2020高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线学案

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文档介绍

2020高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线学案

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 ‎[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).‎ ‎2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等).‎ 热点一 圆锥曲线的定义与标准方程 ‎1.圆锥曲线的定义 ‎(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=‎2a(‎2a>|F‎1F2|).‎ ‎(2)双曲线:||PF1|-|PF2||=‎2a(‎2a<|F‎1F2|).‎ ‎(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于点M.‎ ‎2.求圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”‎ 所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a2,b2,p的值.‎ 例1 (1)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,左、右顶点为M,N,过F2的直线l交C于A,B两点(异于M,N),△AF1B的周长为4,且直线AM与AN的斜率之积为-,则C的方程为(  )‎ A.+=1 B.+=1‎ 21‎ C.+=1 D.+y2=1‎ 答案 C 解析 由△AF1B的周长为4,可知|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=‎4a=4,‎ 解得a=,则M,N(,0).‎ 设点A(x0,y0)(x0≠±),‎ 由直线AM与AN的斜率之积为-,‎ 可得·=-,‎ 即y=-(x-3),①‎ 又+=1,所以y=b2,②‎ 由①②解得b2=2.‎ 所以C的方程为+=1.‎ ‎(2)已知以圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点,B点是抛物线C2:x2=8y上任意一点,BM与直线y=-2垂直,垂足为M,则|BM|-|AB|的最大值为(  )‎ A.1 B.‎2 C.-1 D.8‎ 答案 A 解析 因为圆C:(x-1)2+y2=4的圆心为C(1,0),‎ 所以可得以C(1,0)为焦点的抛物线方程为y2=4x,‎ 由解得A(1,2).‎ 抛物线C2:x2=8y的焦点为F(0,2),‎ 准线方程为y=-2,‎ 即有|BM|-|AB|=|BF|-|AB|≤|AF|=1,‎ 当且仅当A,B,F(A在B,F之间)三点共线时,可得最大值为1.‎ 思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质,注意当焦点在不同坐标轴上时,椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式.‎ ‎(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法,可结合草图确定.‎ 跟踪演练1 (1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,以|F‎1F2‎ 21‎ ‎|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为,则双曲线的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 答案 D 解析 ∵点(3,4)在以|F‎1F2|为直径的圆上,‎ ‎∴c=5,可得a2+b2=25.①‎ 又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y=x上,‎ ‎∴=.②‎ 由①②联立,解得a=3,b=4,‎ 可得双曲线的方程为-=1.‎ ‎(2)(2018·宁波模拟)已知双曲线C的渐近线方程是y=±2x,右焦点F(3,0),则双曲线C的方程为________,又若点N(0,6),M是双曲线C的左支上一点,则△FMN周长的最小值为________.‎ 答案 x2-=1 6+2‎ 解析 因为点F(3,0)为双曲线的右焦点,则不妨设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),‎ 所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±2x,‎ 即=2,①‎ 又因为a2+b2=32,②‎ 联立①②,解得a=1,b=2,所以双曲线的方程为x2-=1,设双曲线的左焦点为F′,则△FMN的周长为|NF|+|MN|+|MF|=|NF|+|MN|+‎2a+|MF′|≥|NF|+‎2a+|NF′|=2|NF|+‎2a=6+2,当且仅当点M为直线NF′与双曲线的左支的交点时,等号成立,所以△FMN的周长的最小值为6+2.