2019高考数学大题专题练习——立体几何三

2019高考数学大题专题练习——立体几何三

2019-2020年高考数学大题专题练习——立体几何（三） 53.如图，在四棱锥E﹣ABCD中，平面CDE⊥平面ABCD，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=1，A D=ED=3，EC=2． （1）证明：AB⊥平面BCE； （2）求直线AE与平面CDE所成角的正弦值． 54.如图1，2，已知ABCD是矩形，M，N分别为边AD，BC的中点，MN与AC交于点O，沿M N将矩形MNCD折起，设AB=2，BC=4，二面角B﹣MN﹣C的大小为θ． （1）当θ=90°时，求cos∠AOC的值； （2）点θ=60°时，点P是线段MD上一点，直线AP与平面AOC所成角为α．若sinα= ，求线段MP的长． 7 14 55.在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，A D=DC= ，AB=PA=2 ，且E为线段PB上的一动点． （1）若E为线段PB的中点，求证：CE∥平面PAD； （2）当直线CE与平面PAC所成角小于 ，求PE长度的取值范围． 56.如图，在几何体 中，平面 底面 ，四边形 是正方形， ， 是 的中点，且 ， ． (Ⅰ) 证明： 平面 ； (Ⅱ) 求直线 与平面 所成角的正弦值． 2 2 3 π 1 1 1ABC A B C− 1 1A ACC ⊥ ABC 1 1A ACC 1 1B C BC∥ Q 1A B 1 12AC BC B C= = 2π 3ACB∠ = 1B Q∥ 1 1A ACC AB 1 1A BB 57.如图，已知 和 所在平面互相垂直，且 ， ，点 分别在线段 上，沿直线 将 向上翻折使得 与 重合 （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角。 58.如图，四边形 是圆台 的轴截面， ，点 在底面圆周上，且 ， ． （Ⅰ）求圆台 的体积； （Ⅱ）求二面角 的平面角的余弦值． ABC BCD 090BAC BCD∠ = ∠ = ,AB AC= CB CD= ,E F ,BD CD EF EFD D A AB CF⊥ AE ABC ABCD 1OO 2 4AB CD= = M 2 π=∠AOM DM AC⊥ 1OO A DM O− − 59.如图，已知菱形 与等腰 所在平面相互垂直. . 为PB中点 ． （Ⅰ）求证： 平面ACE； （Ⅱ）求二面角 的余弦值 60.如图，在四面体 中，平面 ⊥平面 ， ， ， ， 为等边三角形. （Ⅰ）求证： ⊥平面 （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值. ABCD PAB∆ 120PAB BAD∠ = ∠ =  E / /PD B CE D− − ABCD ACD BCD 90BCA∠ = ° 1AC = 2AB = BCD∆ AC BCD CD ABD 61.已知：平行四边形ABCD中，∠DAB=45°，AB= AD=2 ，平面AED⊥平面ABCD，△AED为等边三角形，EF∥AB，EF= ，M为线段BC的中点。 （I）求证：直线MF∥平面BED； （II）求平面BED与平面FBC所成角的正弦值； （III）求直线BF与平面BED所成角的正弦值。 62.如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， ， . （1）若 ，求 与 所成角的余弦值； （2）当平面 与平面 垂直时，求 的长. 2 2 2 P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD 2AB = 60BAD = °∠ PA AB= PB AC PBC PDC PA 63.在如图所示的几何体中，四边形 为正方形， 平面 ， ， ， ． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求 与平面 所成角的正弦值； （Ⅲ）在棱 上是否存在一点 ，使得平面 平面 ？如果存在，求 的值；如果不存在，说明理由． 64.如图，在四棱锥 中， ， ∥ ，且 , ， . （Ⅰ）求证：平面 ⊥平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值． ABCD PA ⊥ ABCD PA BE 4AB PA= = 2BE = //CE PAD PD PCE AB F DEF ⊥ PCE AF AB P ABCD− AB AP⊥ AB CD PB BC= = 6BD = 2 2 2CD AB= = 120PAD∠ =  PAD PCD PD PBC 65.如图，四面体 中， ，平面 平面 ． （1）求 的长； （2）点 是线段 的中点，求直线 与平面 所成角的正弦值． 66.在四棱锥 中， ， ，点 是线段 上的一点，且 ， ． （1）证明：面 面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值． ABCDP − BCAD // 90ABC APB∠ = ∠ = ° M AB CDPM ⊥ BMADPBBCAB 422 ==== ⊥PAB ABCD CM PCD ABCD 3 1 13 2AB BC CD BD AD= = = = = ABD ⊥ CBD AC E AD BE ACD 67.如图，四棱锥 ,底面 为菱形， 平面 ， ， 为 的中点， . （I）求证：直线 平面 ； （II）求直线 与平面 所成角的正弦值. 68.如图，四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，且 ， ． （1）求证： 平面 ； （2）求 和平面 所成角的正弦值； （3）在线段 上是否存在一点 使得平面 平面 ，请说明理由． P ABCD− ABCD PA ⊥ ABCD 2PA PB= = E CD 60ABC∠ = ° AE ⊥ PAB AE PCD E ABCD− EAD ⊥ ABCD DC AB∥ BC CD⊥ EA ED⊥ 4AB = 2BC CD EA ED= = = = BD ⊥ ADE BE CDE CE F BDF ⊥ CDE 69.如图，在空间几何体ABCDFE中，底面 是边长为2的正方形， ， ， . （1）求证：AC//平面DEF； （2）已知 ，若在平面 上存在点 ，使得 平面 ，试确定点 的位置. 70.如图，在四棱锥 中， 是等边三角形， ， . （1）求证：平面 平面 ； （2）若直线 与 所成角的大小为60°，求二面角 的大小. ABCD AF AB⊥ / /AF BE 2 2BE AF= = 5DF = DEF P BP ⊥ DEF P P ABCD− PBD∆ AD BC∥ 2 2AP AB AD BD= = = PAB ⊥ PAD PB CD B PC D− − 71.如图，在四棱锥 中，四边形 为梯形， ， ， 为等边三角形， . （1）求证：平面 平面 ； （2）求二面角 大小的余弦值. 