2020高考数学二轮复习 专题四 解析几何 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线学案
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线
[考情考向分析] 1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).
2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．
热点一 圆锥曲线的定义与标准方程
1.圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
例1 (1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，左、右顶点为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为4，且直线AM与AN的斜率之积为－，则C的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
21
C.＋＝1 D.＋y2＝1
答案 C
解析 由△AF1B的周长为4，可知|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝4，
解得a＝，则M，N(，0)．
设点A(x0，y0)(x0≠±)，
由直线AM与AN的斜率之积为－，
可得·＝－，
即y＝－(x－3)，①
又＋＝1，所以y＝b2，②
由①②解得b2＝2.
所以C的方程为＋＝1.
(2)已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为( )
A．1 B．2 C．－1 D．8
答案 A
解析 因为圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1,0)，
所以可得以C(1,0)为焦点的抛物线方程为y2＝4x，
由解得A(1,2)．
抛物线C2：x2＝8y的焦点为F(0,2)，
准线方程为y＝－2，
即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1，
当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值为1.
思维升华 (1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．
(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．
跟踪演练1 (1)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2
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|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 D
解析 ∵点(3,4)在以|F1F2|为直径的圆上，
∴c＝5，可得a2＋b2＝25.①
又∵点(3,4)在双曲线的渐近线y＝x上，
∴＝.②
由①②联立，解得a＝3，b＝4，
可得双曲线的方程为－＝1.
(2)(2018·宁波模拟)已知双曲线C的渐近线方程是y＝±2x，右焦点F(3,0)，则双曲线C的方程为________，又若点N(0,6)，M是双曲线C的左支上一点，则△FMN周长的最小值为________．
答案 x2－＝1 6＋2
解析 因为点F(3,0)为双曲线的右焦点，则不妨设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±2x，
即＝2，①
又因为a2＋b2＝32，②
联立①②，解得a＝1，b＝2，所以双曲线的方程为x2－＝1，设双曲线的左焦点为F′，则△FMN的周长为|NF|＋|MN|＋|MF|＝|NF|＋|MN|＋2a＋|MF′|≥|NF|＋2a＋|NF′|＝2|NF|＋2a＝6＋2，当且仅当点M为直线NF′与双曲线的左支的交点时，等号成立，所以△FMN的周长的最小值为6＋2.
热点二 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝.
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(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．
例2 (1)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，若△AF1F2的面积是△BF1F2面积的三倍，cos∠AF2B＝，则椭圆E的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 设|F1B|＝k，
依题意可得|AF1|＝3k，|AB|＝4k，
∴|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.
∵cos∠AF2B＝，
在△ABF2中，由余弦定理可得
|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2||BF2|cos∠AF2B，
∴(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)(2a－k)，
化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，
而a＋k>0，故a－3k＝0，a＝3k，
∴|AF2|＝|AF1|＝3k，|BF2|＝5k，
∴|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，
∴AF1⊥AF2，∴△AF1F2是等腰直角三角形．
∴c＝a，椭圆的离心率e＝＝.
(2)已知双曲线M：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，＝2c.若双曲线M的右支上存在点P，使＝，则双曲线M的离心率的取值范围为( )
A. B.
C．(1,2) D.
答案 A
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解析 根据正弦定理可知＝，
所以＝，即|PF2|＝|PF1|，
＝2a，
所以＝2a，解得＝，
而>a＋c，即>a＋c，
整理得3e2－4e－1<0，解得
1，所以10，b>0)的一条渐近线截椭圆＋y2＝1所得弦长为，则此双曲线的离心率等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由椭圆的对称性不妨取渐近线为y＝x，设渐近线与椭圆的交点为，
则有解得＝2，则c2＝a2＋b2＝3a2，则此双曲线的离心率e＝＝，故选B.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|＝c，则双曲线C的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±4x
答案 B
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解析 方法一 由题意可设渐近线方程为y＝x，
则直线l的斜率kl＝－，
直线l的方程为y＝－，
整理可得ax＋by－a2＝0.
焦点(c,0)到直线l的距离
d＝＝，
则弦长为2＝2＝c，
整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0，
即e4－9e2＋12e－4＝0，
分解因式得＝0.
