既不是奇函数又不是偶函数 D．‎ 既是奇函数又是偶函数 ‎5．设曲线上任一点处切线斜率为，则函数的部分图象可以为( )．‎ ‎6. 设z=2x+y，其中变量x，y满足条件，若z的最小值为3，则m的值为（　　）.‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ ‎2‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎4‎ ‎7. 已知点P（x，y）在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，过P点（x，y）引圆C：=1的切线，则此切线长等于（　　）.‎ ‎　‎ A．‎ ‎1‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎2‎ ‎8. 已知f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．现给出如下结论：‎ ‎①f（0）f（1）＞0；‎ ‎②f（0）f（1）＜0；‎ ‎③f（0）f（3）＞0；‎ ‎④f（0）f（3）＜0．‎ 其中正确结论的序号是（　　）.‎ ‎　‎ A．‎ ‎①③‎ B．‎ ‎①④‎ C．‎ ‎②③‎ D．‎ ‎②‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡的相应位置．‎ ‎9. 已知平面向量=（2，4），=（1，﹣2），若=﹣（•），则||=_____________．‎ ‎10. 已知tanα=，tanβ=﹣，且0＜α＜，＜β＜π，则2α﹣β的值________________．‎ ‎11. 记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2+a4=6，S4=10．则a10=___________　．‎ ‎12. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如 图所示，那么该几何体的体积是___________.‎ ‎13.已知圆的方程为x2+y2‎ ‎﹣6x﹣8y=0，设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________________.‎ ‎14. 球面上有四个点P、A、B、C，若PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，则该球的表面积是_______________．‎ ‎15. △ABC中，AB=3，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于点D，且，则AD的长为____________．‎ ‎16. 在△ABC中，BC=a，AC=b，a、b是方程的两个根，且A+B=120°，求△ABC的面积及AB的长．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．‎ ‎17. 如图，在四棱台ABCD﹣A1B‎1C1D1中，下底ABCD是边长为2的正方形，上底A1B‎1C1D1是边长为1的正方形，侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1=2．‎ ‎（1）求证：B1B∥平面D‎1AC；‎ ‎（2）求证：平面D‎1AC⊥平面B1BDD1．‎ ‎18. 数列{an}是递增的等差数列，且a1+a6=﹣6，a3•a4=8．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求数列{an}的前n项和Sn的最小值；‎ ‎（3）求数列{|an|}的前n项和Tn．‎ ‎19. 已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），且点（﹣1，）在椭圆C上．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）已知动直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．‎ ‎20. 已知函数已知函数f（x）=ex+ln（x+1）‎ ‎（Ⅰ）求函数y=f（x）图象在点（0，f（0））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若a≤2，证明：当x≥0时，有f（x）≥ax+1．‎ 天津高考压轴卷数学文word版参考答案 ‎1.【答案】D.‎ ‎【解析】解：根据题意，若集合A={x|x＞1}，B={x|x＜m}，且A∪B=R，‎ 必有m＞1，分析选项可得，D符合；故选D．‎ ‎2. 【答案】D.‎ ‎【解析】解：，由得，即,所以，所以选D.‎ ‎3. 