‎ 热点二 圆锥曲线的几何性质 ‎1.椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系 ‎(1)在椭圆中:a2=b2+c2,离心率为e==.‎ 21‎ ‎(2)在双曲线中:c2=a2+b2,离心率为e==.‎ ‎2.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系.‎ 例2 (1)设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,若△AF‎1F2的面积是△BF‎1F2面积的三倍,cos∠AF2B=,则椭圆E的离心率为(  )‎ A. B. C. D. 答案 D 解析 设|F1B|=k,‎ 依题意可得|AF1|=3k,|AB|=4k,‎ ‎∴|AF2|=‎2a-3k,|BF2|=‎2a-k.‎ ‎∵cos∠AF2B=,‎ 在△ABF2中,由余弦定理可得 ‎|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cos∠AF2B,‎ ‎∴(4k)2=(‎2a-3k)2+(‎2a-k)2-(‎2a-3k)(‎2a-k),‎ 化简可得(a+k)(a-3k)=0,‎ 而a+k>0,故a-3k=0,a=3k,‎ ‎∴|AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k,‎ ‎∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2,‎ ‎∴AF1⊥AF2,∴△AF‎1F2是等腰直角三角形.‎ ‎∴c=a,椭圆的离心率e==.‎ ‎(2)已知双曲线M:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,=‎2c.若双曲线M的右支上存在点P,使=,则双曲线M的离心率的取值范围为(  )‎ A. B. C.(1,2) D. 答案 A 21‎ 解析 根据正弦定理可知=,‎ 所以=,即|PF2|=|PF1|,‎ =‎2a,‎ 所以=‎2a,解得=,‎ 而>a+c,即>a+c,‎ 整理得3e2-4e-1<0,解得1,所以10,b>0)的一条渐近线截椭圆+y2=1所得弦长为,则此双曲线的离心率等于(  )‎ A. B. C. D. 答案 B 解析 双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,由椭圆的对称性不妨取渐近线为y=x,设渐近线与椭圆的交点为,‎ 则有解得=2,则c2=a2+b2=‎3a2,则此双曲线的离心率e==,故选B.‎ ‎(2)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的焦距为‎2c,直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直,以双曲线C的右焦点为圆心,半焦距为半径的圆与直线l交于M,N两点,若|MN|=c,则双曲线C的渐近线方程为(  )‎ A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±4x 答案 B 21‎ 解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y=x,‎ 则直线l的斜率kl=-,‎ 直线l的方程为y=-,‎ 整理可得ax+by-a2=0.‎ 焦点(c,0)到直线l的距离 d==,‎ 则弦长为2=2=c,‎ 整理可得c4-‎9a2c2+‎12a3c-‎4a4=0,‎ 即e4-9e2+12e-4=0,‎ 分解因式得=0.‎ 又双曲线的离心率e>1,则e==2,‎ 所以= ==,‎ 所以双曲线C的渐近线方程为y=±x.‎ 方法二 圆心到直线l的距离为=,‎ ‎∴=,∴c2-‎3ac+‎2a2=0,‎ ‎∴c=‎2a,b=a,∴渐近线方程为y=±x.‎ 热点三 直线与圆锥曲线 判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法 ‎(1)代数法:联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元二次方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标.‎ ‎(2)几何法:画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数.‎ 例3 (2018·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:‎ 21‎ +=1(a>b>0)的离心率为,其右顶点A到上顶点的距离为,过点A的直线l:y=k(x-a)(k<0)与椭圆E交于另一点B,点C为y轴上一点.