2020-2021学年高考数学（理）考点：导数与函数的极值、最值

2020-2021学年高考数学（理）考点：导数与函数的极值、最值

‎2020-2021学年高考数学（理）考点：导数与函数的极值、最值 ‎ ‎1．函数的极值与导数 条件 f′(x0)＝0‎ x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0‎ x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0‎ 图象 极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 ‎2.函数的最值 ‎(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f (x)在[a，b]上必有最大值与最小值．‎ ‎(2)若函数f (x)在[a，b]上单调递增，则f (a)为函数的最小值，f (b)为函数的最大值；若函数f (x)在[a，b]上单调递减，则f (a)为函数的最大值，f (b)为函数的最小值．‎ 概念方法微思考 ‎1．对于可导函数f (x)，“f′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)‎ 提示　必要不充分 ‎2．函数的最大值一定是函数的极大值吗？‎ 提醒　不一定，函数的最值可能在极值点或端点处取到．‎ ‎1．（2019•新课标Ⅱ）已知函数．证明：‎ ‎（1）存在唯一的极值点；‎ ‎（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．‎ ‎【解析】（1）函数．‎ 的定义域为，‎ ‎，‎ 单调递增，单调递减，单调递增，‎ 又（1），（2），‎ 存在唯一的，使得．‎ 当时，，单调递减，‎ 当时，，单调递增，‎ 存在唯一的极值点．‎ ‎（2）由（1）知（1），‎ 又，‎ 在，内存在唯一的根，‎ 由，得，‎ ‎，‎ 是在的唯一根，‎ 综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．‎ ‎2．（2019•江苏）设函数，，，，为的导函数．‎ ‎（1）若，（4），求的值；‎ ‎（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；‎ ‎（3）若，，，且的极大值为，求证：．‎ ‎【解析】（1），，‎ ‎（4），，‎ ‎，解得．‎ ‎（2），，设．‎ 令，解得，或．‎ ‎．‎ 令，解得，或．‎ 和的零点均在集合，1，中，‎ 若：，，则，舍去．‎ ‎，，则，舍去．‎ ‎，，则，舍去．．‎ ‎，，则，舍去．‎ ‎，，则，舍去．‎ ‎，，则，．‎ 因此，，，‎ 可得：．‎ ‎．‎ 可得时，函数取得极小值，（1）．‎ ‎（3）证明：，，，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎△．‎ 令．‎ 解得：，．，‎ ‎，，‎ 可得时，取得极大值为，‎ ‎，令，‎ 可得：．‎ ‎，‎ ‎．‎ 令，‎ ‎，‎ 函数在上单调递减，．‎ ‎．．‎ 函数在上单调递增，‎ ‎．‎ ‎3．（2018•北京）设函数．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点，（2）处的切线斜率为0，求；‎ ‎（Ⅱ）若在处取得极小值，求的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ）函数的导数为 ‎．‎ 曲线在点，（2）处的切线斜率为0，‎ 可得，‎ 解得；‎ ‎（Ⅱ）的导数为，‎ 若则时，，递增；，，递减．‎ 处取得极大值，不符题意；‎ 若，且，则，递增，无极值；‎ 若，则，在，递减；在，递增，‎ 可得在处取得极小值；‎ 若，则，在递减；在，，递增，‎ 可得在处取得极大值，不符题意；‎ 若，则，在，递增；在，递减，‎ 可得在处取得极大值，不符题意．‎ 综上可得，的范围是．‎ ‎4．（2018•北京）设函数．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点，（1）处的切线与轴平行，求；‎ ‎（Ⅱ）若在处取得极小值，求的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ）函数的导数为 ‎．