2015高考数学人教A版本（7-1不等式的性质及解法）一轮复习学案
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 7-1不等式的性质及解法课后强化作业 新人教A版
基础巩固强化
一、选择题
1．已知函数f(x)＝3ax＋1－2a，在(－1,1)上存在x0，使f(x0)＝0，则a的取值范围是( )
A．－1
C．a<－1或a> D．a<－1
[答案] C
[分析] a≠0时，f(x)为一次函数，故由x0∈(－1,1)时，f(x0)＝0知，f(－1)与f(1)异号．
[解析] 由题意得f(－1)·f(1)<0，
即(－3a＋1－2a)·(3a＋1－2a)<0，
即(5a－1)(a＋1)>0，∴a<－1或a>.故选C.
2．(文)(2013·北京东城区统一检测)“x2－2x－3>0成立”是“x>3成立”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] B
[解析] 由x2－2x－3>0得x<－1或x>3，所以x2－2x－3>0是x>3成立的必要不充分条件．
(理)(2012·河北保定模拟)若a>0且a≠1，b>0，则“logab>0”是“(a－1)(b－1)＞0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] C
[解析] ∵a>0且a≠1，b>0，
∴logab>0⇔或⇔(a－1)(b－1)>0.
3．(文)(2013·西安模拟)设α∈(0，)，β∈[0，]，那么2α－的取值范围是( )
A．(0，) B．(－，)
C．(0，π) D．(－，π)
[答案] D
[解析] 由题设得0<2α<π，0≤≤，
∴－≤－≤0，∴－<2α－<π.
(理)(2013·汉中一模)若a、b均为不等于零的实数，给出下列两个条件．条件甲：对于区间[－1,0]上的一切x值，ax＋b>0恒成立；条件乙：2b－a>0，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] ∵当x∈[－1,0]时，恒有ax＋b>0成立，
∴当x＝－1时，b－a>0，当x＝0时，b>0，
∴2b－a>0，∴甲⇒乙；但乙推不出甲，
例如：a＝b，b>0时，则2b－a＝b>0，
但是，当x＝－1时，a·(－1)＋b＝－b＋b＝－b<0，
∴甲是乙的充分不必要条件．
4．(文)(2013·天津)设a、b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a1成立的必要不充分条件是( )
A．a>b－1 B．a>b＋1
C．|a|>|b| D．lna>lnb
[答案] C
[解析] 由>1⇔－1>0⇔>0⇔(a－b)b>0⇔a>b>0或a|b|，但由|a|>|b|不能得到a>b>0或a1，故|a|>|b|是使>1成立的必要不充分条件．故选C.
5．(文)(2013·安徽名校模拟)已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围为( )
A．(－∞，2)∪(3，＋∞)
B．(－∞，1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，1)∪(3，＋∞)
D．(1,3)
[答案] C
[解析] 把不等式的左端看成关于a的一次函数，记f(a)＝(x－2)a＋(x2－4x＋4)，则f(a)>0对于任意的a∈[－1,1]恒成立，易知只需f(－1)＝x2－5x＋6>0且f(1)＝x2－3x＋2>0即可，联立方程并解得x<1或x>3.
(理)已知p：∃x∈R，mx2＋2≤0，q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．m≥1 B．m≤－1
C．m≤－1或m≥1 D．－1≤m≤1
[答案] A
[解析] ∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．
由p：∃x∈R，mx2＋2≤2为假，得∀x∈R，mx2＋2>0，
∴m≥0. ①
由q：∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假，得∃x0∈R，x－2mx0＋1≤0，
∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1. ②
由①和②得m≥1，故选A.
6．(文)已知定义域为R的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，且f＝2，则不等式f(log4x)>2的解集为( )
A．(0，)∪(2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．(0，)∪(，＋∞) D．(0，)
[答案] A
[解析] 作出函数f(x)的示意图如图，则log4x>或log4x<－，解得x>2或0b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③
>－；④a3＋b3>2a2b.