72.在正三棱柱 中，已知 ， ， ， ， 分别是 ， 和 的中点．以 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ． ⑴求异面直线 与 所成角的余弦值； ⑵求二面角 的余弦值． 1 1 1ABC A B C− 1AB = 1 2AA = E F G 1AA AC 1 1AC { , , }FA FB FG   F xyz− AC BE 1F BC C− − P ABCD− ABCD / /AB CD 1 2AD CD BC AB= = = PAD∆ PA BD⊥ PAD ⊥ ABCD A PB C− − 73.如图，在四棱锥P- ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥A D，AB=1，AD=2，AC=CD= ． （1）求证：PD⊥平面PAB． （2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值． （3）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在 ，求 的值；若不存在，说明理由． 74.如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，AB=BC= 2AD=2，四边形EDCF为矩形， CD= ，平面EDCF⊥平面ABCD． （1）求证：DF∥平面ABE． （2）求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值． （3）在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所 成角的正弦值为 ，若存在，求出线段BP的长． 5 AP AM 3 4 3 D A B C P D A B C E F 75.在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， 是等腰三角形， ， 是 的一个三等分点（靠近点 ）， 与 的延长线交于点 ，连接 . （Ⅰ）求证：平面 平面 ； （Ⅱ）求二面角 的正切值 76.在等腰梯形 中， ，将梯形 沿着 翻折至 （如图），使得平面 与平面 垂直． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值． ABCDP − ABCD ⊥PA ABCD PAD∆ ADAB 2= E AB A CE DA F PF ⊥PCD PAD FPEA −− ABCD / / , 2 , 60AD BC BC AD ABC= ∠ =  ABCD AB 1 1ABC D ABCD 1 1ABC D 1BC AC⊥ 1DD 1BCD 77.已知在四棱锥 中， 平面 , , 是边长为 的等边三角形， ， 为 的中点. （1）求证： ； （2）若直线 与平面 所成角的正切值为 ，求二面角 的大小. 78.如图，四棱锥 的底面 为菱形， ，侧面 是边长为 的正三角形，侧面 底面 ． （ ）设 的中点为 ，求证： 平面 ． （ ）求斜线 与平面 所成角的正弦值． （ ）在侧棱 上存在一点 ，使得二面角 的大小为 ，求 的值． C ABDE− DB ⊥ ABC / /AE DB ABC△ 2 1AE = M AB CM EM⊥ DM ABC 2 B CD E− − P ABCD− ABCD 60ABC∠ = ° PAB 2 PAB ⊥ ABCD 1 AB Q PQ ⊥ ABCD 2 PD ABCD 3 PC M M BD C− − 60° CM CP 20 15 10 5 5 10 15 12 10 8 6 4 2 2 4 6 8 A C D E M M P D E A B A B z G N M F E D C B A M D A B C P Q 试卷答案 53.证明：（1）∵∠DAB=∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是直角梯形， ∵AB=BC=1，AD=ED=3，EC=2． ∴CD= = ， ∴CE2+DC2=DE2，∴EC⊥CD， ∵面EDC⊥面ABCD，面EDC∩面ABCD=DC， ∴CE⊥面ABCD， ∴CE⊥AB，又AB⊥BC，BC∩CE=C， ∴AB⊥面BCE． 解：（2）过A作AH⊥DC，交DC于H， 则AH⊥平面DCE，连结EH， 则∠AEH是直线AE与平面DCE所成的平面角， ∵ = ， ∴AH= = ， AE= = ， ∴sin∠AEH= ， ∴直线AE与平面CDE所成角的正弦值为 ． 54.解：如图，设E为AB的中点，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）当θ=90°时，A（2，﹣1，0），C（0，1，2），∴ ， ，∴ ． （2）由θ=60°得 ， ，M（0，﹣1，0）， ∴ ， 设 ，则 ， ∴ ， 设平面AOC的法向量为 ， ∵ ， ，∴ ，取 ， 由题意，得 ，即3λ2﹣10λ+3=0，∴ 或λ=3（舍去）， ∴在线段MD上存在点P，且 ． 　 55.证明：（1）取PA的中点F，连结EF，DF， 则EF∥AB，EF= AB， 又DC∥AB，DC= AB， ∴EF∥CD，EF=DC， ∴四边形EFDC是平行四边形， ∴CE∥DF，又CE⊄平面PAD，DF⊂平面PAD， ∴CE∥平面PAD． 解：（2）∵AD=CD= ，AD⊥CD，∴AC=2， 又AB=2 ，∠BAC=45°，∴BC=2， ∴AC⊥BC， 又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴PA⊥BC，又PA∩AC=A， ∴BC⊥平面PAC， 过E作EM∥BC，则EM⊥平面PAC， ∴∠PCE为CE与平面PAC所成的角，即∠PCE＜ ． ∵PA=2 ，AC=2，∴PC=2 ，BC=2，PB=4， ∴∠BPC= ， ∴当∠PCE= 时，CE⊥PB，此时PE=3， ∴当∠PCE 时，PE＜3． 　 56.(Ⅰ) 证明：如图1所示，连接 交于 点，连接 . 因为 四边形 是正方形， 所以 是 的中点 又已知 是 的中点 所以 又因为 且 所以 ， 即四边形 是平行四边形 所以 ， 因此 平面 .…………………………………………………7分 1 1,AC AC M MQ 1 1A ACC M 1AC Q 1A B 1 2MQ BC∥ 1 1B C BC∥ 1 1=2BC B C 1 1MQ B C∥ 1 1B C MQ 1 1B Q C M∥ 1B Q∥ 1 1A ACC (Ⅱ) 如图2所示，过点 作面 与 面 的交线 ，交直线 于 . 过 作线 的垂线 ，垂足为 .再过 作线 的垂线 ，垂足为 . 因为 , 所以 面 , 所以 ,又因为 , 所以 面 ，所以 即 与面 所成的角．