‎ ‎(1)求椭圆E的标准方程;‎ ‎(2)若△ABC是等边三角形,求直线l的方程.‎ 解 (1)由题意可知,椭圆E的离心率e==,‎ =,a2=b2+c2,‎ 所以所以椭圆E的标准方程为+=1.‎ ‎(2)设AB的中点为M(x0,y0),连接CM,则由△ABC为等边三角形可知MC⊥AB,且|MC|=|AB|.‎ 联立 可得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.‎ 设B(x1,y1),则2x1=,‎ 所以x1=,x0==,‎ 将x0代入y=k(x-2),得y0=-,‎ 所以M,‎ ‎|AB|=|x1-2|=·,‎ ‎|MC|=|x0|=·.‎ 由|MC|=|AB|,‎ 得·=··,‎ 解得|k|=,‎ 又因为k<0,所以k=-,‎ 21‎ 所以直线l的方程为y=-(x-2),‎ 即3x+4y-6=0.‎ 思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程,利用根与系数的关系,设而不求思想,弦长公式等简化计算;涉及中点弦问题时,也可用“点差法”求解.‎ 跟踪演练3 (2018·杭州质检)如图,过抛物线M:y=x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B,点C是抛物线M上异于点A的点,设G为△ABC的重心(三条中线的交点),直线CG交y轴于点D.设点A(x0,x)(x0≠0).‎ ‎(1)求直线AB的方程;‎ ‎(2)求的值.‎ 解 (1)因为y′=2x,‎ 所以直线AB的斜率k=y′=2x0.‎ 所以直线AB的方程y-x=2x0(x-x0),‎ 即y=2x0x-x,‎ 即直线AB的方程为2x0x-y-x=0.‎ ‎(2)由题意得,点B的纵坐标yB=-x,‎ 所以AB的中点坐标为.‎ 设C(x1,y1),G(x2,y2),‎ 直线CG的方程为x=my+x0(m≠0).‎ 由 联立得m2y2+(mx0-1)y+x=0.‎ Δ=(mx0-1)2-4×m2×=1-2mx0>0,‎ 即mx0<.‎ 因为G为△ABC的重心,所以y1=3y2.‎ 由根与系数的关系,得 21‎ y1+y2=4y2=,y1y2=3y=.‎ 所以=,‎ 解得mx0=-3±2,满足Δ>0.‎ 所以点D的纵坐标yD=-=,‎ 故==4±6.‎ 真题体验 ‎1.(2017·北京)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=________.‎ 答案 2‎ 解析 由双曲线的标准方程知,‎ a=1,b2=m,c=,‎ 故双曲线的离心率e===,‎ ‎∴1+m=3,解得m=2.‎ ‎2.(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则双曲线C的离心率为________.‎ 答案 2‎ 解析 设双曲线的一条渐近线方程为y=x,‎ 圆的圆心为(2,0),半径为2,‎ 由弦长为2,得圆心到渐近线的距离为=.‎ 由点到直线的距离公式,得=,解得b2=‎3a2.所以双曲线C的离心率e====2.‎ ‎3.(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为________.‎ 答案 2 解析 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1.由直线方程的点斜式,可得直线 21‎ MF的方程为y=(x-1).‎ 联立方程组 解得 或 ‎∵点M在x轴的上方,∴M(3,2).‎ ‎∵MN⊥l,∴N(-1,2).‎ ‎∴|NF|==4,‎ ‎|MF|=|MN|=3-(-1)=4.‎ ‎∴△MNF是边长为4的等边三角形.‎ ‎∴点M到直线NF的距离为2.‎ ‎4.(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________.‎ 答案 y=±x 解析 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由消去x,得 a2y2-2pb2y+a2b2=0,‎ ‎∴y1+y2=.‎ 又∵|AF|+|BF|=4|OF|,‎ ‎∴y1++y2+=4×,‎ 即y1+y2=p,‎ ‎∴=p,即=,‎ ‎∴=,‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±x.‎ 21‎ 押题预测 ‎1.已知F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F2作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为点A,交另一条渐近线于点B,且=,则该双曲线的离心率为(  )‎ A. B. C. D.2‎ 押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂,其中离心率、渐近线是高考命题的热点.