‎ 由题意可得曲线在点，（1）处的切线斜率为0，‎ 可得，且（1），‎ 解得；‎ ‎（Ⅱ）的导数为，‎ 若则时，，递增；，，递减．‎ 处取得极大值，不符题意；‎ 若，且，则，递增，无极值；‎ 若，则，在，递减；在，递增，‎ 可得在处取得极小值；‎ 若，则，在递减；在，，递增，‎ 可得在处取得极大值，不符题意；‎ 若，则，在，递增；在，递减，‎ 可得在处取得极大值，不符题意．‎ 综上可得，的范围是，．‎ ‎5．（2018•新课标Ⅲ）已知函数．‎ ‎（1）若，证明：当时，；当时，；‎ ‎（2）若是的极大值点，求．‎ ‎【解析】（1）当时，，．‎ ‎，，‎ 可得时，，时，‎ 在递减，在递增，‎ ‎，‎ 在上单调递增，又．‎ 当时，；当时，．‎ ‎（2）解：由，得 ‎，‎ 令，‎ ‎．‎ 当，时，，单调递增，‎ ‎，即，‎ 在上单调递增，故不是的极大值点，不符合题意．‎ 当时，，‎ 显然单调递减，‎ ‎①令，解得．‎ 当时，，当时，，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，‎ 单调递减，又，‎ 当时，，即，‎ 当时，，即，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ 是的极大值点，符合题意；‎ ‎②若，则，，‎ 在上有唯一一个零点，设为，‎ 当时，，单调递增，‎ ‎，即，‎ 在上单调递增，不符合题意；‎ ‎③若，则，，‎ 在上有唯一一个零点，设为，‎ 当时，，单调递减，‎ ‎，单调递增，‎ ‎，即，‎ 在，上单调递减，不符合题意．‎ 综上，．‎ ‎6．（2017•全国）已知函数．‎ ‎（1）当时，求的极小值；‎ ‎（Ⅱ）当时，讨论方程实根的个数．‎ ‎【解析】．‎ ‎（1）当时，令，得或；‎ ‎①当时，有，列表如下：‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 故极小值为．‎ ‎②当时，有，则，故在上单调递增，无极小值；‎ ‎③当时，有，列表如下：‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 极大值 极小值 故极小值为（2）．‎ ‎（Ⅱ）解法一：①当时，令，得或，有两个根；‎ ‎②当时，令，得或，有，列表如下：‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ 极小值 极大值 故极大值为（2），极小值，因此有三个根．‎ 解法二：①当时，令，得或，有两个根；‎ ‎②当时，，对于二次函数，不是该二次函数的零点，△，则该二次函数有两个不等的非零零点，‎ 此时，方程有三个根．‎ ‎7．（2017•山东）已知函数，，其中是自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点，处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．‎ ‎【解析】．，．‎ 曲线在点，处的切线方程为：．‎ 化为：．‎ ‎．‎ 令，则，函数在上单调递增．‎ ‎，时，；时，．‎ ‎（1）时，，时，，函数在单调递增；‎ 时，，函数在单调递减．‎ 时，函数取得极小值，．‎ ‎（2）时，令．‎ 解得，．‎ ‎①时，时，，，函数单调递增；‎ 时，，，函数单调递减；‎ 时，，，函数单调递增．‎ 当时，函数取得极小值，．‎ 当时，函数取得极大值，．‎ ‎②当时，，时，，函数在上单调递增．‎ ‎③时，，时，，，函数单调递增；‎ 时，，，函数单调递减；‎ 时，，，函数单调递增．‎ 当时，函数取得极大值，．‎ 当时，函数取得极小值，．‎ 综上所述：时，函数在单调递增；时，函数在单调递减．‎ 时，函数取得极小值，．‎ 时，函数在，是单调递增；函数在上单调递减．当时，函数取得极小值，．当时，函数取得极大值，．‎ 当时，，函数在上单调递增．‎ 时，函数在，上单调递增；函数在上单调递减．当时，函数取得极大值，．当时，函数取得极小值，．‎ ‎8．（2017•江苏）已知函数有极值，且导函数的极值点是的零点．‎ ‎（Ⅰ）求关于的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（Ⅱ）证明：；‎ ‎（Ⅲ）若，这两个函数的所有极值之和不小于，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（Ⅰ）解：因为，‎ 所以，，‎ 令，解得．