数学高考分类汇编解答题文03——立体几何

数学高考分类汇编解答题文03——立体几何

‎03 立体几何 ‎1. （天津文）17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥中，底面为 ‎ 平行四边形，，，为中点，‎ ‎ 平面，，‎ ‎ 为中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：//平面；‎ ‎（Ⅱ）证明：平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．‎ ‎【解析】（17）本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力。满分13分。‎ ‎ （Ⅰ）证明：连接BD，MO，在平行四边形ABCD中，因为O为AC的中点，所以O为BD的中点，又M为PD的中点，所以PB//MO。因为平面ACM，平面ACM，所以PB//平面ACM。‎ ‎ （Ⅱ）证明：因为，且AD=AC=1，所以，即，又PO平面ABCD，平面ABCD，所以，所以平面PAC。‎ ‎ （Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，AN，因为M为PD的中点，所以MN//PO，且平面ABCD，得平面ABCD，所以是直线AM与平面ABCD所成的角，在中，，所以，从而，‎ ‎ 在，即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为 ‎2. （北京文）17．（本小题共14分）‎ ‎ 如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点.‎ ‎ （Ⅰ）求证：DE∥平面BCP； ‎ ‎ （Ⅱ）求证：四边形DEFG为矩形；‎ ‎ （Ⅲ）是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由.‎ ‎【解析】（17）（共14分）‎ ‎ 证明：（Ⅰ）因为D，E分别为AP，AC的中点，‎ 所以DE//PC。‎ 又因为DE平面BCP，‎ 所以DE//平面BCP。‎ ‎（Ⅱ）因为D，E，F，G分别为 AP，AC，BC，PB的中点，‎ 所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。‎ 所以四边形DEFG为平行四边形，‎ 又因为PC⊥AB，‎ 所以DE⊥DG，‎ 所以四边形DEFG为矩形。‎ ‎（Ⅲ）存在点Q满足条件，理由如下：‎ 连接DF，EG，设Q为EG的中点 由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.‎ 分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN。‎ 与（Ⅱ）同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线点为EG的中点Q，‎ 且QM=QN=EG，‎ 所以Q为满足条件的点.‎ ‎3. (全国大纲文)20．（本小题满分l2分）（注意：在试题卷上作答无效）‎ 如图，四棱锥中， ,，侧面为等边三角形， ‎ ‎．‎ ‎ （I）证明：平面SAB；‎ ‎ （II）求AB与平面SBC所成的角的大小。‎ ‎【解析】20．解法一：‎ ‎ （I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，‎ ‎ 连结SE，则 ‎ 又SD=1，故，‎ ‎ 所以为直角。 …………3分 ‎ 由，‎ ‎ 得平面SDE，所以。‎ ‎ SD与两条相交直线AB、SE都垂直。‎ ‎ 所以平面SAB。 …………6分 ‎ （II）由平面SDE知，‎ ‎ 平面平面SED。‎ ‎ 作垂足为F，则SF平面ABCD，‎ ‎ ‎ ‎ 作，垂足为G，则FG=DC=1。‎ ‎ 连结SG，则，‎ ‎ 又，‎ ‎ 故平面SFG，平面SBC平面SFG。 …………9分 ‎ 作，H为垂足，则平面SBC。‎ ‎ ，即F到平面SBC的距离为 ‎ 由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有 ‎ 设AB与平面SBC所成的角为α，‎ ‎ 则 …………12分 ‎ 解法二：‎ ‎ 以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。‎ 设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。‎ 又设 ‎ （I），，‎ 由得 故x=1。‎ 由 又由 即 …………3分 于是，‎ 故 所以平面SAB。‎ ‎ （II）设平面SBC的法向量，‎ 则 又 故 …………9分 取p=2得。‎ 故AB与平面SBC所成的角为 ‎4. （全国新文）18．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD．‎ ‎ （I）证明：；‎ ‎ （II）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC的高．‎ ‎【解析】(18)解：‎ ‎（Ⅰ）因为， 由余弦定理得 ‎ 从而BD2+AD2= AB2，故BDAD 又PD底面ABCD，可得BDPD 所以BD平面PAD. 