………………10分 因为 ∥面 ，所以 ∥ ， 且 为 的中点， 如图3所示， 为 边上的高， B 1 1A B B ABC BD CA D A BD AH H A 1A H AG G 1,AH BD AA BD⊥ ⊥ BD ⊥ 1A AH BD ⊥ AG 1A H AG⊥ AG ⊥ 1 1A B B ABG∠ AB 1 1A B B 1 1A B ABC 1 1A B BD A CD CP BD , ， 因为 所以 ，所以 因为 ，所以 , 所以 ………………………………………15分 57. 2 2= 2 +2 +2 2=2 3AB × 2 2= 2 +4 +2 4=2 7BD × 01 1sin1202 2CB CD BD CP⋅ = ⋅ 2 3 7 CP = 3= 2 7 CPAH = 1 2AA = 2 1 3 312 7 7A H = + = 1 1 32 2 37 31 31 7 AH AAAG A H ×⋅= = = 2 3 1 3131sin 312 3 31 ABG∠ = = = （1） .............5分 （2）设 , 取 , 又 （3） .............7分 ,...........10分 ...........12分 ...........14分 所以直线 与平面 所成角为 ..............................15分 法2： , 所以直线 与平面 所成角为 （酌情给分） 58. 090 FC ABC AB CF BCD CF BC ⊥  ∩ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ∠ = ⇒ ⊥  面ABC 面BCD 面ABC 面BCD=BC 面 1 2, 2, 2AB AC CD BD= = = =，则BC= tBE =设 ，则ED=EA=2- t , ,BC H HE AH的中点 ，连接 0 2 2 145 2EBH HE t t∠ = = − +，则 AH BCD AH BC ⊥  ∩ ⇒ ⊥ ⊥  面ABC 面BCD 面ABC 面BCD=BC 面 ( ) 2 2 2 2 2 , 1 12- , 12 2 AH BCD AE AH EH t t t t ⊥ = + ∴ = + − + ∴ = 又 面 ， E BD∴点 是 的中点 ,HE BC HE ABC∴ ⊥ 面 BEA∠ 为所求角的线面角 2 21 2 2AE AH EH= = =， ， 2sin 2BEA∴ ∠ = AE ABC 4 π A BCE E BCAV V− −= 2 2E ABC∴ 到面 的距离为 2sin 2 θ∴ = AE ABC 4 π 解法一：（Ⅰ）由已知可得: OM 平面AOD.又AC DM.从而有AC DO 由平面几何性质可得AC CB -----4 设OO1=h ，在直角△ABC中，有AC2+BC2=AB2 即 (9+h2)+(1+h2)=16 圆台 的体积 . -----7 （Ⅱ）过点O在△DOM内作OE DM，作OH 平面DAM，垂足分别为E，H，连EH. 易得EH DM,故∠OEH就是二面角 的平面角. ----10 在△DOM中,OE= 由VD-AOM=VO-ADM得 OH= -----13 在直角△OEH中, 则二面角 的余弦值为 ---15 解法二：（Ⅰ）由题意可得 、 、 两两互相垂直， 以 为原点，分别以直线 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系 -----2 设 ，则 ， ， ， 解得 -----5 圆台 的体积 . -----7 （Ⅱ） , , -----9 设平面 、平面 的法向量分别为 ， 则 且 即 且 取 -----13 ⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 3h∴ = ∴ 1OO 3 37)(3 1 2 221 2 1 ππ =++= rrrrhV ⊥ ⊥ ⊥ A DM O− − 2 2 21 7 6sin 7 OEH∠ = A DM O− − 7 7 1OO OM OB O OM OB 1OO x y z 1 ( 0)OO h h= > (0, 1, )D h− (2,0,0),M (0, 2,0)A − (0,1, )C h (2,1, )DM h∴ = − (0,3, )AC h= DM AC⊥ 23 0DM AC h∴ ⋅ = − =  3h = ∴ 1OO 3 37)(3 1 2 221 2 1 ππ =++= rrrrhV (2,2,0)AM = (2,1, 3)DM = − (2,0,0)OM = ADM ODM 1 1 1( , , )u x y z= 2 2 2( , , )v x y z= 0 0 u AM u DM  ⋅ =  ⋅ =     0 0 v DM v OM  ⋅ =  ⋅ =     1 1 1 1 1 2 2 0 2 3 0 x y x y z  + =  + − = 2 2 2 2 2 3 0 2 0 x y z x  + − = = ( 3, 3,1)u = − (0, 3,1)v = . 则二面角 的余弦值为 ---15 59. 证：（I）. 连结BD，设BD交AC于M点，连结ME………………………….2分 在平行四边形ABCD中，AC，BD相互平分，即DM=BM， 又PE=BE 在 中， ………………………….6分 解：（II）. 过D作DO垂直BA延长线与O点，连结PO，易得DO，PO，BO两两垂直 建立如图坐标系，设AB=2，则 ∴ 7cos , 7| | | | u vu v u v ⋅< >= = − ⋅      A DM O− − 7 7 ∴ BDP∆ / /EM PD AEC ME AECPD ⊄ ⊂ 面 ， 面 ∴ / /EM PD (0,3,0), (0,2, 3), ( 3,0,0), (0,0, 3)B C P D 3 3( , ,0)2 2E∴ 3 3 3 3(0, 1, 3), ( , ,0),DC (0,2,0), ( , , 3)2 2 2 2BC BE DE∴ = − = − = = −    ………………………….10分（注：每对一个给1分） 设面BCE的一个法向量为 ，面DCE的一个法向量 ，则 ……………………………….12分（注：每对一个给1分） …………………………14分 二面角 的余弦值为 ………………………….15分 60. 