‎ 由于当时，单调递增；当时，单调递减；‎ 所以的极小值点为，‎ 由于导函数的极值点是原函数的零点，‎ 所以，即，‎ 所以．‎ 因为有极值，‎ 所以有实根，‎ 所以，即，解得，‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）证明：由（1）可知（a），‎ 由于，所以（a），即；‎ ‎（Ⅲ）解：由（1）可知的极小值为，‎ 设，是的两个极值点，则，，‎ 所以 ‎，‎ 又因为，这两个函数的所有极值之和不小于，‎ 所以，‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 由于时，‎ 所以，解得，‎ 所以的取值范围是，．‎ ‎9．（2017•新课标Ⅱ）已知函数，且．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：存在唯一的极大值点，且．‎ ‎【解析】（1）因为，‎ 则等价于，求导可知．‎ 则当时，即在上单调递减，‎ 所以当时，（1），矛盾，故．‎ 因为当时、当时，‎ 所以，‎ 又因为（1），‎ 所以，解得；‎ 另解：因为（1），所以等价于在时的最小值为（1），‎ 所以等价于在处是极小值，‎ 所以解得；‎ ‎（2）由（1）可知，，‎ 令，可得，记，则，‎ 令，解得，‎ 所以在区间上单调递减，在，上单调递增，‎ 所以，又，所以在上存在唯一零点，‎ 所以有解，即存在两根，，‎ 且不妨设在上为正、在，上为负、在，上为正，‎ 所以必存在唯一极大值点，且，‎ 所以，‎ 由可知；‎ 由可知，‎ 所以在上单调递增，在，上单调递减，‎ 所以；‎ 综上所述，存在唯一的极大值点，且．‎ ‎10．（2016•山东）设，．‎ ‎（1）令，求的单调区间；‎ ‎（2）已知在处取得极大值，求正实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）由 ，‎ 可得 ，，‎ 所以，‎ 当，时，，函数单调递增；‎ 当，时，，函数单调递增，‎ ‎，时，，函数单调递减．‎ 所以当时，的单调增区间为；‎ 当时，的单调增区间为，单调减区间为，．（6分）‎ ‎（2）由（1）知，（1）．‎ ‎①当时，，由（1）知在内单调递增，‎ 可得当时，，当时，．‎ 所以在内单调递减，在内单调递增，‎ 所以在处取得极小值，不合题意．‎ ‎②当时，，在内单调递增，在内单调递减，‎ 所以当时，，单调递减，不合题意．‎ ‎③当时，，在上单减，‎ 当，时，，单调递增，‎ 当时，，单调递减．‎ 所以在处取极大值，符合题意．‎ 综上可知，正实数的取值范围为，．（12分）‎ ‎11．（2017•北京）已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点，处的切线方程；‎ ‎（2）求函数在区间，上的最大值和最小值．‎ ‎【解析】（1）函数的导数为，‎ 可得曲线在点，处的切线斜率为，‎ 切点为，即为，‎ 曲线在点，处的切线方程为；‎ ‎（2）函数的导数为，‎ 令，‎ 则的导数为，‎ 当，，可得，‎ 即有在，递减，可得，‎ 则在，递减，‎ 即有函数在区间，上的最大值为；‎ 最小值为．‎ ‎1．（2020•道里区校级一模）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为　　‎ A．， B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，‎ 得，．‎ 要使有两个极值点，‎ 只需有两个变号根，即有两个变号根．‎ 令，，则，‎ 由得，易知当时，，此时单调递增；‎ 当时，，此时单调递减．‎ 所以，‎ 而，，‎ 作出，的图象，可知：‎ ‎，解得．‎ 故选．‎ ‎2．（2020•内江三模）函数在区间，内有极小值，则的取值范围是　　‎ A． B． ‎ C．，， D．，，‎ ‎【答案】D ‎【解析】，‎ 当时，，‎ 所以在，上，，单调递减，‎ 在上，，单调递增，‎ ‎（2）为函数的极小值，符合题意，‎ 当时，令，得，，且，‎ 所以在，上，，单调递减，‎ 在上，，单调递增，‎ ‎（2）为函数的极小值，符合题意，‎ 当时，令，得，，且，‎ 若在，有极小值，‎ 只需或，‎ 解得，或，‎ 综上所述，，或，‎ 故选．‎ ‎3．