‎ 答案 A 解析 由F2(c,0)到渐近线y=x的距离为d==b,即=b,则=3b.‎ 在△AF2O中,=c,‎ tan∠F2OA=,‎ tan∠AOB==,‎ 化简可得a2=2b2,即c2=a2+b2=a2,‎ 即e==,故选A.‎ ‎2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且点在该椭圆上.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,若△AOB的面积为,求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程.‎ 押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点,直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注.‎ 解 (1)由题意可得e==,‎ 又a2=b2+c2,所以b2=a2.‎ 因为椭圆C经过点,‎ 21‎ 所以+=1,解得a2=4,所以b2=3,‎ 故椭圆C的方程为+=1.‎ ‎(2)由(1)知F1(-1,0),设直线l的方程为x=ty-1,‎ 由消去x,得 ‎(4+3t2)y2-6ty-9=0,‎ 显然Δ>0恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则y1+y2=,y1y2=-,‎ 所以|y1-y2|= ‎==,‎ 所以S△AOB=·|F1O|·|y1-y2|==,‎ 化简得18t4-t2-17=0,‎ 即(18t2+17)(t2-1)=0,‎ 解得t=1,t=-(舍去).‎ 又圆O的半径r==,‎ 所以r=,故圆O的方程为x2+y2=.‎ A组 专题通关 ‎1.(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(  )‎ A.-=1 B.-=1‎ C.-=1 D.-=1‎ 答案 B 解析 由y=x,可得=.①‎ 21‎ 由椭圆+=1的焦点为(3,0),(-3,0),‎ 可得a2+b2=9.②‎ 由①②可得a2=4,b2=5.‎ 所以C的方程为-=1.故选B.‎ ‎2.(2018·嘉兴市、丽水市教学测试)若双曲线C:x2-y2=1的右顶点为A,过点A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P,Q两点,且=2,则直线l的斜率为(  )‎ A.± B.± C.±2 D.±3‎ 答案 D 解析 由题意得双曲线的渐近线方程为x±y=0,点A的坐标为(1,0).当直线l的斜率不存在或斜率为±1或0时,显然不符合题意;当直线l的斜率存在且不等于±1和0时,设直线l的方程为y=k(x-1),分别与双曲线的两条渐近线联立,解得或 则由=2,得yP=-2yQ,‎ 即=-2×或-=-2×,‎ 解得k=3或k=-3,故选D.‎ ‎3.(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|等于(  )‎ A. B.‎3 C.2 D.4‎ 答案 B 解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y=± x.‎ 设两渐近线的夹角为2α,则有tan α==,‎ 所以α=30°.所以∠MON=2α=60°.‎ 又△OMN为直角三角形,由于双曲线具有对称性,‎ 21‎ 不妨设MN⊥ON,如图所示.‎ 在Rt△ONF中,|OF|=2,‎ 则|ON|=.‎ 则在Rt△OMN中,‎ ‎|MN|=|ON|·tan 2α ‎=·tan 60°=3.故选B.‎ ‎4.(2018·浙江省衢州二中模拟)设椭圆E:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(2,0),点A(-2,1)为椭圆E内一点,若椭圆E上存在一点P,使得|PA|+|PF|=8,则椭圆E的离心率的取值范围是(  )‎ A. B. C. D. 答案 A 解析 设椭圆的左焦点为F2(-2,0),则|PA|-|AF2|≤|PF2|≤|PA|+|AF2|,即|PA|-1≤|PF2|≤|PA|+1,当且仅当P,A,F2三点共线时,等号成立,则‎2a=|PF|+|PF2|∈[7,9],则椭圆的离心率e=∈,故选A.‎ ‎5.抛物线C:y2=8x的焦点F的坐标为________,若点P(,m)在抛物线C上,则线段PF的长度为________.‎ 答案 (2,0) +2‎ 解析 抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),则抛物线的准线方程为x=-2,因为点P(,m)在抛物线上,所以PF的长度等于点P(,m)到抛物线的准线的距离,即|PF|=+2.‎ ‎6.(2018·北京)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为________;双曲线N的离心率为________.