北京四中高中数学高考综合复习 专题十五 向量的概念与运算

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北京四中高中数学高考综合复习 专题十五 向量的概念与运算

高中数学高考综合复习 专题十五   向量的概念与运算 ‎  一、知识网络 ‎ ‎  二、高考考点   1、对于向量的概念,高考的考点主要是两向量平行(即共线)的判定以及两向量共线的基本定理的运用,多以选择题或填空题的形式出现。 ‎ ‎  2、对于向量的运算,向量的数量积及其运算是向量的核心内容,对此,高考的考点主要是:   (1)向量的加法、减法的几何意义与坐标表示的应用;   (2)向量共线的充要条件的应用;   (3)向量垂直的充要条件的应用;   (4)向量的夹角的计算与应用;   (5)向量的模的计算,关于向量的模的等式的变形与转化,关于向量的模的不等式的认知与转化。   3、线段的定比分点线或平移问题。   4、以向量为载体的三角求值或图象变换问题,以向量为载体的函数或解析几何问题(多以解答题的形式出现)。   三、知识要点   (一)向量的概念   1、定义   (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量。   (2)向量的模:向量 的大小(即长度)叫做向量 的模,记作 。   特例:长度为0的向量叫做零向量,记作 ;长度为1的向量叫做单位向量.   (3)平行向量(共线向量):   一般定义:方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,平行向量也叫做共线向量.   特殊规定: 与任一向量平行(即共线).      (4)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。   零向量与零向量相等。   认知:向量的平移具有“保值性”。   2、向量的坐标表示   (1)定义:在直角坐标系内,分别取与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量 、 作为基底,任作一个向量 ,则由平面向量基本定理知,有且只有一对实数x,y使得 ,将有序实数对(x,y)叫做向量 的坐标,记作 ;并将 叫做向量 的坐标表示。   (2)认知:相等的向量,其坐标也相同,反之成立。    (二)向量的运算   1、向量的加法   2、向量的减法   3、实数与向量的积   (1)定义   (2)实数与向量的积的运算律: ‎ ‎   (3)平面向量的基本定理:   如果 是同一面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数 1, 2使 ,这两个不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。   (4)向量共线的充要条件:   (i)向量与非零向量 共线 有且只有一个实数 使   (ii)   设   则:   4、向量的数量积(内积)   (1)定义:   (i)向量的夹角:已知两个非零向量 和 ,作    叫做向量 与 的夹角。   (ii)设两个非零向量 和 的夹角为 ,则把数量 叫做 与 的数量积(内积),记作 ,即   并且规定:零向量与任一向量的数量积为0.   (2)推论   设 、 都是非零向量,则   (i)   (ii)   (iii)   (3)坐标表示   (i)     设非零向量 ,则    ‎ ‎   (ii)设   (4)运算律(自己总结,认知)   四、经典例题   例1.判断下列命题是否正确:   (1)若 的方向相同或相反;   (2)若   (3)若 则A、B、C、D四点组成的图形为梯形;   分析:   (1)不正确     ∵ 不能比较方向。   (2)不正确     当 时,虽然对任意 , 都有 不一定平行。   (3)不正确    ,故这里的已知条件也包含A、B、C、D四点共线的情形。   点评:判断或证明向量的共线或垂直问题,务必要注意有关向量为零向量的情形,判断失误或解题出现疏露,多是零向量惹的祸。   例2.设点O为ΔABC所在平面内一点   (1)若 ,则O为ΔABC的(     )   A、外心       B、内心       C、垂心       D、重心   (2)若 ,则 为ΔABC的(     )   A、外心       B、内心       C、重心       D、重心   (3)若动点P满足 ,则点P的轨迹一定通过ΔABC的(   )   A、外心       B、内心       C、重心       D、重心   (4)若动点P满足 ,则点P轨迹一定通过ΔABC的(   ) ‎ ‎  A、外心       B、内心       C、重心       D、重心   分析:   (1)借助向量加法分析已知条件:   以 、 为邻边作平行四边形OBDC,并设OD∩BC=E,则由平行四边形性质知,E为BC和OD中点。       ①     且 ②   ∴ 由①、②得   ∴A、O、E、D、四点共线   ③   且 ④   于是由③、④知O为ΔABC的重心,应选D   (2)由   同理可得OA⊥BC,OC⊥AB   于是可知,O为ΔABC的垂心,应选C   (3)由已知得   ①   令 ,则 是 上的单位向量,令 ,则 是 上的单位向量。   ∴由①得:    ②   令 ,则点Q在角A的平分线上     ③   又由②知的   与 共线且同向(或 )   ∴动点P在角A的平分线上   ∴点P的轨迹一定通过ΔABC的内心,应选B。   (4)注意到 的几何意义,          ‎ ‎  =0   又由已知的得:         ∴动点P在BC边的高线上   ∴动点P的轨迹一定通过ΔABC的垂心,应选C。   点评:品味各小题,从中参悟解题思路以及三角形的各心的向量特征。   例3:   (1) 成立的充分必要条件为(   )   A、              B、   C、             D、   (2)已知A、B、C三点共线,O为该直线外一点,设 且存在实数m使 , 则点A分 所成的比为(   )   A、-          B、2         C、          D、-2     分析:   (1)注意到不等式 ,当且仅当 、 反向或 、 中至少有一个为 时等号成立,   ∴由 得 、 反向或   由此否定A、B、C,本题应选D   (2)注意到条件的复杂以及已知式变形方向的迷茫,故考虑从“目标 ”分析切入,主动去沟通“已知”,   设   则      (刻意变形,靠拢已知)                 (目标的延伸)       ①   又由已知得:   (已知的变形或延伸)   ② ‎ ‎  ∴根据两向量相等的条件由①、②得:   于是可知,点A分 所成 的比 ,应选 A   点评:   (i)(1)对任意向量 、 都有 ,其中,当且仅当 同向或 中至少有一个为 时左边的等号成立;当且仅当 反向或 中至少有一个为 时右边的等号成立;当且仅当 中至少有一个为 时,左右两等号同时成立。   (ii)对于(2),“已知”与“目标”相互靠扰,只是切入点是从“已知”切入还是从“目标”切入,需要仔细分析。   例4:设 、 分别是平面直角坐标系内x轴、y轴正方向上的两个单位向量,在同一条直线上有A、B、C三点, ,求实数m、n的值。   解:由题设知          与 共线    ①   又 ②    ②代入①得:   7(2n-1)=(n+2)(2n+1)      (n-3)(2n-3)=0      当 时代入②得: m=3   当 时代入②得:m=6                       ∴ m=6,n=3或m=3,   点评:不失时机地利用向量的坐标表示,是解题的基本技巧。 ‎ ‎  例5. 设 试求满足:    (这里O为原点)   分析:注意到 的坐标即点D的坐标,可从设 坐标,由(x,y)切入,去 建立关于x,y的方程组。   解:设 ,则点D坐标为(x,y)   则由已知条件 得:         x-2y+1=0       ①   由 得: x+4=3(y-1)    x-3y+7=0             ②   于是将①、②联立,解得:         点评:本题是对向量坐标的概念,向量的垂直与向量的平行的充要条件的综合应用,借此练习,可进一步认识与把握关于向量的概念与公式。   例6. 设向量 满足   (1)若 ,求 与 的夹角;   (2)若 的值。   解:   (1)设 与 的夹角为 ,则 ①                  ② ‎ ‎  于是由②代入①得 :   注意到 ∈ [O, ],可得结果   (2)解法(着眼于对 等各个击破)   一方面由已知得:        ③   又                   ④    由③、④得       ⑤   注意到   ,当且仅当 , 同向或 , 中至少有一个为 时等号成立    由⑤得 与 同向   另一方面,又由 知, 与 反向    与 的夹角为0°, 与 的夹角为180°, 与 的夹角为180°   ∴原式   =3×1-1×4-3×4=-13   解法二(着眼于寻求目标与已知的整体联系):             ∴由已知条件得      解法三(从寻求目标局部的值切入):   原式      同理,       ‎ ‎   点评:解法二与解法三,均着眼于整体代入,解题过程简明,比解法一有明显优势。