（2020•德阳模拟）已知函数有两个极值点，，若不等式恒成立，那么的取值范围是　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】函数的定义域为，‎ ‎ ，‎ 因为函数有两个极值点，，‎ 所以方程在上有两个不相等的正实数根，‎ 则，解得．‎ 因为，‎ 设（a），‎ ‎（a），易知（a）在上恒成立，‎ 故（a）在上单调递增，‎ 故（a），‎ 所以，‎ 所以的取值范围是，．‎ 故选．‎ ‎4．（2020•汕头校级三模）已知函数只有一个极值点，则实数的取值范围是　　‎ A．，， B．，， ‎ C．，， D．，，‎ ‎【答案】A ‎【解析】，，‎ 只有一个极值点，只要一个变号零点．‎ ‎（1）当时，，易知是的唯一极值点；‎ ‎（2）当时，方程可化为，‎ 令，，可得两函数均为奇函数，‎ 只需判断时，两函数无交点即可．‎ ‎①当时，，，所以与有唯一交点，且当时，；当时，．‎ 是的唯一极值点；‎ ‎②当时，，即在上单调递增，且，，‎ 设过原点的切线为，切点为，，‎ 则，解得，，‎ 如图所示，当在直线下方（第一象限）或与重合时，是唯一交点，能满足的变号零点，即函数的极值点，‎ ‎．‎ 综上所述，实数的取值范围为，，．‎ 故选．‎ ‎5．（2020•山西模拟）已知函数仅有一个极值点1，则实数的取值范围是　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知函数的定义域为，，‎ 因为函数恰有一个极值点1，所以无解，‎ 令，则，‎ 所以在上单调递增，从而，‎ 所以时，无解，仅有一个极值点1，‎ 所以取值范围是．‎ 故选．‎ ‎6．（2020•南平三模）函数在内有极值，那么下列结论正确的是　　‎ A．当时， ‎ B．当时， ‎ C．当时， ‎ D．当时，‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，则△，‎ 若在内仅有一个极值点，即在内有一个零点，‎ 则，解得；‎ 若在内仅有两个极值点，即在内有两个零点，‎ 则，无解，‎ 当时，函数在内有极值，‎ 现考查不等式，两边同时取对数可得，，即，‎ 令，‎ 则，令（a），解得，‎ 函数（a）在上单调递减，在上单调递增，‎ 又 ‎，（e），‎ 当时，（a）成立，即，选项正确．‎ 故选．‎ ‎7．（2020•龙岩模拟）已知函数在上有极值，则实数的取值范围为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，设，‎ 函数在区间上有极值，‎ 在上有变号零点，‎ 令，由可得，即，‎ 得到，‎ ‎．‎ 故选．‎ ‎8．（2020•武汉模拟）设函数在定义域内只有一个极值点，则实数的取值范围为　　‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】，定义域为，‎ ‎，‎ 设，‎ ‎①当时，，故，‎ 在上为增函数，所以无极值点．‎ ‎②当时，△，‎ 若时△，，故，‎ 故在上递增，所以无极值点．‎ 若时△，设的两个不相等的实数根为，，且，‎ 且，而，则，‎ 所以当，，，单调递增；‎ 当，，，，单调递减；‎ 当，，，，单调递增．‎ 所以此时函数有两个极值点；‎ ‎③当时△，设的两个不相等的实数根为，，且，‎ 但，所以，‎ 所以当，，，单调递増；‎ 当，，，，单调递减．‎ 所以此时函数只有一个极值点．‎ 综上得：当时有一个极值点．‎ 故选．‎ ‎9．（2020•昆明一模）已知函数，是的唯一极小值点，则实数的取值范围为　　‎ A．， B．， C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题可知，，‎ 是的唯一极小值点，恒成立，即，‎ 令，则，‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增，‎ ‎，‎ ‎，即．‎ 故选．‎ ‎10．（2020•江西模拟）已知定义在上的函数，其中，为自然对数的底数．‎ ‎（1）求证：有且只有一个极小值点；‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）证明：由于 ‎，‎ 则 在 上单调递增．‎ 令，则，‎ 故当时，， 单调递减 当 时，， 单调递增，‎ 则，即，‎ 由于，‎ ‎，‎ 故，使得，‎ 且当时，单调递减；‎ 当，时，，单调递增．‎ 因此 在 有且只有一个极小值点，无极大值点．