又双曲线的离心率e>1，则e＝＝2，
所以＝ ＝＝，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
方法二 圆心到直线l的距离为＝，
∴＝，∴c2－3ac＋2a2＝0，
∴c＝2a，b＝a，∴渐近线方程为y＝±x.
热点三 直线与圆锥曲线
判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法
(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
例3 (2018·浙江教育绿色评价联盟适应性考试)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：
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＋＝1(a>b>0)的离心率为，其右顶点A到上顶点的距离为，过点A的直线l：y＝k(x－a)(k<0)与椭圆E交于另一点B，点C为y轴上一点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若△ABC是等边三角形，求直线l的方程．
解 (1)由题意可知，椭圆E的离心率e＝＝，
＝，a2＝b2＋c2，
所以所以椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)设AB的中点为M(x0，y0)，连接CM，则由△ABC为等边三角形可知MC⊥AB，且|MC|＝|AB|.
联立
可得(4k2＋3)x2－16k2x＋16k2－12＝0.
设B(x1，y1)，则2x1＝，
所以x1＝，x0＝＝，
将x0代入y＝k(x－2)，得y0＝－，
所以M，
|AB|＝|x1－2|＝·，
|MC|＝|x0|＝·.
由|MC|＝|AB|，
得·＝··，
解得|k|＝，
又因为k<0，所以k＝－，
21
所以直线l的方程为y＝－(x－2)，
即3x＋4y－6＝0.
思维升华 解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．
跟踪演练3 (2018·杭州质检)如图，过抛物线M：y＝x2上一点A(点A不与原点O重合)作抛物线M的切线AB交y轴于点B，点C是抛物线M上异于点A的点，设G为△ABC的重心(三条中线的交点)，直线CG交y轴于点D.设点A(x0，x)(x0≠0)．
(1)求直线AB的方程；
(2)求的值．
解 (1)因为y′＝2x，
所以直线AB的斜率k＝y′＝2x0.
所以直线AB的方程y－x＝2x0(x－x0)，
即y＝2x0x－x，
即直线AB的方程为2x0x－y－x＝0.
(2)由题意得，点B的纵坐标yB＝－x，
所以AB的中点坐标为.
设C(x1，y1)，G(x2，y2)，
直线CG的方程为x＝my＋x0(m≠0)．
由
联立得m2y2＋(mx0－1)y＋x＝0.
Δ＝(mx0－1)2－4×m2×＝1－2mx0>0，
即mx0<.
因为G为△ABC的重心，所以y1＝3y2.
由根与系数的关系，得
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y1＋y2＝4y2＝，y1y2＝3y＝.
所以＝，
解得mx0＝－3±2，满足Δ>0.
所以点D的纵坐标yD＝－＝，
故＝＝4±6.
真题体验
1．(2017·北京)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.
答案 2
解析 由双曲线的标准方程知，
a＝1，b2＝m，c＝，
故双曲线的离心率e＝＝＝，
∴1＋m＝3，解得m＝2.
2．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为________．
答案 2
解析 设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
圆的圆心为(2,0)，半径为2，
由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为＝.
由点到直线的距离公式，得＝，解得b2＝3a2.所以双曲线C的离心率e＝＝＝＝2.
3．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为________．
答案 2
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式，可得直线
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MF的方程为y＝(x－1)．
联立方程组
解得 或
∵点M在x轴的上方，∴M(3,2)．
∵MN⊥l，∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝3－(－1)＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案 y＝±x
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x，得
a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
∴y1＋y2＝.
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y1＋＋y2＋＝4×，
即y1＋y2＝p，
∴＝p，即＝，
∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
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押题预测
1．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且＝，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D．2
押题依据 圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点．
答案 A
解析 由F2(c,0)到渐近线y＝x的距离为d＝＝b，即＝b，则＝3b.
在△AF2O中，＝c，
tan∠F2OA＝，
tan∠AOB＝＝，
化简可得a2＝2b2，即c2＝a2＋b2＝a2，
即e＝＝，故选A.
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在该椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．
押题依据 椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．
解 (1)由题意可得e＝＝，
又a2＝b2＋c2，所以b2＝a2.
因为椭圆C经过点，
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所以＋＝1，解得a2＝4，所以b2＝3，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，
由消去x，得
(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，
显然Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝
＝＝，
所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2|＝＝，
化简得18t4－t2－17＝0，
即(18t2＋17)(t2－1)＝0，
解得t＝1，t＝－(舍去)．
又圆O的半径r＝＝，
所以r＝，故圆O的方程为x2＋y2＝.