【答案】B.‎ ‎【解析】解：令y=f（x）=sin（2x+φ），‎ 则f（x+）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ），‎ ‎∵f（x+）为偶函数，‎ ‎∴+φ=kπ+，‎ ‎∴φ=kπ+，k∈Z，‎ ‎∴当k=0时，φ=．‎ 故φ的一个可能的值为．‎ 故选B．‎ ‎4. 【答案】A.‎ ‎【解析】解：∵f（x）=log2（1+x），g（x）=log2（1﹣x），‎ ‎∴f（x）﹣g（x）的定义域为（﹣1，1）‎ 记F（x）=f（x）﹣g（x）=log2，‎ 则F（﹣x）=log2=log2（）﹣1=﹣log2=﹣F（x）‎ 故f（x）﹣g（x）是奇函数．‎ 故选A.‎ ‎5. 【答案】C.‎ ‎【解析】解：,即，所以，为偶函数，图象关于轴对称，所以排除A,B.当，得或，即函数过原点，所以选C.‎ ‎6. 【答案】A.‎ ‎【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，‎ ‎∵若z的最小值为3，‎ ‎∴2x+y=3，‎ 由，‎ 解得，‎ 同时（1，1）都在直线x=m上，‎ ‎∴m=1．‎ 故选A．‎ ‎7. 【答案】D.‎ ‎【解析】解：∵x+2y=3，2x+4y =2x+22y≥2x+2y=23=8，当且仅当 x=2y=时，等号成立，‎ ‎∴当2x+4y取最小值8时，P点的坐标为（，），‎ 点P到圆心C的距离为CP==，大于圆的半径1，‎ 故切线长为==2，‎ 故选D．‎ ‎8. 【答案】C.‎ ‎【解析】解：求导函数可得f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）‎ ‎∵a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0．‎ ‎∴a＜1＜b＜3＜c 设f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c）=x3﹣（a+b+c）x2+（ab+ac+bc）x﹣abc ‎∵f（x）=x3﹣6x2+9x﹣abc ‎∴a+b+c=6，ab+ac+bc=9‎ ‎∴b+c=6﹣a ‎∴bc=9﹣a（6﹣a）＜‎ ‎∴a2﹣‎4a＜0‎ ‎∴0＜a＜4‎ ‎∴0＜a＜1＜b＜3＜c ‎∴f（0）＜0，f（1）＞0，f（3）＜0‎ ‎∴f（0）f（1）＜0，f（0）f（3）＞0‎ 故选C．‎ ‎9. 【答案】.‎ ‎【解析】解：∵向量=（2，4），=（1，﹣2），‎ ‎∴=2×1+4×（﹣2）=﹣6．‎ ‎∴=（2，4）﹣（﹣6）（1，﹣2）=（8，﹣8），‎ ‎∴=．‎ 故答案为．‎ ‎10. 【答案】﹣．‎ ‎【解析】解：∵0＜α＜，tanα=＜1=tan，y=tanx在（0，）上单调递增，‎ ‎∴0＜α＜，又＜β＜π，‎ ‎∴﹣π＜2α﹣β＜﹣，‎ ‎∵tan2α===，tanβ=﹣，‎ ‎∴tan（2α﹣β）===1，‎ ‎∴2α﹣β=﹣．‎ ‎11. 【答案】10．‎ ‎【解析】解：等差数列{an}的前n项和为Sn，‎ ‎∵a2+a4=6，S4=10，设公差为d，‎ ‎∴，‎ 解得a1=1，d=1，‎ ‎∴a10=1+9=10．‎ 故答案为10．‎ ‎12. 【答案】4．‎ ‎【解析】解：由三视图知余下的几何体如图示：‎ ‎∵E、F都是侧棱的中点，‎ ‎∴上、下两部分的体积相等，‎ ‎∴几何体的体积V=×23=4．‎ ‎13. 【答案】．‎ ‎【解析】解：圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0化为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25．‎ 圆心坐标（3，4），半径是5．最长弦AC是直径，最短弦BD的中点是E．‎ SABCD=‎ 故答案为.‎ ‎14. 【答案】3π．‎ ‎【解析】解：∵PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=1，‎ ‎∴分别以PA、PB、PC为长、宽、高，作出正方体 设所得正方体的外接球为球O，则P、A、B、C四点所在的球面就是球O表面 就是正方体的对角线长等于球O的直径 即2R==，得R=‎ ‎∴球O的表面积为S=4πR2=4π（）2=3π 故答案为3π.‎ ‎15. 【答案】2．‎ ‎【解析】解：△ABC中，∵AB=3，∠A=60°，∠A的平分线AD交边BC于点D，且，‎ 取AC的一个三等分点E，满足AE=AC，作DF平行于AE，则由条件可得四边形AEDF为平行四边形，‎ ‎∴∠AFD=120°，∠FAD=30°，∠FDA=30°，故△AFD为等腰三角形，∴AF=DF=AC，故四边形AEDF为菱形．‎ 再由AF=λAB=3λ=DF=AC，可得 AC=9λ，菱形AEDF的边长为3λ．