‎ ‎（2）由于不等式 在 上恒成立，‎ 必要性：当 时，不等式成立，即 令，‎ 由于，则（a） 在 ‎ 上单调递增，‎ 又由于（1），则（a） 的解为．‎ 充分性：下面证明当 时，‎ ‎ 在 上恒成立 令，‎ 由于，，，，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 则 令，则 ‎，，‎ ‎ 在 上单调递增，‎ 由于（1），则 当时，， 单调递减，‎ 当 时，， 单调递增，‎ 故（1），即 恒成立，‎ 因此，当 时， 在 上恒成立．‎ 故的取值范围为，．‎ ‎11．（2020•红河州三模）已知函数．‎ ‎（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；‎ ‎（2）若函数存在两个极值点，，求实数的取值范围，并证明：，（1），成等差数列．‎ ‎【解析】（1）由得，‎ 故切线斜率（1），‎ 又（1），故切线方程为：，‎ 即；‎ ‎（2），‎ 由题意知：，是方程在内的两个不同实数解，‎ 令，‎ 注意到，其对称轴为直线，‎ 故只需，解得：，‎ 即实数的取值范围是，‎ 由，是方程的两根，得：，，‎ 故 ‎，‎ 又（1），即（1），‎ 故，（1），成等差数列．‎ ‎12．（2020•启东市校级模拟）已知函数与的图象在它们的交点处具有相同的切线．‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）根据题意，函数与 可知，，‎ 两图象在点处有相同的切线，所以两个函数切线的斜率相等，‎ 即，化简得①，‎ 将代入两个函数可得②，‎ 综合上述两式①②可解得，所以．‎ ‎（2）函数，定义域为，‎ ‎，‎ 因为，为函数的两个极值点，‎ 所以，是方程的两个不等实根，‎ 由根与系数的关系知，，，‎ 又已知，所以，，‎ 将式代入得，‎ 令，，，‎ ‎，令，解得：，‎ 当，时，，在，单调递减；‎ 当，时，，在，单调递增；‎ 所以，‎ ‎，（1），（1），‎ 即的取值范围是，．‎ ‎13．（2020•河南模拟）设函数，．‎ ‎（1）若曲线在处的切线也与曲线相切，求的值．‎ ‎（2）若函数存在两个极值点．‎ ‎①求的取值范围；‎ ‎②当时，证明：．‎ ‎【解析】（1），，，‎ ‎（1），（1），‎ 故曲线在处的切线方程是；‎ 设直线与相切于点，，‎ ‎，，‎ 由，得；‎ ‎（2），‎ ‎①在上存在两个极值点 等价于在上有2个不同的根，‎ 由，可得，令，‎ 则，令，可得，‎ 故在递减，且（1），‎ 当时，，，递增，‎ 当时，，，递减，‎ 故（1）是极大值也是最大值，‎ 又当时，，当时，且趋向于0，‎ 要使在有2个根，只需，‎ 故的取值范围是；‎ ‎②证明：设，‎ ‎，‎ 当时，，，则在递增，‎ ‎（1），‎ 当时，，‎ 令，则，‎ ‎，（2），‎ 取，且使，即，‎ 则，‎ ‎（2），‎ 故存在唯一零点，‎ 故有唯一的极大值点，‎ 由，可得，故，，‎ ‎，故为上的增函数，‎ ‎（2），‎ 综上，当时，总有，即．‎ ‎14．（2020•河南模拟）已知函数，．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点，，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）的定义域是，‎ ‎，令，‎ 当△即时，，此时在递增，‎ 当时，有2个负根，此时在递增，‎ 当时，有2个正根，分别是，，‎ 此时在递增，在，递减，在，递增，‎ 综上，时，在递增，‎ 时，在递增，在，递减，在，递增；‎ ‎（2）由（1）得：，，，，，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 令，则，，‎ 则，‎ 当时，，当时，，‎ 故在递增，在递减，（2），‎ 的取值范围是，．‎ ‎15．（2020•运城模拟）设函数．‎ ‎（1）求曲线在点，（1）处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1），在点，（1）处的切线斜率（1），则切线方程为，‎ ‎（2）．有两个极值点．‎ 即有两个零点，即有两个不等实根，，‎ 令，‎ 在上，在上单调递增．‎ 在上单调递减，（1）．时，．‎ 即．‎ ‎（3）可化为．‎ 设，又．‎ 在上单调递减，在上恒成立，即．‎ 又在上单调递增，在上单调递减．‎ 在处取得最大值．（1）．‎ ‎．‎ ‎16．