A组 专题通关
1．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 由y＝x，可得＝.①
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由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.故选B.
2．(2018·嘉兴市、丽水市教学测试)若双曲线C：x2－y2＝1的右顶点为A，过点A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，且＝2，则直线l的斜率为( )
A．± B．±
C．±2 D．±3
答案 D
解析 由题意得双曲线的渐近线方程为x±y＝0，点A的坐标为(1,0)．当直线l的斜率不存在或斜率为±1或0时，显然不符合题意；当直线l的斜率存在且不等于±1和0时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，分别与双曲线的两条渐近线联立，解得或
则由＝2，得yP＝－2yQ，
即＝－2×或－＝－2×，
解得k＝3或k＝－3，故选D.
3．(2018·全国Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|等于( )
A. B．3 C．2 D．4
答案 B
解析 由已知得双曲线的两条渐近线方程为y＝± x.
设两渐近线的夹角为2α，则有tan α＝＝，
所以α＝30°.所以∠MON＝2α＝60°.
又△OMN为直角三角形，由于双曲线具有对称性，
21
不妨设MN⊥ON，如图所示．
在Rt△ONF中，|OF|＝2，
则|ON|＝.
则在Rt△OMN中，
|MN|＝|ON|·tan 2α
＝·tan 60°＝3.故选B.
4．(2018·浙江省衢州二中模拟)设椭圆E：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F(2,0)，点A(－2,1)为椭圆E内一点，若椭圆E上存在一点P，使得|PA|＋|PF|＝8，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设椭圆的左焦点为F2(－2,0)，则|PA|－|AF2|≤|PF2|≤|PA|＋|AF2|，即|PA|－1≤|PF2|≤|PA|＋1，当且仅当P，A，F2三点共线时，等号成立，则2a＝|PF|＋|PF2|∈[7,9]，则椭圆的离心率e＝∈，故选A.
5．抛物线C：y2＝8x的焦点F的坐标为________，若点P(，m)在抛物线C上，则线段PF的长度为________．
答案 (2,0) ＋2
解析 抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)，则抛物线的准线方程为x＝－2，因为点P(，m)在抛物线上，所以PF的长度等于点P(，m)到抛物线的准线的距离，即|PF|＝＋2.
6．(2018·北京)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
答案 －1 2
解析 方法一 双曲线N的渐近线方程为y＝±x，则＝tan 60°＝，∴双曲线N的离心率e1满足e＝1＋＝4，∴e1＝2.
由得x2＝.
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如图，设D点的横坐标为x，
由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2.
∴＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，
∴3－－2＝0，解得＝2－3.
∴椭圆M的离心率e2满足e＝1－＝4－2.
∴e2＝－1.
方法二 双曲线N的渐近线方程为y＝±x，
则＝tan 60°＝.
又c1＝＝2m，∴双曲线N的离心率为＝2.
如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形的边长为1，则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1.
又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，
即1＋＝2a，∴a＝.
∴椭圆M的离心率为＝＝－1.
7．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线l与圆x2－px＋y2－p2＝0交于C，D两点，若|AB|＝3|CD|，则直线l的斜率为________．
答案 ±
解析 由题意得F，由x2－px＋y2－p2＝0，
配方得2＋y2＝p2，
所以直线l过圆心，可得|CD|＝2p，
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若直线l的斜率不存在，则l：x＝，
|AB|＝2p，|CD|＝2p，不符合题意，
∴直线l的斜率存在．
∴可设直线l的方程为y＝k，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立化为x2－x＋＝0，
所以x1＋x2＝p＋，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＋，
由|AB|＝3|CD|，所以2p＋＝6p，
可得k2＝，所以k＝±.
8．已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，若椭圆C上存在点P，使得直线PA，PB斜率的绝对值之和为1，则椭圆C的离心率的取值范围是________．
答案
解析 不妨设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，P(x，y)，A(x1，y1)，则B，
所以＋＝1，＋＝1，
两式相减得＝－，所以＝－，
所以直线PA，PB斜率的绝对值之和为＋≥2＝，
由题意得≤1，所以a2≥4b2＝4a2－4c2，即3a2≤4c2，
所以e2≥，又因为00)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解 (1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题意知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此l的方程为x－y－1＝0.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
10．(2018·天津)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b,0)，且|FB|·|AB|＝6.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若＝sin∠AOQ(O为原点)，求k的值．
解 (1)设椭圆的焦距为2c，由已知有 ＝，
又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.