‎ ‎△AFD中，由余弦定理可得AD2=（3λ）2+（3λ）2﹣2•3λ•3λ•cos120°=27λ2，∴AD=3λ．‎ ‎△ABD中，由余弦定理可得 BD2=32+27λ2﹣2×3×3λ×cos30°=27λ2﹣27λ+9，∴BD=3．‎ ‎△ACD中，由余弦定理可得 CD2=81λ2+27λ2﹣2×9λ×3λ×cos30°=27λ2=3λ．‎ 再由三角形的内角平分线性质可得 ，即 =，解得 λ=，或λ= （舍去）．‎ 故AD=3λ=3×=2，‎ 故答案为 2．‎ ‎16. 【解析】∵A+B=120°，∴C=60°．‎ ‎∵a、b是方程的两个根，‎ ‎∴a+b=，ab=2，‎ ‎∴S△ABC==，‎ AB=c====．‎ ‎17. 【解析】证明：（1）设AC∩BD=E，连接D1E，‎ ‎∵平面ABCD∥平面A1B‎1C1D1．‎ ‎∴B1D1∥BE，∵B1D1=BE=，‎ ‎∴四边形B1D1EB是平行四边形，‎ 所以B1B∥D1E．‎ 又因为B1B⊄平面D‎1AC，D1E⊂平面D‎1AC，‎ 所以B1B∥平面D‎1AC ‎（2）证明：侧棱DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，‎ ‎∴AC⊥DD1．‎ ‎∵下底ABCD是正方形，AC⊥BD．‎ ‎∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线，‎ ‎∴AC⊥平面B1BDD1‎ ‎∵AC⊂平面D‎1AC，∴平面D‎1AC⊥平面B1BDD1．‎ ‎18. 【解析】（1）由得：，‎ ‎∴a3、a4是方程x2+6x+8=0的二个根，‎ ‎∴x1=﹣2，x2=﹣4；‎ ‎∵等差数列{an}是递增数列，‎ ‎∴a3=﹣4，a4=﹣2，‎ ‎∴公差d=2，a1=﹣8．‎ ‎∴an=2n﹣10；‎ ‎（2）∵Sn==n2﹣9n=﹣，‎ ‎∴（Sn）min=S4=S5=﹣20；‎ ‎（3）由an ‎≥0得2n﹣10≥0，解得n≥5，此数列前四项为负的，第五项为0，从第六项开始为正的．‎ 当1≤n≤5且n∈N*时，‎ Tn=|a1|+|a2|+…+|an|‎ ‎=﹣（a1+a2+…+an）‎ ‎=﹣Sn ‎=﹣n2+9n；‎ 当n≥6且n∈N*时，‎ Tn=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|an|‎ ‎=﹣（a1+a2+…+a5）+（a6+…+an）‎ ‎=Sn﹣2S5‎ ‎=n2﹣9n﹣2（25﹣45）‎ ‎=n2﹣9n+40．‎ ‎∴Tn=．‎ ‎19. 【解析】（1）由题意，c=1‎ ‎∵点（﹣1，）在椭圆C上，∴根据椭圆的定义可得：‎2a=，∴a=‎ ‎∴b2=a2﹣c2=1，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为；‎ ‎（2）假设x轴上存在点Q（m，0），使得恒成立 当直线l的斜率为0时，A（，0），B（﹣，0），则=﹣，∴，∴m=①‎ 当直线l的斜率不存在时，，，则•=﹣，∴‎ ‎∴m=或m=②‎ 由①②可得m=．‎ 下面证明m=时，恒成立 当直线l的斜率为0时，结论成立；‎ 当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）‎ 直线方程代入椭圆方程，整理可得（t2+2）y2+2ty﹣1=0，∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣‎ ‎∴=（x1﹣，y1）•（x2﹣，y2）=（ty1﹣）（ty2﹣）+y1y2=（t2+1）y1y2﹣t ‎（y1+y2）+=+=﹣‎ 综上，x轴上存在点Q（，0），使得恒成立．‎ ‎20. 【解析】（Ⅰ）解：∵f（x）=ex+ln（x+1），‎ ‎∴，则f'（0）=2‎ 又f（0）=e0+ln1=1‎ ‎∴函数y=f（x）图象在点（0，f（0））处的切线方程为：y﹣f（0）=f'（0）x，‎ 即函数y=f（x）图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x+1； ‎ ‎（Ⅱ）证明：当a≤2时，则2﹣a≥0…①‎ 令g（x）=f（x）﹣ax﹣1，‎ 则 令φ（x）=ex﹣x﹣1（x∈R），则φ'（x）=ex﹣1（x∈R），‎ 由φ'（x）=0，得x=0‎ 当x≤0时，ex≤1，即ex﹣1≤0；当x＞0时，ex＞1，即ex﹣1＞0‎ ‎∴函数φ（x）=ex﹣x﹣1在（﹣∞，0]为减函数，在（0，+∞）为增函数 ‎∴φ（x）min=φ（0）=0，即φ（x）≥0‎ ‎∴对∀x∈R，都有ex≥x+1‎ 故当x≥0时，x+1＞0，‎ ‎∴，‎ ‎∴g'（x）≥0，‎ ‎∴若a≤2，函数y=g（x），在[0，+∞）为增函数，‎ ‎∴当x≥0时，g（x）≥g（0）=0‎ ‎∴当a≤2时，x≥0，有f（x）≥ax+1成立．‎