其中一定成立的不等式为( )
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
[答案] A
[解析] 由a>b>0可得a2>b2，①正确；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴2a>2b－1，②正确；∵a>b>0，∴>，∴()2－(－)2＝2－2b＝2(－)>0，∴>－，③正确；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④错误．
二、填空题
7．(文)(2013·烟台模拟)已知关于x的不等式ax2＋2x＋c>0的解集为(－，)，则不等式－cx2＋2x－a>0的解集为________．
[答案] (－2,3)
[解析] 由条件知－，是方程ax2＋2x＋c＝0的两根，由根与系数的关系可得，
∴
∴不等式－cx2＋2x－a>0化为，x2－x－6<0，
解之得－2a1b2＋a2b1
[解析] 作差可得(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，∵a10，即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.
(理)(2013·南京一模)给出下列四个命题：
①若a>b>0，则>；
②若a>b>0，则a－>b－；
③若a>b>0，则>；
④设a，b是互不相等的正数，则|a－b|＋≥2.
其中正确命题的序号是________(把你认为正确命题的序号都填上)．
[答案] ②
[解析] ①作差可得－＝，而a>b>0，则<0，∴①错误．②若a>b>0，则<，进而可得－>－，所以可得a－>b－正确．∵－＝＝＝<0，∴③错误．④当a－b<0时此式不成立，∴④错误．
9．(2013·黄山模拟)定义a*b＝已知a＝30.3，b＝0.33，c＝log30.3，则(a*b)*c＝________.(结果用a，b，c表示)
[答案] c
[解析] ∵log30.3<0<0.33<1<30.3，
∴cx2－x的解集为{x|1x2－x整理得(x－1)(m－x)>0，即(x－1)(x－m)<0，又m(x－1)>x2－x的解集为{x|11的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．(－1,0) D．(0,1)
[答案] C
[解析] ∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，
∴函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点，
又f(x)在(－2，－1)上有一个零点，
则f(－2)f(－1)<0，
∴(6a＋5)(2a＋3)<0，
∴－1即为－x2－x>0，解得－10}＝( )
A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4}
C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2}
[答案] B
[解析] 令t＝x－2，则f(x－2)>0化为f(t)>0，∴t≥0时，2t－4>0，∴t>2，又f(x)为偶函数，∴t<0时，f(t)>0的解为t<－2，∴x－2>2或x－2<－2，∴x>4或x<0，故选B.
[点评] 也可以先由偶函数定义求出f(x)在R上的解析式，再代入f(x－2)>0中化为关于x的不等式组求解．
(理)(2013·山西诊断)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导数f ′(x)在R上恒有f ′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[答案] D
[解析] 记g(x)＝f(x)－x－，则有g′(x)＝f ′(x)－<0，g(x)是R上的减函数，且g(1)＝f(1)－×1－＝0.不等式f(x2)<＋，即f(x2)－－<0，即g(x2)<0，即g(x2)1，解得x<－1或x>1，即不等式f(x2)<＋的解集是(－∞，－1)∪(1，＋∞)，选D.
13．(2013·银川一中二模)已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，若对任意的x，y∈R，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，则当x>3时，x2＋y2的取值范围是( )
A．(3,7) B．(9,25)
C．(13,49) D．(9,49)
[答案] C
[解析] 因为函数y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，所以函数y＝f(x)的图象关于原点对称，所以函数y＝f(x)为R上的奇函数，不等式f(x2－6x＋21)＋f(y2－8y)<0恒成立，即为f(x2－6x＋21)<－f(y2－8y)＝f(8y－y2)恒成立，因为函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，所以x2－6x＋21<8y－y2恒成立，即x2＋y2－6x－8y＋21<0恒成立，即点(x，y)恒在圆(x－3)2＋(y－4)2＝4内，当x>3时，x2＋y2表示半圆(x－3)2＋(y－4)2＝4(x>3)上的点到原点的距离的平方，所以最大为(＋2)2＝49，最小为点(3,2)到原点的距离的平方，即为32＋22＝13，所以x2＋y2的取值范围是(13,49)．
二、填空题
14．(2013·徐州调研)用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板部分的铁钉长度为前一次的(k∈N*)．已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第1次受击后进入木板部分的铁钉长度是铁钉长的，则从中提炼出一个不等式组为________．
[答案] (k∈N*)
[解析] ∵每次钉入木板部分的铁钉长度是前一次的，且第一次钉入木板部分是铁钉长的，
∴第二、三次钉入木板部分的铁钉长度依次为铁钉总长的，，
由题意知，第二次铁钉还没有全部进入木板，
∴＋<1，
第三次铁钉已经全部进入木板，∴＋＋≥1，
∴不等式组为
[点评] 没说“铁钉受击3次后恰好全部进入木板”，第二个不等式就必须是“≥”号．
15．(文)若关于x的不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围为________．
[答案] (－∞，0]
[解析] ∵4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，
∴4x－2x＋1≥a在[1,2]上恒成立．
令y＝4x－2x＋1＝(2x)2－2×2x＋1－1＝(2x－1)2－1.