证：（1）取 中点 ，连结 ， 为等边三角形. ⊥ ， ……(2分) 又 平面 ⊥平面 ，平面 平面 = ， 平面 ， ⊥平面 ， ⊥ ，……(5分) 又 ⊥ ， ⊥平面 ……(7分) （2）法一：设点C到平面 的距离为d， 由 ， ……(10分) 即 ，得 ……(13分) 设直线 与平面 所成角为 ，则 ……(15分) 法二：取 中点 ，连 ，则 ⊥ ， ⊥ ， ⊥平面 ， 平面 ⊥平面 ，又平面 平面 = ，过点C作 ⊥ ，垂足为G，则 ⊥平面 ，所以 就是所求角. ……(10分) 在 中，算得 ， ……(13分)所以 ……(15分) 法三：如图建立空间直角坐标系 ， ∴ 1 1( , ,1)m x y= 2 2( , ,1)n x y= 21 2 21 1 03 0 , 3 33 3 3 00 2 22 2 n DC ym BC y n DE x ym BE x y   ⋅ = =⋅ = − + =   ⋅ = + − =⋅ = − =        (3, 3,1), (2,0,1)m n∴ = =  7 7 65cos , 6565 m nm n m n ⋅∴ < >= = = ⋅      ∴ B CE D− − 7 65 65 − CD M BM BCD∆ BM∴ CD  ACD BCD ACD  BCD CD BM ⊂ BCD BM∴ ACD BM∴ AC BC AC AC∴ BCD ABD - -C ABD A BCDV V= 1 1 13 1 33 3 13 2 2 3 4d× × × × = × × × 3 13 d = CD ABD α 3 s 3913 133 in d CD α = = = BD N NC AN BD CN BD BD∴ ANC ∴ ANC ABD ANC  ABD AN CG AN CG ABD CDG∠ Rt ANC∆ 3 13 CG = 3 3913 133 sin CG CDCDG = = =∠ C xyz− 则 所以 ……(10分) 设 所以 取 ……(13分) 设直线 与平面 所成角为 ，则 ……(15分) 61. （I）证明：在△ADB中，∵ DAB=45° AB= AD=2 ，∴AD⊥BD 取AD中点O，AB中点N，连接ON，则ON∥BD， ∴AD⊥ON又∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，AD⊥OE， ∴EO⊥平面ABCD， ∴以O为原点，OA，ON，OE分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图取BD的中 点H，连接FH，OH，则OH∥AB∥EF，且OH=EF， ∴FH∥EO， ∴FH⊥平面ABCD， 3 3(1,0,0), (0, 3,0), (0, , )2 2A B D 3 3(0, , )2 2CD = 3 3( 1, 3,0), ( 1, , )2 2AB AD= − = −  ( , , )n x y z ABD= 是平面 的一个法向量 3 0 3 3 02 2 x y x y z − + = − + + = 3, (3, 3,1)y n= =则 CD ABD α sin = 13 3 3+| | 392 2 | | | | 13 3 CD n CD n ⋅α = = ⋅     ∠ 2 2 ∴D（-1,0,0） B（-1,2,0） H（-1,1， ） F（-1,1， ） C（-3,2,0） M（-2,2,0）， ∴ =（0,2,0） =（1,0， ） =（1，-1， ）， 设平面AED的一个法向量为 （x，y，z），则 ∴ 不妨设 =（ ，0，-1） ∴ ⊥ ， 又∵MF 平面AED ∴直线MF∥平面AED （II）解：∵ =（-2,0,0）， =（0，-1， ） 设平面FBC的一个法向量为 （x，y，z），则 ∴ 不妨设 =（0， ，1） 设平面BED与平面FBC所成的角为 则丨cos 丨=丨 丨= ，∴sin ∴平面BED与平面FBC所成角的正弦值为 （III）解：直线BF与平面BED所成角为a， 则sina=丨cos< >丨=丨 丨= 。 ∴直线BF与平面BDE所成角的正弦值为 62. （1）因为四边形 是菱形，所以 . 又因为 平面 ，所以 . 又 ，所以 平面 . 设 . 因为 ， ， 所以 ， ， 如图，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系 . 则 ， ， ， ，所以 ， 3 3 DB DE 3 MF 3 n    = = 0nDE 0nDB    =+ = 0z3x 0y n 3 MF n ⊄ BC BF 3 m    = = 0mBF 0mBC    =+− = 0z3y 0x n 3 θ θ 丨丨丨丨 mn mn 4 1 4 15=θ 4 15 nBF 丨丨丨丨 nBF nBF 4 3 4 3 ABCD AC BD⊥ PA ⊥ ABCD PA BD⊥ PA AC A= BD ⊥ PAC AC BD O= 60BAD∠ = ° 2PA PB= = 1BO = 3AO CO= = O O xyz− ( )0, 3,2P − ( )0, 3,0A − ( )1,0,0B ( )0, 3,0C ( )1, 3, 2PB = − . 设 与 所成角为 ，则 . （2）由（1）知 ，设 （ ），则 ， 设平面 的法向量 ，则 ， ，所以 ， 令 ，则 ， ，所以 . 同理，平面 的法向量 . 因为平面 平面 ，所以 ，即 ，解得 .所以 . 63. 解：（Ⅰ）设 中点为 ，连结 ，因为 // ，且 ，所以 // 且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 // ，且 ．因为正方形 ，所以 // ，所以 // ，且 ，所以四边形 为平行四边形，所以 // ．因为 平面 ， 平面 ，所以 //平面 (4分)． （Ⅱ）如图，建立空间坐标系，则 ， ， ， ， ( )0,2 3,0AC = PB AC θ cos PB AC PB AC ⋅= =θ     6 6 42 2 2 3 = × ( )1, 3,0BC = − ( )0, 3,P t− 0t > ( )1, 3,BP t= − − PBC ( ), ,m x y z= 0BC m⋅ =  0BP m⋅ =  3 0 3 0 x y x y tz − + = − − + = 3y = 3x = 6z t = 63, 3,m t  =     PDC 63, 3,n t  = −    PBC ⊥ PDC 0m n⋅ =  2 366 0t − + = 6t = 6PA = PA G EG DG， PA BE 4 2PA BE= =， BE AG BE AG= BEGA EG AB EG AB= ABCD CD AB CD AB=， EG CD EG CD= CDGE CE DG DG ⊂ PAD CE ⊄ PAD CE PAD ( )4,0,0B ( )4,4,0C ( )4,0,2E ( )0,0,4P ，所以 =(4,4,－4)， =(4,0,－2)， =(0,4,－4)． 设平面 的一个法向量为 ，所以 ． 令 ，则 ，所以 ． 设 与平面 所成角为 ， 则 ． 所以 与平面 所成角的正弦值是 (8分)． （Ⅲ）假设存在点 满足题意，则 ， ． 设平面 的一个法向量为 ，则 ， 令 ，则 ，所以 ． ( )0,4,0D PC PE PD PCE ),,( zyxm = 1x =    = = = 2 1 1 z y x )2,1,1(=m PD PCE α PD PCE 3 6 ( ),0,0F a )2,0,4( aFE −= )2,4,4( −=DE DEF ),,( zyxn = 2x =       −= = = 4 2 2 az ay x )4,2,2( −= aan 因为平面 平面 ，所以 ，即 ， 所以 ， 故存在点 满足题意，且 (12分)． 