（2020•鹿城区校级模拟）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求曲线在，（1）处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若存在两个极值点，．‎ ‎①求的取值范围；‎ ‎②当取得最小时，求的值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）当时，，‎ ‎，‎ ‎（1），‎ ‎（1），‎ 曲线在，（1）处的切线方程为，即；‎ ‎（Ⅱ）①，‎ 存在两个极值点，，‎ 有两个解，‎ 设，，‎ ‎，‎ 当时，恒成立，函数在上单调递减，此时至多只有一个解，不合题意；‎ 当时，令，解得，‎ 当时，，函数单调递增，‎ 当时，，函数单调递减，‎ ‎，‎ 当时，，当，，‎ 令（a），，‎ ‎（a），‎ 令（a），解得，‎ 当时，（a），函数（a）单调递减，‎ 当时，（a），函数（a）单调递增，‎ ‎（a）（2），‎ 当时，有两个解，‎ 综上所述．‎ ‎②，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎ 设，且 ‎，‎ ‎，‎ 令，‎ 则恒成立，‎ 在上单调递增，‎ ‎（1），‎ 恒成立，‎ 在上单调递增，‎ 最小值时，取最小值为，，‎ ‎，‎ 再设，‎ 则恒成立，‎ 在单调递增，‎ 又（1）且，，‎ 在内存在唯一的根，‎ ‎，即，‎ 在单调递减，，单调递增，‎ ‎，‎ 取最小值时，即取最小值时，．‎ ‎17．（2020•沙坪坝区校级模拟）已知函数，其中．‎ ‎（1）证明：函数有两个极值点，，并求的取值范围；‎ ‎（2）若曲线在点处的切线与该曲线有且仅有一个公共点，求的所有可能值．‎ ‎【解析】（1）的定义域为，‎ 所以，‎ 设，‎ 因为△且，，‎ 所以在上有两个不等实根，，‎ 且当，，时，，；‎ 当，时，，．‎ 所以在，，上单调递增，在，上单调递减，‎ 故，是的两个极值点，且，．‎ 从而，‎ 又因为，，所以，‎ 故．‎ ‎（2）由（1）知曲线在处切线方程为，‎ 原问题等价于方程只有一个实根，‎ 设，‎ 则．‎ ‎①当时，，在上单增，而（1），‎ 所以只有一个零点，符合题意．‎ ‎②当时，令得或1，‎ 所以，当，时，；当时，．‎ 从而在，上单调递增，在上单调递减，‎ 所以在上有一个零点，‎ 在上，因为，‎ 设，‎ 则，（a）在单调递增，‎ 所以（a），即，从而，‎ 取，则．‎ 则存在，使得，此时有两个零点，不符题意．‎ 综上，可取得的所有值为1．‎ ‎18．（2020•聊城三模）已知函数，，．‎ ‎（1）设，讨论极值点的个数；‎ ‎（2）判断方程的实数根的个数，并证明：．‎ ‎【解析】（1），，‎ ‎，‎ ‎①当时，，在内单调递增，没有极值点．‎ ‎②当时，令，‎ 当，时，，‎ 在，上单调递增．‎ 又，（a），‎ ‎，使，且当时，，当，时，，‎ 从而，当时，，单调递减，当，时，，单调递增，‎ 是函数的极小值点．‎ 综上，当时，无极值点，‎ 当时，有一个极值点．‎ ‎（2）方程可化为．‎ 设，则原方程又可化为．‎ 设，则．‎ ‎，当时，，在上单调递减，‎ 当时，，在上单调递增；‎ ‎，所以当时，，所以方程只有一个实数根，‎ 方程只有一个实数根．‎ 对于任意的，．‎ ‎ ，‎ 即，‎ ‎．‎ ‎19．（2020•运城模拟）函数，，其中常数．‎ ‎（1）若函数与有相同的极值点，求的值；‎ ‎（2）若，判断函数与图象的交点个数．‎ ‎【解析】（1），的定义域都为．，‎ 令，得；令，得；令，得，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以函数在处取得极小值；‎ 又．‎ 所以，解得，‎ 经检验，满足题意，故．‎ ‎（2）函数与的图象的交点个数等价于函数的零点个数，‎ 设，‎ 则．‎ ‎①当时，令，‎ 则．‎ 令，得；令，得，‎ 故函数在上单调递减，在上单调递增．‎ 故．‎ 则．‎ 故在上是增函数，此时由，可得函数有唯一的零点．‎ 即函数与的图象有1个交点；‎ ‎②当时，，‎ 并且对于负数，有 ‎．‎ 又因为，‎ 所以．‎ 所以．‎ 所以在区间，上存在负数，使得，则在上，，是增函数；‎ 在区间上，，是减函数．‎ 则，．‎ 所以在上，有且仅有1个零点；‎ 在区间上，，（1）且是增函数 所以存在正数，使得在上，，是减函数；在上，，是增函数．‎ 于是有，（2）．‎ 所以在上，恰有唯一的零点 所以当时，在上恰有三个不同的零点．