故 PABD ‎（Ⅱ）如图，作DEPB，垂足为E。已知PD底面ABCD，则PDBC。由（Ⅰ）知BDAD，又BC//AD，所以BCBD。‎ 故BC平面PBD，BCDE。‎ 则DE平面PBC。‎ 由题设知，PD=1，则BD=，PB=2，‎ 根据BE·PB=PD·BD，得DE=，‎ 即棱锥D—PBC的高为 ‎5. （辽宁文）18．（本小题满分12分）‎ 如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．‎ ‎（I）证明：PQ⊥平面DCQ；‎ ‎（II）求棱锥Q—ABCD的的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值．‎ ‎【解析】18．解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形 因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD.‎ 又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，所以DC⊥平面PDAQ，可得PQ⊥DC.‎ 在直角梯形PDAQ中可得DQ=PQ=PD，则PQ⊥QD 所以PQ⊥平面DCQ. ………………6分 ‎ （II）设AB=a.‎ 由题设知AQ为棱锥Q—ABCD的高，所以棱锥Q—ABCD的体积 由（I）知PQ为棱锥P—DCQ的高，而PQ=，△DCQ的面积为，‎ 所以棱锥P—DCQ的体积为 故棱锥Q—ABCD的体积与棱锥P—DCQ的体积的比值为1.…………12分 ‎6. （江西文）18．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，在中，P为AB边上的一动点，PD//BC交AC于点D，现将PDA沿PD翻折至PDA，使平面PDA平面PBCD。‎ ‎ （1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；‎ ‎ （2）若点P为AB的中点，E为的中点，求证：。‎ ‎【解析】18．（本小题满分12分）‎ 解：（1）令 因为，‎ 且平面平面PBCD，‎ 故平面PBCD。‎ 所以，‎ 令 由，‎ 当单调递增 当单调递减，‎ 所以，当时，取得最大值，‎ 即：当最大时，‎ ‎ （2）设F为的中点，连接PF，FE，‎ ‎ 则有 所以DE//PF，又 所以，‎ 故 ‎7. （山东文）19．（本小题满分12分）‎ 如图，在四棱台中，平面，底面是平行四边形，，，60°‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）证明：．‎ ‎【解析】19．（I）证法一：‎ 因为平面ABCD，且平面ABCD，‎ 所以，‎ 又因为AB=2AD，，‎ 在中，由余弦定理得 ‎，‎ 所以，‎ 因此，‎ 又 所以 又平面ADD1A1，‎ 故 证法二：‎ 因为平面ABCD，且平面ABCD，‎ 所以 取AB的中点G，连接DG，‎ 在中，由AB=2AD得AG=AD，‎ 又，所以为等边三角形。‎ 因此GD=GB，‎ 故，‎ 又 所以平面ADD1A1，‎ 又平面ADD1A1，‎ 故 ‎ （II）连接AC，A1C1，‎ 设，连接EA1‎ 因为四边形ABCD为平行四边形，‎ 所以 由棱台定义及AB=2AD=2A1B1知 A1C1//EC且A1C1=EC，‎ 所以边四形A1ECC1为平行四边形，‎ 因此CC1//EA1，‎ 又因为EA平面A1BD，平面A1BD，‎ 所以CC1//平面A1BD。‎ ‎8. （陕西文）16．（本小题满分12分）‎ 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD 折起，使∠BDC=90°。‎ ‎（Ⅰ）证明：平面ＡＤＢ  ⊥平面ＢＤＣ；‎ ‎（Ⅱ）设BD=1，求三棱锥D—ＡＢＣ的表面积。‎ ‎【解析】16．解（Ⅰ）∵折起前ＡＤ是ＢＣ边上的高，‎ ‎∴ 当Δ ＡＢＤ折起后，AD⊥ＤＣ，AD⊥ＤＢ，‎ 又DBＤＣ＝Ｄ，‎ ‎∴ＡＤ⊥平面ＢＤＣ，‎ ‎∵AD 平面平面ABD．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，DA,,,‎ DB=DA=DC=1，‎ AB=BC=CA=,‎ 从而 ‎ ‎ 表面积：‎ ‎9. （上海文）20．（14分）已知是底面边长为1的正四棱柱，高。求：‎ ‎（1）异面直线与所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；‎ ‎（2）四面体的体积。‎ ‎【解析】20．解：⑴ 连，∵ ，‎ ‎∴ 异面直线与所成角为，记，‎ ‎∴ 异面直线与所成角为。‎ ‎⑵ 连，则所求四面体的体积 ‎。‎ ‎10. （四川文）19．（本小题共l2分）‎ 如图，在直三棱柱ABC－A1B‎1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A‎1C1至点P，使C1P＝A‎1C1，连接AP交棱CC1于D．‎ ‎（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；‎ 本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力．‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）连结AB1与BA1交于点O，连结OD，‎ ‎∵C1D∥平面AA1，A1C1∥AP，∴AD=PD，又AO=B1O，‎ ‎∴OD∥PB1，又ODÌ面BDA1，PB1Ë面BDA1，‎ ‎∴PB1∥平面BDA1．‎ ‎（Ⅱ）过A作AE⊥DA1于点E，连结BE．∵BA⊥CA，BA⊥AA1，且AA1∩AC=A，‎ ‎∴BA⊥平面AA1C1C．由三垂线定理可知BE⊥DA1．‎ ‎∴∠BEA为二面角A－A1D－B的平面角．‎ 在Rt△A1C1D中，，‎ 又，∴．‎ 在Rt△BAE中，，∴．‎ 故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为．‎ 解法二：‎ 如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1－B1C1A，则，，，，．‎ ‎（Ⅰ）在△PAA1中有，即．‎ ‎∴，，．‎ 设平面BA1D的一个法向量为，‎ 则令，则．‎ ‎∵，‎ ‎∴PB1∥平面BA1D，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面BA1D的一个法向量．‎ 又为平面AA1D的一个法向量．∴．‎ 故二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为．‎ ‎11. （浙江文）（20）（本题满分14分）如图，在三棱锥中，，为的中点，⊥平面，垂足落在线段上．‎ ‎（Ⅰ）证明：⊥；‎ ‎（Ⅱ）已知，，，．求二面角的大小．‎ ‎【解析】（20）本题主要考查空间线线、线面、面面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。‎ ‎ （Ⅰ）证明：由AB=AC，D是BC中点，得，‎ ‎ 又平面ABC，，得 ‎ 因为，所以平面PAD，故 ‎ （Ⅱ）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM。‎ ‎ 因为平面BMC，所以APCM。‎ ‎ 故为二面角B—AP—C的平面角。‎ ‎ 在 ‎ 在，‎ ‎ 在中，，‎ ‎ 所以 ‎ 在 ‎ ‎ 又 ‎ 故 ‎ 同理 ‎ 因为 ‎ 所以 ‎ 即二面角B—AP—C的大小为 ‎12. （重庆文）20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分）‎ ‎ 如题（20）图，在四面体中，平面ABC⊥平面，‎ ‎ （Ⅰ）求四面体ABCD的体积；‎ ‎ （Ⅱ）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。‎ ‎【解析】20．（本题12分）‎ 解法一：（I）如答（20）图1，过D作DF⊥AC垂足为F，‎ 故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，即DF 是四面体ABCD的面ABC上的高，设G为边CD的中点，‎ 则由AC=AD，知AG⊥CD，从而 由 故四面体ABCD的体积 ‎ （II）如答（20）图1，过F作FE⊥AB，垂足为E，连接DE。由（I）知DF⊥平面ABC。由三垂线定理知DE⊥AB，故∠DEF为二面角C—AB—D的平面角。‎ ‎ 在 ‎ 在中，EF//BC，从而EF：BC=AF：AC，所以 ‎ 在Rt△DEF中，‎ ‎ 解法二：（I）如答（20）图2，设O是AC的中点，过O作OH⊥AC，交AB于H，过O作OM⊥AC，交AD于M，由平面ABC⊥平面ACD，知OH⊥OM。因此以O为原点，以射线OH，OC，OM分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，可建立空间坐标系 O—xyz.已知AC=2，故点A，C的坐标分别为A（0，—1，0），C（0，1，0）。‎ ‎ 设点B的坐标为，有 ‎ ‎ ‎ 即点B的坐标为 ‎ 又设点D的坐标为有 ‎ ‎ ‎ 即点D的坐标为从而△ACD边AC上的高为 ‎ 又 ‎ 故四面体ABCD的体积 ‎ （II）由（I）知 ‎ 设非零向量是平面ABD的法向量，则由有 ‎ （1）‎ ‎ 由，有 ‎ （2）‎ ‎ 取，由（1），（2），可得 ‎ 显然向量是平面ABC的法向量，从而 ‎ ‎ ‎ 即二面角C—AB—D的平面角的正切值为 ‎13. （安徽文）（19）（本小题满分13分）‎ 如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，，，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形。‎ ‎（Ⅰ）证明直线；‎ ‎（Ⅱ）求棱锥的体积.‎ ‎【解析】（19）（本小题满分13分）本题考查空间直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.‎ ‎ ‎ ‎ （I）证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以 ‎=‎ ‎ ∥，OG=OD=2，‎ ‎ 同理，设是线段DA与FC延长线的交点，有 ‎ 又由于G和都在线段DA的延长线上，所以G与重合.‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎ 在△GED和△GFD中，由‎=‎ ∥和OC∥，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.‎ ‎ （II）解：由OB=1，OE=2，，而△OED是边长为2的正三角形，故 ‎ 所以 ‎ 过点F作FQ⊥DG，交DG于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED的高，且FQ=，所以 ‎14. （福建文）20．（本小题满分12分）‎ 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB。‎ ‎ （I）求证：CE⊥平面PAD；‎ ‎（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，∠CDA=45°，求四棱锥P-ABCD的体积 ‎【解析】20．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力，推理论证能力，运算求解能力；考查数形结合思想，化归与转化思想，满分12分 ‎ （I）证明：因为平面ABCD，平面ABCD，‎ 所以 因为 又 所以平面PAD。‎ ‎（II）由（I）可知，‎ 在中，DE=CD 又因为，‎ 所以四边形ABCE为矩形，‎ 所以 又平面ABCD，PA=1，‎ 所以 ‎15. （湖北文）18．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，已知正三棱柱-的底面边长为2，侧棱长为，点E在侧棱上，点F在侧棱上，且,‎ ‎．‎ ‎（I） 求证：；‎ ‎（II） 求二面角的大小。‎ ‎【解析】18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角的求法，同时考查空间想象能力和推理论证能力。（满分12分）‎ ‎ 解法1：（Ⅰ）由已知可得 ‎ ‎ ‎ 于是有 ‎ 所以 ‎ 又 ‎ 由 ‎ （Ⅱ）在中，由（Ⅰ）可得 ‎ 于是有EF2+CF2=CE2，所以 ‎ 又由（Ⅰ）知CF C1E，且，所以CF 平面C1EF，‎ ‎ 又平面C1EF，故CF C‎1F。‎ ‎ 于是即为二面角E—CF—C1的平面角。‎ ‎ 由（Ⅰ）知是等腰直角三角形，所以，即所求二面角E—CF—C1的大小为。‎ ‎ 解法2：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得 ‎ ‎ ‎ （Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ），设平面CEF的一个法向量为 ‎ 由 ‎ 即 ‎ 设侧面BC1的一个法向量为 ‎ ‎ ‎ 设二面角E—CF—C1的大小为θ，于是由θ为锐角可得 ‎ ，所以 ‎ 即所求二面角E—CF—C1的大小为。‎ ‎16. （湖南文）19．（本小题满分12分）‎ 如图3，在圆锥中，已知的直径 的中点．‎ ‎ （Ⅰ）证明：平面;‎ ‎ （Ⅱ）求直线 和平面所成角的正弦值.‎ ‎【解析】19．（本题满分12分）‎ 解法1：（I）因为 又PO⊥底面⊙O，AC底面⊙O，所以AC⊥PO，而OD，内的两条相交直线，所以 ‎ （II）由（I）知，又 ‎ 所以平面在平面中，‎ 过作则连结，‎ 则是上的射影，‎ 所以是直线和平面所成的角．‎ 在 在 在 ‎17. （广东文）18．（本小题满分13分）‎ ‎ 图5所示的集合体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的．A，A′，B，B′分别为,,,的中点，分别为的中点．‎ ‎（1）证明：四点共面；‎ ‎（2）设G为A A′中点，延长到H′，使得．证明：‎ ‎【解析】18．（本小题满分13分）‎ ‎ 证明：（1）中点，‎ ‎ ‎ ‎ 连接BO2‎ ‎ 直线BO2是由直线AO1平移得到 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 共面。‎ ‎ （2）将AO1延长至H使得O1H=O‎1A，连接 ‎//‎ ‎ 由平移性质得=HB ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎18. （江苏）16．如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点 求证：（1）直线EF∥平面PCD；‎ ‎（2）平面BEF⊥平面PAD ‎【解析】本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考察空间想象能力和推理论证能力。满分14分。‎ 证明：（1）在△PAD中，因为E、F分别为 AP，AD的中点，所以EF//PD.‎ 又因为EF平面PCD，PD平面PCD，‎ 所以直线EF//平面PCD.‎ ‎（2）连结DB，因为AB=AD，∠BAD=60°，‎ 所以△ABD为正三角形，因为F是AD的 中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面 ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD。又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.‎