64. (Ⅰ)证明：取 中点为 ，连接 ，因为 ，所以 ，又 ， ，所以 ，所以四边形 为矩形，所以 ， 又 ，所以 平面 .-------------------------------------------4分 又 ，所以 平面 ， 又 平面 ，所以平面 平面 .-------------------------------6分 (Ⅱ)　在 中， ， ， ，所以 ； 在 中， ， ， ，所以 . 取 和 的中点分别为 和 ，则 ， 又 ，所以 ，所以四边形 为平行四边形， 又 ， 为 的中点，所以 ， 所以 平面 ，所以 平面 ，所以平面 平面 ，---------- 10分 所以 为 在平面 上的射影，所以 为 与平面 所成的角。----- 12分 在 中， ， ，所以 ， 所以 。 DEF ⊥ PCE 0=⋅ nm 2 2 8 02 a a+ + − = 12 45a = < 12 ,0,05F      3 5 AF AB = CD E BE BC BD= BE CD⊥ 2CD AB= AB / / CD / /AB DE= ABED AB AD⊥ AB AP⊥ AB ⊥ PAD / /AB CD CD ⊥ PAD CD ⊂ PCD PAD ⊥ PCD 第19题 G F E P C A B D ABP∆ 2AB = 6PB = AB AP⊥ 2AP = ABD∆ 2AB = 6BD = AB AD⊥ 2AD = PD PC F G / / 1 2FG CD= / / 1 2AB CD= / /AB FG= AFGB 2PA AD= = F PD AF PD⊥ AF ⊥ PCD BG ⊥ PCD PBC ⊥ PCD PC PD PBC DPC∠ PD PBC Rt PDC∆ 2 2CD = 2 3PD = 2 5PC = 2 2 10sin 52 5 CDDPC PC ∠ = = = 即直线 与平面 所成角的正弦值为 ------------------------------ 15分 （用其它方法（如用空间向量法、等体积法等）解答，酌情给分！） 65. （1）∵ ， ， ， ∴ ， 又∵平面 平面 ，平面 平面 ， ∴ 平面 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ． （2）由（1）可知 平面 ，过 作 于点 ，连接 ，则有 平面 ， ∴平面 平面 ， 过 作 于点 ，则有 平面 ，连接 ， 则 为 与平面 所成的角． 由 ， ，得 ，∴ ， 又∵ ， ∴ ，又∵ ， ∴ ． PD PBC 10 5 1AB = 3BD = 2AD = AB BD⊥ ABD ⊥ CBD ABD  CBD BD= AB ⊥ CBD AB BC⊥ 1AB BC= = 2AC = AB ⊥ BCD B BG CD⊥ G AG CD ⊥ ABG AGD ⊥ ABG B BH AG⊥ H BH ⊥ AGD HE BEH∠ BE ACD 1BC CD= = 3BD = 120BCD∠ = ° 3 2BG = 1AB = 7 2AG = 1 12BE AD= = 21sin 7 BHBEH BE ∠ = = 66. （1）由 ，得 ， 又因为 ，且 ，所以 面 ，……5分 且 面 ．所以，面 面 。……7分 （2）过点 作 ，连结 ， 因为 ，且 ， 所以 平面 ，又由 平面 ， 所以平面 平面 ，平面 平面 ，过点 作 ，即有 平面 ，所以 为直线 与平面 所成角．……10分 在四棱锥 中，设 ，则 ， ， ，∴ ， 从而 ，即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．……15分 67. （I）证明： ， 又 又 平面 , 直线 平面 . （II）（方法一）连接 过 点作 于 点. BMPBAB 42 == ABPM ⊥ CDPM ⊥ CDAB  ⊥PM ABCD ⊂PM PAB ⊥PAB ABCD M CDMH ⊥ HP CDPM ⊥ MMHPM = ⊥CD PMH ⊂CD PCD ⊥PMH PCD PMH PHPCD = M PHMN ⊥ ⊥MN PCD MCN∠ CM PCD ABCDP − tAB 2= tCM 2 15= tPM 2 3= tMH 10 57= tPH 5 54= tMN 16 37= 40 57sin ==∠ CM MNMCN CM PCD 40 57 60ADE ABC∠ = ∠ = ° 1 2E A CAD E DD = ∴= ⊥， ， AB//CD, AE AB∴ ⊥ PA ⊥ ABCD ,PA AE PA AB A∴ ⊥ ∩ = ∴ AE ⊥ PAB ,PE A AH PE⊥ H , 平面 ， . 又 ， 平面 . 所以 为直线 与平面 所成的角. 在 中， ， 直线 与平面 所成角的正弦值为 （方法二）如图建立所示的空间直角坐标系 . . 设平面 的法向量 ， .所以直线 与平面 所成角的正弦值为 68. （1）由 ， ， 可得 ． 由 ，且 ，可得 ． 又 ．所以 ． 又平面 平面 ， 平面 平面 ， , ,CD EA CD PA EA PA A⊥ ⊥ ∩ = CD∴ ⊥ PAE ∴ CD AH⊥ PEAH ⊥ AH∴ ⊥ PCD AEP∠ AE PCD PAERt∆ 2, 3PA AE= = 2 2 7sin 77 PAAEP PE ∴ ∠ = = = ∴ AE PCD 2 7 7 A xyz− ( ) ( ) ( ) ( )0,0,2 , 0, 3,0 , 1, 3,0 , 1, 3,0P E C D − ( ) ( ) ( )0, 3,0 , 1, 3, 2 , 2,0,0AE PC DC= = − =   PCD ( ), ,zn x y= 0 33 2z=0 01 22x=00 PC n x y n DC n  = + −⇒ ⇒ =      ⋅ ⋅ =        ，， 2 7co ,s 7 AE nAE n AE n ⋅< >= = ⋅      AE PCD 2 7 7 BC CD⊥ 2BC CD= = 2 2BD = EA ED⊥ 2EA ED= = 2 2AD = 4AB = BD AD⊥ EAD ⊥ ABCD ADE  ABCD AD= 平面 ，所以 平面 ． （2）如图建立空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， ， ， 设 是平面 的一个法向量，则 ， ， 即 ． 令 ，则 ． 设直线 与平面 所成的角为 ， 则 ． 所以 和平面 所成的角的正弦值 ． （3）设 ， ． ， ， ． 则 ． 设 是平面 一个法向量，则 ， ， 即 ． 令 ，则 ． 