‎ 即函数与的图象有3个交点．‎ 综上所述，当时，函数与的图象有1个交点；当时，函数与的图象有3个交点．‎ ‎20．（2020•香坊区校级三模）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若为的极大值点，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）当时，判断与轴交点个数，并给出证明．‎ ‎【解析】（Ⅰ），，‎ 设，，在递增，‎ 故存在使得，‎ 当时，恒成立，故单调递增无极值，‎ 时，易得时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，‎ 当，，函数单调递增，‎ 当时，函数取得极小值，不满足题意；‎ 时，易得时，，函数单调递增，，时，，函数单调递减，‎ 当，，函数单调递增，‎ 为极大值点 综上：，‎ ‎（2）由（1）知：‎ ‎①时，在单调递增，（2），（3），有唯一零点；‎ ‎②时，满足，，在递增，在，递减，在递增，‎ 当时，恒成立，当时，（1），，‎ 所以，有唯一零点；‎ ‎③，在上单调递增，单调递减，，单调递增，‎ ‎（1）在上无零点，在，上有唯一零点；‎ 综上：，有唯一零点．‎ ‎21．（2020•安庆模拟）已知函数为奇函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有极小值，且恒成立，求实数的最小值．‎ ‎【解析】（1）因为，为奇函数，‎ 所以，即，解得，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎，（当且仅当，即时，取等号）‎ 当时，，所以在上单调递增，‎ 当时，令，则方程为有两个不等的正根，，‎ 故可知函数，‎ 在，，上单调递增，在，上单调递减．‎ ‎（2）因为有极小值，‎ 所以是极小值点，‎ 即，‎ 所以，即，‎ 所以 ‎，‎ 构造函数，‎ 则，‎ 当时，，故当时，恒成立，‎ 故函数在上单调递减，其中（1），‎ 则，可转化为（1），故，‎ 由，，‎ 设，‎ 在上递增，故，‎ 综上，实数的取值范围为，．‎ ‎22．（2020•呼和浩特模拟）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若函数的极小值为1，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若函数在时，其图象全部都在第一象限，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】，‎ ‎①若，则在上恒成立，‎ 在单调递增，所以无极值．‎ ‎②若，当时，，当时，，‎ 即在单调递减，在单调递增，‎ 所以的极小值为，由，解得．‎ ‎，函数图象全部在第一象限，等价于时，恒成立，‎ 令，，‎ 令，，‎ 令，‎ 显然在，单调递增，‎ ‎．‎ 当时，，所以，‎ 在单调递增，‎ ‎，即，‎ 在单调递增，‎ 所以，此时符合题意；‎ 当时，，‎ ‎，使．‎ 故在恒为负值，在单调递减，此时，‎ 所以在单调递减，所以，此时不符合题意．‎ 故所求的取值范围为，．‎ ‎23．（2020•东阳市模拟）已知函数．‎ ‎（1）若函数有极大值点，求出极大值的取值范围；‎ ‎（2）若，求证：在区间，内有且仅有一个实数，使得．‎ ‎【解析】（1），‎ ‎，‎ 所以，△，‎ ‎，．‎ 所以，．‎ 令，，‎ 所以在递增，．‎ 所以，．‎ ‎（2）证明：‎ 令，，，‎ ‎，‎ 令，‎ 所以，‎ 因为，，所以在递减．‎ 所以，．‎ 又 令，，‎ ‎，‎ 所以，．同理，．‎ 又因为在，递增，所以，存在唯一的，使，‎ 即在区间，内有且仅有一个实数，‎ 使得．‎ ‎24．（2020•葫芦岛模拟）已知函数，．‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若，为函数两个不同的极值点．证明：．‎ ‎【解析】（1）函数的定义域为，‎ ‎，‎ 当时，，‎ 当时，，函数在上单调递减，‎ 当时，，函数在上单调递增，‎ 是函数的极小值点，无最大值点，‎ 极小值为（1），无极大值．‎ ‎（2）证明：函数的定义域为，‎ ‎，‎ 由题意可得，为函数两个不同的极值点，‎ 则，为方程的两个不相等的正根，‎ ‎△，即，‎ ‎，，‎ ‎（a），‎ 由（1）可知函数在区间上单调递减，‎ ‎（a），‎ ‎．‎