但是,解法一中对已知数值的利用,却对今后的条件求值有着不可替代的潜在作用,条件求值中对已知数据的应用主要有以下三个方面:   (1)利用数值本身(代入);   (2)分别利用数值的绝对值和符号;   (3)利用有关数值的关系沟通有关元素间的联系(比如,由3+1=4,32+42=52沟通联系等)。   例7.已知 的夹角为120°,且 ,试求m,n及 与 的夹角。   解法一:(利用内积的定义),设 与 的夹角为 ,   由   再    ①       ②   再由:   由①,②得 ③   将③代入②得:    ④   于是由①,③,④得所求 ,n=-4, 的夹角为30°或150°   点评1:本题已知条件繁多,头绪纷乱,更需要在解题时梳理思绪。注意到所求m、n含在 中,故在求出 、 的值之后,以 的变形为主线展开求索:   变形1.   变形2.   变形3.   于是,整个解题过程既显得有条不紊,又感觉酣畅淋漓。   解法二(利用向量的坐标):   设 , 与 的夹角为 ,   由已知得 ‎ ‎        ①   由 ②   又x12+y12=8     ③     x22+y22=4     ④    由①,③解得   或   由②,④解得 或          将上述 , 坐标分四次代入   便解得n=-4, , =30°或150°   点评2:本解法致力于求 与 的坐标,虽然解题过程仍然曲折,但思路明朗,更多几分胜算。   例8. 设 的夹角为 ,   分析:此题为以向量为载体的三角求值问题,因此,从化简 , 的坐标切入,向三角函数中常见的关系式转化。   解:          ①    ②    ③ ‎ ‎  注意到这里    由②、③得到 ④       ⑤   于是由①、④得     由①、⑤得           解得 ⑥   因此由⑥得   点评:在这里,利用实数与向量的乘法的法则,将 表为    ,从而为简化 及 的表达式以及简化 的表达式奠定良好的基础。   五、高考填题   (一)选择题、   1、(2005·湖南卷)P是ΔABC所在平面上一点,且 ,则P是ΔABC的(   )   A、外心     B、内心     C、重心      D、垂心   分析:   由      同理,AB⊥PC,BC⊥PA    点P为ΔABC的垂心,应选D ‎ ‎  2、(2005•山东卷)已知向量 , ,且 ,则一定共线的三点是(   )   A.A、B、D       B.A、B、C      C.B、C、D     D.A、C、D   分析:   利用两向量共线的充要条件来判定,从寻找所给向量的联系切入   由题意得          A、B、D三点共线,应选A   3、(2005•全国卷B)已知点A( ,1),B(0,0),C( ,0),设∠BAC的平分线AE与BC相交于E,那么有 ,其中 等于(   )   A、 2      B、       C、-3        D、-   分析:   从认知目标切入,由题设易知 与 反向,故 <0   ①   又由三角形内角平分线定理得   即   =3   ②   于是由①、②得   =-3,应选C   4、(2005·北京卷)若 , , ,则向量 与 的夹角为(     )   A、30°   B、60°    C、120°     D、150°   分析:   令向量 与 的夹角为 ,则                  ①     又由    得                ②   于是将已知与②代入①得   ‎ ‎  所得 ,应选C   5、(2005·福建)在ΔABC中, , , ,则k的值是(   )。   A、5      B、-5     C、      D、   分析:   循着一般思路,欲求k的值,先寻找关于k的方程,可以通过解方程获取k的值,为此我们利用题设条件寻找等量关系切入:   由题设知 ,   由此得(2,3)·(2-k,2)=0   2(2-k)+6=0   解得k=5,故应选A。   6、(2005·重庆)设向量 等于(     )。   A、(1,1)       B、(-4,-4)    C、-4     D、(-2,-2)   分析:   循着向量的坐标表示与有关公式得:         ∴ 原式=-4(1,1)=(-4,-4),应选B   7、(2005·重庆卷)已知A(3,1),B(6,1),C(4,3),D为线段BC的中点,则向量 与 的夹角为(   )   A、   分析1:   (特征分析法):画出ΔABC及其中线AD,又将向量 平移到 ,则可见 与 成钝角,而选项中A、B为锐角,D为负角,故只能选C。   分析2:   (直接法):由题设D(5,2)       ‎ ‎   所求两向量夹角应为 ),应选C   8、(2005·浙江) 已知向量 ,满足对任意t∈R, ,则(   )   A、   分析:   从已知不等式的等价变形切入,去认识所含向量 , 的关系   由已知得   整理得        ①   注意到①对任意 都成立。      