若平面 平面 ，则 ， BD ⊂ ABCD BD ⊥ ADE D xyz− ( )0,0,0D ( )0,2 2,0B ( )2, 2,0C − ( )2,0, 2E ( )2, 2 2, 2BE = − ( )2,0, 2DE = ( )2, 2,0DC = − ( ), ,n x y z= CDE 0n DE⋅ =  0n DC⋅ =  0, 0. x z x y + = − + = 1x = ( )1,1, 1n = − BE CDE α sin cos , BE n BE n BE n α ⋅ = = = ⋅       2 2 2 2 2 32 3 3 − − = ⋅ BE CDE 2 3 CF CEλ=  [ ]0,1λ ∈ ( )2, 2,0DC = − ( )2 2, 2, 2CE = − ( )0,2 2,0DB = DF DC CF DC CEλ= + = + =     ( )2 2 1, 1,λ λ λ− − + ( ), ,m x y z′ ′ ′= BEF 0n EB⋅ =  0n EF⋅ =  ( ) ( ) 0, 2 1 1 0 y x y zλ λ λ ′ = ′ ′ ′− + − + + = 1x′ = 2 11,0,m λ λ − = −    BEF ⊥ CDE 0m n⋅ =  即 ， ． 所以，在线段 上存在一点 使得平面 平面 ． 69. 解：（1）连BD交AC于O，取DE中点K，良OK、KF ∵AC、BD是正方形 的对角线 ∴O为BD中点， ∴ ， ∴四边形AOKF为平行四边形，∴ 又∵ 平面DEF， 平面DEF ∴AC//平面DEF （2）在△DAF中， ， ， ，所以 又因为 ， ， 平面ABCD ∴ 平面 . 以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系（如图）. 则 ， ， ， ， ， 设 ，因为 ， ， 又 ， 所以 ， ∵ ∴ 解得 即 . 所以 是线段 上靠近 的三等分点. 70. 2 11 0 λ λ −+ = [ ]1 0,13 λ = ∈ CE F BEF ⊥ CDE ABCD // //1 2OK BE AF= = //AO FK AO ⊄ FK ⊂ 5DF = 2AD = 1AF = FA DA⊥ AF AB⊥ DA AB A= ,DA AB ⊂ AF ⊥ ABCD A AD AB AF x y z ( )0,0,0A ( )0,2,0B ( )2,2,0C ( )2,0,0D ( )0,2,2E ( )0,0,1F DP DE DFλ µ= +   ( )2,2,2DE = − ( )2,0,1DF = − ( )2, 2,0,BD = − ( ) ( )2 ,2 ,2 2 ,0,DP DE DFλ µ λ λ λ µ µ= + = − + −   ( )2 2 ,2 ,2λ µ λ λ µ= − − + ( )2 2 2 ,2 2,2BP BD DP λ µ λ λ µ= + = − − − +   0, 0, BP DF BP DE  • = • =     ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 0, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0, λ µ λ µ λ µ λ λ µ − − − + + =− − − + − + + = 0, 2 ,3 µ λ = = 2 3DP DE=  P DE E （1）∵ ， 且 是等边三角形 ∴ ， ， 均为直角三角形，即 ， ， ∴ 平面 ∵ 平面 ∴平面 平面 （2）以 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 ． 令 ， ， ∴ ， ， ， ． 设 ，则 ， ． ∵直线 与 所成角大小为60°，所以 ， 即 ，解得 或 （舍）， ∴ ， 设平面 的一个法向量为 ． ∵ ， ，则 即 令 ，则 ，所以 ． ∵平面 的一个法向量为 ， ∵ ， ，则 2 2AP AB AD BD= = = PBD∆ PAB∆ PAD∆ BAD∆ DA AB⊥ DA PA⊥ DA ⊥ PAB DA ⊆ ABD PAB ⊥ PAD { }, ,AB AD AP   A xyz− 1AP AB AD= = = 2BD = ( )0,0,0A ( )1,0,0B ( )0,1,0D ( )0,0,1P ( )1, ,0C t ( )1,0, 1PB = − ( )1,1 ,0CD t= − − PB CD 1cos , 2 PB CDPB CD PB CD ⋅= = ⋅      ( )2 1 1 22 1 1 t = × + − 2t = 0t = ( )1,2,0C = BPC ( ), ,n x y z= ( )0,2,0BC = ( )1,0,1BP = − 0 0 BP n BC n  ⋅ = ⋅ =     2 0 0 y x z = − + = 1x = 1z = ( )1,0,1n = DPC ( ), ,m x y z= ( )0, 1,1DP = − ( )1,1,0DC = 即 令 ，则 ， ， ∴ ． ∴ ， 故二面角 的大小为90°． 71. （1)如图取 的中点 ，连接 ，依题 ， 所以四边形 是平行四边形， 所以 .因为 是 中点， 所以 ，故 ， 所以 为等边三角形，所以 ， 因为 ，所以 所以平行四边形 为菱形， 所以 ，所以 ，即 ，又已知 ，所以 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 . (2)由（1)知， 平面 ，平面 平面 ，所以如图，以 为 轴， 为 轴，过 点与平面 垂直的直线为 轴建立空间直角坐标 .设 ，则 ， ，所以 ， 0 0 DP m DC m  ⋅ = ⋅ =     0 0 y z x y − + =  + = 1y = − 1x = 1z = − ( )1, 1, 1m = − − cos , 0m nm n m n ⋅= = ⋅      B PC D− − AB E DE //DC EB= BCDE DE BC= E AB 1 2AE AB= AE AD DE= = ADE∆ 60AED∠ = ° / /AB CD 60 ,EDC BC CD∠ = ° = BCDE 1 302EDB EDC∠ = ∠ = ° 90ADB∠ = ° BD AD⊥ PA BD⊥ BD ⊥ PAD BD ⊂ ABCD PAD ⊥ ABCD BD ⊥ PAD PAD ⊥ ABCD DA x DB y D ABCD z D xyz− 2AB = 3BD = 1AD CD BC PA PD= = = = = ( ) ( ) 1 3 1 31,0,0 , 0, 3,0 , , ,0 , ,0,2 2 2 2A B C P    −          所以 .设平面 的法向量 ，则 ，令 ，则 ，所以 . 同理可得平面 的法向量 ，所以 ， 所以二面角 大小的余弦值为 . 