由已知可得|FB|＝a，|AB|＝b，
由|FB|·|AB|＝6，可得ab＝6，从而a＝3，b＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)．
由已知有y1>y2>0，故|PQ|sin∠AOQ＝y1－y2.
又因为|AQ|＝，而∠OAB＝，
所以|AQ|＝y2.
21
由＝sin∠AOQ，可得5y1＝9y2.
由方程组消去x，可得y1＝ .
由题意求得直线AB的方程为x＋y－2＝0，
由方程组消去x，可得y2＝.
由5y1＝9y2，可得5(k＋1)＝3，两边平方，
整理得56k2－50k＋11＝0，解得k＝或k＝.
所以k的值为或.
B组 能力提高
11．2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH，AB为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P的平面与PH夹角>a>θ时，截口曲线为椭圆；与PH夹角a＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH夹角θ>a>0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM⊥AB，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴．那么当C在线段PB上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为( )
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
答案 D
解析 如图，因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a，但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a，即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离，且点F不在定直线AM上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.
12．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则＝________.
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答案 2
解析 方法一 特殊化，设MN⊥x轴，则＝＝＝，2＝4, ＝＝2.
方法二 由题意知F(－1,0)，当直线MN的斜率不存在时，|MN|＝＝，|PQ|＝2b＝2，则＝2；当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，
则MN方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程
整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0.
由根与系数的关系，得
x1＋x2＝－，x1x2＝，
则|MN|＝·＝.
直线PQ的方程为y＝kx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
则解得x2＝，y2＝，
则|OP|2＝x2＋y2＝，又|PQ|＝2|OP|，
所以|PQ|2＝4|OP|2＝，∴＝2.
13．(2018·浙江省杭州二中月考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且斜率为1的直线与x2＋y2＝1相切，点P是椭圆上的点，G，I分别是△F1PF2的重心与内心，且＝λ，则椭圆的方程为________________．
答案 ＋＝1
解析 过椭圆的左焦点F1且斜率为1的直线的方程为x－y＋c＝0，因为其与圆x2＋y2＝1相切，所以＝1，解得c＝.设点P的坐标为(x0，y0)，则△F1PF2的重心G的坐标为，即G，又因为＝λ，所以GI平行于x轴，则△F1PF2的内心I的纵坐标为，则△F1PF2的内切圆的半径为，则△F1PF2的面积为××(|F1F2|＋|PF1|＋|PF2|)＝×|y0|×|F1F2|，即××(2c＋2a)＝×|y0|×2c，化简得a＝2c＝2，则b2＝a
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2－c2＝6，所以椭圆的方程为＋＝1.
14．(2018·浙江)已知点P(0,1)，椭圆＋y2＝m(m>1)上两点A，B满足＝2，则当m＝________时，点B横坐标的绝对值最大．
答案 5
解析 方法一 如图，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，由于椭圆具有对称性，不妨设点B在第一象限，则xB>0，yB>0.
∵P(0,1)，＝2，
∴(－xA,1－yA)＝2(xB，yB－1)．
∴－xA＝2xB，即xA＝－2xB.
设直线AB：y＝kx＋1(k>0)．
将y＝kx＋1代入＋y2＝m，
得(1＋4k2)x2＋8kx＋4－4m＝0.(*)
∴xA＋xB＝－xB＝－，
∴xB＝＝≤＝2，
当且仅当＝4k，即k＝时，xB取到最大值2，
此时方程(*)化为x2＋2x＋2－2m＝0，
xA·xB＝－2x＝－8，即2－2m＝－8，解得m＝5.
当点B在其他象限时，同理可解．
方法二 设直线AB：y＝kx＋1(k≠0)，
A(xA，yA)，B(xB，yB)．
由P(0,1)，＝2，得xA＝－2xB.
由得(1＋4k2)x2＋8kx＋4－4m＝0，
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∴xA＋xB＝－xB＝，xAxB＝－2x＝.消去xB，得m＝1＋.
|xB|＝＝≤2，
当且仅当|k|＝时，|xB|max＝2，此时m＝5.
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