‎ 答案 -1 2‎ 解析 方法一 双曲线N的渐近线方程为y=±x,则=tan 60°=,∴双曲线N的离心率e1满足e=1+=4,∴e1=2.‎ 由得x2=.‎ 21‎ 如图,设D点的横坐标为x,‎ 由正六边形的性质得|ED|=2x=c,∴4x2=c2.‎ ‎∴=a2-b2,得‎3a4-‎6a2b2-b4=0,‎ ‎∴3--2=0,解得=2-3.‎ ‎∴椭圆M的离心率e2满足e=1-=4-2.‎ ‎∴e2=-1.‎ 方法二 双曲线N的渐近线方程为y=±x,‎ 则=tan 60°=.‎ 又c1==‎2m,∴双曲线N的离心率为=2.‎ 如图,连接EC,由题意知,F,C为椭圆M的两焦点,设正六边形的边长为1,则|FC|=‎2c2=2,即c2=1.‎ 又E为椭圆M上一点,则|EF|+|EC|=‎2a,‎ 即1+=‎2a,∴a=.‎ ‎∴椭圆M的离心率为==-1.‎ ‎7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线l与抛物线C交于A,B两点,且直线l与圆x2-px+y2-p2=0交于C,D两点,若|AB|=3|CD|,则直线l的斜率为________.‎ 答案 ± 解析 由题意得F,由x2-px+y2-p2=0,‎ 配方得2+y2=p2,‎ 所以直线l过圆心,可得|CD|=2p,‎ 21‎ 若直线l的斜率不存在,则l:x=,‎ ‎|AB|=2p,|CD|=2p,不符合题意,‎ ‎∴直线l的斜率存在.‎ ‎∴可设直线l的方程为y=k,‎ A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 联立化为x2-x+=0,‎ 所以x1+x2=p+,‎ 所以|AB|=x1+x2+p=2p+,‎ 由|AB|=3|CD|,所以2p+=6p,‎ 可得k2=,所以k=±.‎ ‎8.已知A,B是椭圆C上关于原点对称的两点,若椭圆C上存在点P,使得直线PA,PB斜率的绝对值之和为1,则椭圆C的离心率的取值范围是________.‎ 答案  解析 不妨设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),P(x,y),A(x1,y1),则B,‎ 所以+=1,+=1,‎ 两式相减得=-,所以=-,‎ 所以直线PA,PB斜率的绝对值之和为+≥2=,‎ 由题意得≤1,所以a2≥4b2=‎4a2-‎4c2,即‎3a2≤‎4c2,‎ 所以e2≥,又因为00)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.‎ ‎(1)求l的方程;‎ ‎(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.‎ 解 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).‎ 21‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.‎ Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.‎ 所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=.‎ 由题意知=8,解得k=-1(舍去)或k=1.‎ 因此l的方程为x-y-1=0.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.‎ 设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),‎ 则 解得或 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.‎ ‎10.(2018·天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,点A的坐标为(b,0),且|FB|·|AB|=6.‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设直线l:y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P,且l与直线AB交于点Q.若=sin∠AOQ(O为原点),求k的值.‎ 解 (1)设椭圆的焦距为‎2c,由已知有 =,‎ 又由a2=b2+c2,可得‎2a=3b.‎ 由已知可得|FB|=a,|AB|=b,‎ 由|FB|·|AB|=6,可得ab=6,从而a=3,b=2.‎ 所以椭圆的方程为+=1.‎ ‎(2)设点P的坐标为(x1,y1),点Q的坐标为(x2,y2).‎ 由已知有y1>y2>0,故|PQ|sin∠AOQ=y1-y2.‎ 又因为|AQ|=,而∠OAB=,‎ 所以|AQ|=y2.‎ 21‎ 由=sin∠AOQ,可得5y1=9y2.‎ 由方程组消去x,可得y1= .‎ 由题意求得直线AB的方程为x+y-2=0,‎ 由方程组消去x,可得y2=.‎ 由5y1=9y2,可得5(k+1)=3,两边平方,‎ 整理得56k2-50k+11=0,解得k=或k=.