72. （1）因为 ，则 ， 所以 ， ， ………………………………………2分 记直线 和 所成角为 ， 则 ， 所以直线 和 所成角的余弦值为 ． ………………………………………4分 （2）设平面 的法向量为 ， 因为 ， ， 则 ，取 得： ……………………………6分 设平面 的一个法向量为 ， 因为 ， ， 则 ，取 得： ………………………8分 ( )1 3,0, , 1, 3,02 2PA AB  = − = −      PAB ( ), ,n x y z= 1 30 02 2 0 3 0 PA n x z AB n x y  ⋅ = − = ⇒ ⋅ =  − + =     3x = 1, 1y z= = ( )3,1,1n = PBC ( )3,1,3m = − 65cos , 65m n =  A PB C− − 65 65 − 11, 2AB AA= = 1 1 3 1(0,0,0), ( ,0,0), ( ,0,0), (0, ,0), ( ,0,1)2 2 2 2F A C B E− ( 1,0,0)= −AC 1 3( , ,1)2 2 = −BE AC BE α 2 2 11 22cos | cos , | | | 41 3( ) ( ) 12 2 α − × = < > = = + − +  AC BE AC BE 2 4 1BFC 1 1 1( , , )x y z=m 3(0, ,0)2FB = 1 1( ,0,2)2FC = − 1 1 1 1 3 02 1 2 02 FB y FC x z  ⋅ = =  ⋅ = − + =   m m 1 4x = (4,0,1)=m 1BCC 2 2 2( , , )x y z=n 1 3( , ,0)2 2CB = 1 (0,0,2)CC = 2 2 1 2 1 3 02 2 2 0 CB x y CC z  ⋅ = + =  ⋅ = =   n n 2 3x = ( 3, 1,0)= −n 2 2 2 2 2 2 4 3 ( 1) 0 1 0 2 51cos , 17( 3) ( 1) 0 4 0 1 × + − × + ×∴ < >= = ⋅ + − + ⋅ + + m n 根据图形可知二面角 为锐二面角， 所以二面角 的余弦值为 ； ……………………………………10分 73.（ ）见解析．（ ） ．（ ）存在， ． （ ）∵面 面 ， 面 ，且 ， ∴ 面 ， ∴ ， 又∵ ， ， ∴ 面 ． （ ）如图所示建立空间直角坐标系， 设直线 与平面 所成角为 ， ∴ ， ， ， ， 则有 ， ， ， 设平面 的法向量为 ． 由 ，得 ， ∴ ． 又∵直线 与平面 所成角为锐角， ∴所求线面角的正弦值为 ． （ ）假设存在这样的 点， 设点 的坐标为 ． 则 ， 要使直线 面 ， 即需要求 ． 1F BC C− − 1F BC C− − 2 51 17 1 2 3 3 3 1 4 AM AP = 1 PAD ⊥ ABCD AB ⊂ ABCD AB AD⊥ AB ⊥ PAD AB PD⊥ PD PA⊥ PA PB A= PD ⊥ PAB 2 z x y P C B AD PB PCD θ (1,0,1)P (0,1,0)B (1,2,0)C (2,0,0)D ( 1,1, 1)PB = − − (0,2, 1)PC = − (1,0, 1)PD = − PCD ( , , )n x y z= 0 0 n PC n PD  ⋅ = ⋅ =     2 0 (2,1,2)0 y z nx z − = ⇒ = − =  2 1 2 3sin 3| | | | 3 3 PB n PB n θ ⋅ − + −= = = − ⋅ ⋅     PB PCD 3 3 3 M M ( ,0, )a a ( , 1, )BM a a= − BM∥ PCD BM n⊥  ∴ ， 解得 ， 此时 ． 74.见解析． 解：（1）证明：取 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ∴ ， ， 设平面 的法向量为 ， ∴ 不妨设 ， 又 ， ∴ ， ∴ ， 又∵ 平面 ， ∴ 平面 ． （2）解：∵ ， ， 设平面 的法向量为 ， ∴ 不妨设 ， ∴ ， ∴平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ． （3）解：设 ， ， ∴ ， ∴ ， 又∵平面 的法向量为 ， ∴ ， 2 1 2 0a a− + = 1 4a = 1 4 AM AP = D DA x DE z (1,0,0)A (1,2,0)B (0,0, 3)E ( 1,2, 3)F − ( 1, 2, 3)BE = − − (0,2,0)AB = ABE ( , , )n x y z= 2 3 0 2 0 x y z y − − + = = ( 3,0,1)n = ( 1,2, 3)DF = − 3 3 0DF n⋅ = − + =  DF n ⊥ DF ⊄ ABE DF ∥ ABE ( 1,2, 3)BE = − − ( 2,0, 3)BF = − BEF ( , , )m x y z= 2 3 0 2 3 0 x y z x z − − + = − + = (2 3, 3,4)m = | | 10 5 31| cos | 31| || | 2 31 m n m n θ ⋅= = = ⋅     ABE EFB 5 31 31 ( 1,2, 3) ( ,2 , 3 )DP DFλ λ λ λ λ= = − = −  [0,1]λ ∈ ( ,2 , 3 )P λ λ λ− ( 1,2 2, )BP λ λ λ= − − − ABE ( 3,0,1)n = 2 2 2 | 3 3 3 | 3sin | cos | 42 ( 1) (2 2) 3 BP n λ λθ λ λ λ − += < ⋅ > = = + + − +   ∴ ， ∴ 或 ， ∴当 时， ， ∴ ， 当 时， ， ∴ ， 综上 ． 75. （Ⅰ）证明：因为 平面 ，所以 又因为底面 是矩形，所以 又因为 ，所以 平面 . 又因为 平面 ，所以平面 平面 . （Ⅱ)解：方法一：（几何法)过点 作 ，垂足为点 ，连接 . 不妨设 ，则 . 因为 平面 ，所以 . 又因为底面 是矩形，所以 . 又因为 ，所以 平面 ，所以A . 又因为 ，所以 平面 ，所以 所以 就是二面角 的平面角. 在 中，由勾股定理得 ， 由等面积法，得 ， 又由平行线分线段成比例定理，得 . 所以 .所以 . 所以 . 28 6 1 0λ λ− + = 1 2 λ = 1 4 λ = 1 2 λ = 3 3, 1,2 2BP  = − −     | | 2BP = 1 4 λ = 5 3 3, ,4 2 4BP  = − −     | | 2BP = | | 2BP = ⊥PA ABCD CDPA ⊥ ABCD CDAD ⊥ AADPA = ⊥CD PAD ⊂CD PCD ⊥PCD PAD A PEAM ⊥ M FM 3== ADPA 362 === BCADAB ， ⊥PA ABCD AFPA ⊥ ABCD AFAB ⊥ AABPA = ⊥AF PAB PEAF ⊥ AAFAM = ⊥PE AFM FMPE ⊥ AMF∠ FPEA −− PAERt∆ 1323 2222 =+=+= AEPAPE 13 136 13 23 =×=⋅= PE AEPAAM 3 1== DC AE FD AF 2 1= AD AF 2 3 2 1 == ADAF 4 13 13 136 2 3 tan ===∠ AM AFAMF 所以二面角 的正切值为 . 