即    ②   根据②式检验选项,故选C   点评:关于向量的模的不等式,变形转化的基本手段是不等式两边平方,这是本题切入、转化的关键环节。   (二)填空题   1、(2005·广东卷) 已知向量   分析:   注意到两向量平行的充要条件,   由已知条件得   2×6-3x=0,由此解得 x=4   2、(2005·全国卷C) 已知向量 ,且A、B、C三点共线,则k=        。   分析:   由A、B、C三点共线切入,向着向量的共线转化   A、B、C三点共线    向量 、 共线   又 ‎ ‎      由 、 共线的充要条件得   7(-k-4)=5(k-4),解为   3、(2005·天津卷)已知 =2, =4, 与 的夹角为 ,以 , 为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为       。   分析:   根据向量加法与向量减法的几何意义又知, 、 分别表示上述平行四边形中两条对角线的长度。   注意到 与 的夹角为锐角,故此平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为      ①   又 =4+16-2×2×4cos =12   ∴ =2      ②   于是由①、②知所求为 .   4、(2005·湖北卷)已知向量 =(-2,2), =(5,k),若 不超过5,则k的取值范围为       .   分析:   由已知得            若 ≤5,则9+(k+2)2≤25   ∴由此解得-6≤k≤2,故应填[-6,2]   5、(2004·浙江卷)已知平面上三点A、B、C满足 , , ,则 的值等于       。   分析:   从认知ΔABC切入,由32+42=52知 ,   ∴   ∴原式=   = ‎ ‎  =   =-25   6、(2005·全国卷A)ΔABC的外接圆圆心为0,两条边上的高的交点为H, =m( + + ),则实数m=     。   分析:   由题设知,O为ΔABC的外心,即O是ΔABC的三边中垂线的交点,因此,以 与 为邻边作平行四边形OADC,则OADC为菱形,且 + =   ∴ ⊥       ⊥( + )   ∴ + + 的终点必在AC边的高线上       ①   同理, + + 的终点在AB边的高线上       ②   ∴由①、②得 + + 的终点为△ABC的垂心H.   ∴   ∴m=1   点评:从O为ΔABC的外心切入,认知向量 ,此乃求解本题的关键。   三、解答题   1、(2005·山东卷)已知向量 =(cos 、sin )和 =( - sin ,cos ), ,且 = ,求cos( + )的值。   分析:这是以向量为载体的三角求值问题,故首先要利用向量的有关概念与公式进行转化-化生为熟,进入三角函数求值的“似曾相识燕归来”的境界。   解:由已知得          由题设 ① ‎ ‎  又 ②    由①、②得   ③    ④   于是由③、④得     点评:首先运用向量的公式化生为熟,进而运用“方程思想”去求解 的值,这是求解本题所运用的基本策略。也是解决本类问题的基本思路   2、(2005·江西卷)   已知向量 ,是否存在实数 x∈[O, ],使f(x)+f′(x)=0 (其中f′(x)是f(x)的 导函数)若存在,则求出x的值;若不存在,则证明。   分析:对于这样以平面向量为载体的   问题,首先仍是运用向量的知识将其转化为熟悉的三角函数问题。   解:            =sinx+cosx   ∴f (x)=cosx-sinx   若f(x)+f (x)=0,则2cosx=0即cosx=0   由x∈[0,π]   又由题意:   综上:[0,π]内不存在f(x)+f (x)=0的x值。 ‎ ‎  点评:函数式的变形要注意保持等价性,特别是在变形过程中不可改变函数的定义域,由①到②,需要附加 的制约,以保证函数的定义域不发生变更.   3、(2004·福建卷)设   (1)若   (2)若 函数 y=2sin2x的图象按向量 平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值。   解:   (1)由题设得             由①、②得     (2) 函数 y=2sin2x按向量 平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象。    由题设      即   又   ∴   点评:函数y=f(x)的图象按向量 平移后所得图象的函数解析式由y-k=f(x-h)确定,上面求解利用了这一结论。 ‎
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