‎ 所以k的值为或.‎ B组 能力提高 ‎11.2000多年前,古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现:平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线.已知圆锥的高为PH,AB为地面直径,顶角为2θ,那么不过顶点P的平面与PH夹角>a>θ时,截口曲线为椭圆;与PH夹角a=θ时,截口曲线为抛物线;与PH夹角θ>a>0时,截口曲线为双曲线.如图,底面内的直线AM⊥AB,过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆,其中与PB的交点为C,可知AC为长轴.那么当C在线段PB上运动时,截口曲线的短轴端点的轨迹为(  )‎ A.圆的一部分 B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 答案 D 解析 如图,因为对于给定的椭圆来说,短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a,但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a,即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离,且点F不在定直线AM上,所以由抛物线的定义可知,短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分,故选D.‎ ‎12.已知直线MN过椭圆+y2=1的左焦点F,与椭圆交于M,N两点,直线PQ过原点O与MN平行,且与椭圆交于P,Q两点,则=________.‎ 21‎ 答案 2 解析 方法一 特殊化,设MN⊥x轴,则===,2=4, ==2.‎ 方法二 由题意知F(-1,0),当直线MN的斜率不存在时,|MN|==,|PQ|=2b=2,则=2;当直线MN的斜率存在时,设直线MN的斜率为k,‎ 则MN方程为y=k(x+1),M(x1,y1),N(x2,y2),‎ 联立方程 整理得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0.‎ 由根与系数的关系,得 x1+x2=-,x1x2=,‎ 则|MN|=·=.‎ 直线PQ的方程为y=kx,P(x3,y3),Q(x4,y4),‎ 则解得x2=,y2=,‎ 则|OP|2=x2+y2=,又|PQ|=2|OP|,‎ 所以|PQ|2=4|OP|2=,∴=2.‎ ‎13.(2018·浙江省杭州二中月考)已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1且斜率为1的直线与x2+y2=1相切,点P是椭圆上的点,G,I分别是△F1PF2的重心与内心,且=λ,则椭圆的方程为________________.‎ 答案 +=1‎ 解析 过椭圆的左焦点F1且斜率为1的直线的方程为x-y+c=0,因为其与圆x2+y2=1相切,所以=1,解得c=.设点P的坐标为(x0,y0),则△F1PF2的重心G的坐标为,即G,又因为=λ,所以GI平行于x轴,则△F1PF2的内心I的纵坐标为,则△F1PF2的内切圆的半径为,则△F1PF2的面积为××(|F‎1F2|+|PF1|+|PF2|)=×|y0|×|F‎1F2|,即××(‎2c+‎2a)=×|y0|×‎2c,化简得a=‎2c=2,则b2=a 21‎ ‎2-c2=6,所以椭圆的方程为+=1.‎ ‎14.(2018·浙江)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=________时,点B横坐标的绝对值最大.‎ 答案 5‎ 解析 方法一 如图,设A(xA,yA),B(xB,yB),由于椭圆具有对称性,不妨设点B在第一象限,则xB>0,yB>0.‎ ‎∵P(0,1),=2,‎ ‎∴(-xA,1-yA)=2(xB,yB-1).‎ ‎∴-xA=2xB,即xA=-2xB.‎ 设直线AB:y=kx+1(k>0).‎ 将y=kx+1代入+y2=m,‎ 得(1+4k2)x2+8kx+4-‎4m=0.(*)‎ ‎∴xA+xB=-xB=-,‎ ‎∴xB==≤=2,‎ 当且仅当=4k,即k=时,xB取到最大值2,‎ 此时方程(*)化为x2+2x+2-‎2m=0,‎ xA·xB=-2x=-8,即2-‎2m=-8,解得m=5.‎ 当点B在其他象限时,同理可解.‎ 方法二 设直线AB:y=kx+1(k≠0),‎ A(xA,yA),B(xB,yB).‎ 由P(0,1),=2,得xA=-2xB.‎ 由得(1+4k2)x2+8kx+4-‎4m=0,‎ 21‎ ‎∴xA+xB=-xB=,xAxB=-2x=.消去xB,得m=1+.‎ ‎|xB|==≤2,‎ 当且仅当|k|=时,|xB|max=2,此时m=5.‎ 21‎
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