方法二：（向量法）以 ， ， 分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系： 不妨设 ，则由（Ⅱ）可得 ， . 又由平行线分线段成比例定理，得 ， 所以 ，所以 . 所以点 ， ， . 则 ， . 设平面 的法向量为 ，则 由 得 得 令 ，得平面 的一个法向量为 ； 又易知平面 的一个法向量为 ； 设二面角 的大小为 ，则 . 所以 .所以二面角 的正切值为 . 76. （Ⅰ）证明，不妨设 ，过 作 垂线交 于 ，则 ， FPEA −− 4 13 AF AB AP x y z 3== ADPA 3=AP 2=AE 3 1== DC AE FD AF 2 1= AD AF 2 3 2 1 == ADAF ( )300 ，，P ( )020 ，，E      002 3 ，，F ( )0 2 -3PE = ，， 3 0 32 PF  = −    ，， PEF ( ), ,n x y z= ( ) ( ) ( ) 0, , 0,2, 3 3 0, , ,0, 32 n PE x y z n PF x y z  ⋅ = ⋅ =−  ⋅ = ⋅ =−      ， ， 2 3 0 3 3 02 y z x z − = − = ， ， 3 2 2 y z x z  =  = ， ， 1z = PEF 32 12 n  =   ，， PEA 3 ,0,02 m AF  = =     A PE F− − θ 3 32, ,1 ,0,0 42 2cos 29 3 29 2 2 n m n m θ    ⋅   ⋅    = = = × ( )2 2429 13tan 4 4 θ − = = A PE F− − 13 4 2 4BC AD= = A BC BC E 3AE = ， 所以 ，所以 ，又因为平面 与平面 垂直，所以 平面 所以 （Ⅱ）建立如图坐标系， ， ， ， ， 所以 ， ， 设平面 的法向量为 则有 ，取 ， ， 直线 与平面 所成角的正弦值为 ． 77. （1）因为 是等边三角形， 为 的中点，所以 . 又因为 平面 , ，可得 平面 ， 因为 平面 ，所以 ；（4分） （2）如图，以点 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，过 且与直线 平行的直线为 轴，建立空间直角坐标系.因为 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角.（6分） 2 3AC = 1 2cos60AB = =  2 2 2AB AC BC+ = AB AC⊥ ABCD 1 1ABC D AC ⊥ 1 1ABC D 1BC AC⊥ ( )0,0,0A ( )2,0,0B ( )0,2 3,0C ( )1, 3,0D − ( )1 1,0, 3D − ( )1 0, 3, 3DD = − ( )2,2 3,0BC = − ( )1 3,0, 3BD = − 1BCD ( ), ,n x y z= 2 2 3 0 3 3 0 x y x z − + = − + = ( )3,1,3n = 1 26cos , 13n DD< >=  1DD 1BCD 26 13 ABC△ M AB CM AB⊥ DB ⊥ ABC DB CM∴ ⊥ CM ⊥ ABDE EM ⊂ ABDE CM EM⊥ M ,MC MB ,x y M BD z DB ⊥ ABC DMB∠ DM ABC 由题意得 ，即 ，故 ， ， ，于是 ， ， ， ，设平面 与平面 的法向量分别为 ， ，则由 得 ，令 ，得 ，所以 .同理求得 ， （10分） 所以 ，则二面角 的大小为 .（12分） 78.（ ）见解析．（ ） ．（ ） ． （ ）证明：∵侧面 是正三角形， 中点为 ， ∴ ， ∵侧面 底面 ， 侧面 底面 ， 侧面 ， ∴ 平面 ． （ ）连接 ，设 点， 以 为原点， ， 过 点且垂直于平面 的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系， tan 2BDDMB MB ∠ = = 2BD = ( )0,1,0B ( )3,0,0C ( ) ( )0,1,2 , 0, 1,1D E − ( )3, 1,0BC = − ( )0,0,2BD = ( )3, 1,1CE = − − ( )3,1,2CD = − BCD CDE ( )1 1 1, ,x y z=m ( )2 2 2, ,x y z=n 0 0 BC BD  ⋅ =  ⋅ =   m m 1 1 1 3 0 2 0 x y z  − = = 1 1x = 1 3y = ( )1, 3,0=m 3 2 31, ,3 3  = −    n cos , 0 ⋅= =m nm n m n B CD E− − 90° 20 15 10 5 5 10 15 4 2 2 4 6 8 10 12 14 z x yA C D E M M P C D E A B A B (3,1)A(1,1) 3x-2y+4=0 x+2y=0 x+y-4=0 y x D B A 1 2 30 10 3 2 5 1 PAB AB Q PQ AB⊥ PAB ⊥ ABCD PAB  ABCD AB= PQ ⊂ PAB PQ ⊥ ABCD 2 AC AC BD O= O OB OC O ABCD x y z ， ， ， ， ， ， 平面 的法向量 ， 设斜线 与平面 所成角为 ， 则 ． （ ）设 ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， ∴ ， ， ， 取 ， ， 又∵平面 的法向量 ， ∴ ， ∴ ， y z Ox Q P CB A D M (0,0,0)O ( 3,0,0)B (0,1,0)C ( 3,0,0)D − 3 1, , 32 2P  −    3 3 1, , 32 2PD  = − −     ABCD (0,0,1)m = PD ABCD α 3 30sin | cos , | 10| | | | 27 1 34 4 m PDm PD m PD ⋅= = = = ⋅ + +      3 3 3, , 32 2CM tCP t t t  = = −      3 3, 1, 32 2M t t t  − −    3 33, 1, 32 2BM t t t  = − − +     (2 3,0,0)DB = MBD ( , , )n x y z= n DB⊥  n MB⊥  0 0 3 33 1 3 00 2 2 x n DB t x t y tzn MB = ⋅ =   ⇒ ⇒   − + − + + = ⋅ =             3z = 60, , 33 2 tn t  =  −   ABCD (0,0,1)m = cos cos60 | || | m n m n m n ⋅ = ⋅ = °       2 3 1 263 3 2 t t =  +  −  解出 （舍去）或 ， 此时 ． 2t = 2 5t = 2 5 CM CP =