∵1≤x≤2，∴2≤2x≤4.
由二次函数的性质可知：当2x＝2，即x＝1时，y有最小值0，∴a∈(－∞，0]．
(理)已知a>1，若不等式loga＋1x－logax＋50，n＋≥2，当n＝时取等号，但n∈N*，∴n＝2或3，当n＝2时，n＋＝5，当n＝3时，n＋＝5，∴n＋≥5，由条件知，loga＋1x－logax＋5<5，∴loga＋1x1，∴x>1.
三、解答题
16．(文)(2013·淮南质检)已知抛物线y＝(m－1)x2＋(m－2)x－1(x∈R)．
(1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？
(2)若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．
[解析] (1)根据题意，m≠1且Δ>0，
由Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，
得m2>0，所以m∈R，且m≠1，m≠0.
(2)在m≠0且m≠1的条件下，
因为＋＝＝m－2，
所以＋＝(＋)2－
＝(m－2)2＋2(m－1)≤2.
得m2－2m≤0，所以0≤m≤2.
所以m的取值范围是{m|00的解集；
(2)若a>0，且00，
即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－10，且00.
∴f(x)－m<0，即f(x)f(x)恒成立，f(x)的最大值为M，则a>M；
a0⇔A·B>0；<0⇔A·B<0；≥0⇔；≤0⇔.
如果用去分母的方法，一定要考虑分母的符号．
(2)高次不等式的解法
只要求会解可化为一边为0，另一边可分解为一次或二次的积式的，解法用穿根法，要注意穿根时“奇过偶不过”．
(3)含绝对值不等式的解法：一是令每个绝对值式为0，找出其零点作为分界点，分段讨论；二是平方法．
(4)含根号的不等式解法，一是换元法，二是平方法．
(5)解含参数的不等式时，要对参数分类讨论(常见的有一次项系数含字母、二次项系数含字母、二次不等式的判别式Δ、指对不等式中的底数含参数等)．
(6)超越不等式讨论解的个数可用图解法．
7．(1)无理不等式和含绝对值的不等式多数题目都可以用平方法求解，平方后要注意取值范围是否发生变化．(2)关于不等式解集的选择题，大多能用检验排除法求解．(3)去掉绝对值号时可以用绝对值的定义．(4)含无理式时，必须注意定义域的制约．(5)注意方程的根、函数的零点，不等式解集的端点三者之间的关系．
8．求解含参不等式恒成立问题的常用方法
(1)变换主元，转化为一次函数问题；
(2)转化为二次函数或二次方程，利用根的判别式或数形结合思想求解．
(3)分离参变量，构造函数求最值．
备选习题
1．(2012·哈尔滨三中模拟)已知f(x)是周期为2的奇函数，当0b成立的充分而不必要的条件是( )
A．()2>ab B．ac>bc
C．a2>b2 D．a－b>1
[答案] D
[解析] 对于选项A，由()2>ab可得a2＋2ab＋b2>4ab，即a2－2ab＋b2>0，(a－b)2>0，故()2>ab不能推出a>b成立，排除A；对于选项B，由ac>bc可得(a－b)c>0，当c>0时，a>b成立，当c≤0时，a>b不成立，排除B；对于选项C，由a2>b2可得(a＋b)(a－b)>0，不能推得a>b成立，排除C；对于选项D，由a－b>1可得a>b，但由a>b不能推得a>b＋1，即a－b>1成立，故a－b>1是a>b成立的充分不必要条件，故选D.
4．已知02
[答案] D
[解析] 由0logaa2＝2，故选D.
5．若规定＝|ad－bc|，则不等式log<0的解集为________．
[答案] (0,1)∪(1,2)
[解析] 据题意＝|x－1|，
∴不等式log<0化为log|x－1|<0，
∴0<|x－1|<1，∴1
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