上海市高考数学一轮复习专题突破训练数列文

上海市高考数学一轮复习专题突破训练数列文

上海市2016届高三数学文一轮复习专题突破训练 数列 一、选择、填空题 ‎1、（虹口区2015届高三二模）设数列前项的和为若则 ‎2、（黄浦区2015届高三二模）在等差数列中，若，，‎ 则正整数 　　　　　　 ‎ ‎3、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，且，则数列的公比 ‎ ‎4、（浦东新区2015届高三二模）已知数列的前项和，‎ 则该数列的通项公式 ‎ ‎5、（普陀区2015届高三一模）若无穷等比数列{an}的各项和等于公比q，则首项a1的取值范围是　﹣2＜a1≤且a1≠0　．‎ ‎6、（徐汇、松江、金山区2015届高三二模）设等差数列的前项和为，若，则的值为 ‎ ‎7、（闸北区2015届高三一模）已知等比数列{an}前n项和为Sn，则下列一定成立的是（　　）‎ ‎　 A．若a3＞0，则a2013＜0 B． 若a4＞0，则a2014＜0‎ ‎　 C．若a3＞0，则S2013＞0 D． 若a4＞0，则S2014＞0‎ ‎8、（长宁、嘉定区2015届高三二模）设等差数列满足，，的前项和的最大值为，则=__________‎ ‎9、（崇明县2015届高三一模）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是　　　　　　　　‎ ‎10、等差数列的前10项和为,则_____. ‎ ‎11、数列的通项,前项和为,则____________.‎ ‎12、设正项数列的前项和是,若和{}都是等差数列,且公差相等,则________‎ ‎13、(文)设数列是公差不为零的等差数列,,若自然数满足,且是等比数列,则=_______________.‎ 二、解答题 ‎1、（2015年高考）已知数列与满足，.‎ ‎ （1）若，且，求数列的通项公式；‎ ‎ （2）设的第项是最大项，即，求证：数列的第项是最大项；‎ ‎（3）设，，求的取值范围，使得对任意，，，且.‎ ‎2、（2014年高考）已知数列满足，，．‎ ‎（1）若，求的取值范围；‎ ‎（2）设是等比数列，且，求正整数的最小值，以及取最小值时相应的公比；‎ ‎（3）若成等差数列，求数列的公差的取值范围．‎ ‎3、（2013年高考）已知函数，无穷数列满足an+1=f(an),n∈N*‎ ‎（1）若a1=0，求a2，a3，a4；‎ ‎（2）若a1＞0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值.‎ ‎（3）是否存在a1，使得a1，a2，…，an…成等差数列？若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由.‎ ‎4、（奉贤区2015届高三二模）设个不全相等的正数依次围成一个圆圈．‎ ‎（1）设，且是公差为的等差数列，而是公比为的等比数列；数列的前项和满足，求数列的通项公式；（6分）‎ ‎（2）设，若数列每项是其左右相邻两数平方的等比中项，求；‎ ‎（4分）‎ ‎（3）在（2）的条件下，，求符合条件的的个数．m （6分）‎ ‎5、（虹口区2015届高三二模）设各项均为正数的数列的前n项和为且满足：‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设 ‎（3）是否存在大于2的正整数使得若存在，求出所有符合条件的；若不存在，请说明理由.‎ ‎6、（黄浦区2015届高三二模）　已知数列满足，对任意都有．‎ ‎ (1)求数列()的通项公式；‎ ‎ (2)数列满足()，求数列的前项和；‎ ‎ (3)设，求数列()中最小项的值．‎ ‎7、（静安、青浦、宝山区2015届高三二模）设是公比为的等比数列，若中任意两项之积仍是该数列中的项，那么称是封闭数列.‎ ‎（1）若，判断是否为封闭数列，并说明理由；‎ ‎（2）证明为封闭数列的充要条件是：存在整数，使；‎ ‎（3）记是数列的前项之积，，若首项为正整数，公比，试问：是否存在这样的封闭数列，使，若存在，求的通项公式；若不存在，说明理由．‎ ‎8、（浦东新区2015届高三二模）记无穷数列的前项的最大项为，第项之后的各项的最小项为，令．‎ ‎ （1）若数列的通项公式为，写出，并求数列的通项公式；‎ ‎ （2）若数列递增，且是等差数列，求证：为等差数列；‎ ‎（3）若数列的通项公式为，判断是否等差数列，若是，求出公差；若不是，请说明理由．‎ ‎9、（普陀区2015届高三一模）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn+an=4，n∈N*．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）已知cn=2n+3（n∈N*），记dn=cn+logCan（C＞0且C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎（3）若数列{bn}，对于任意的正整数n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（）n﹣成立，求证：数列{bn}是等差数列．‎ ‎10、（闸北区2015届高三一模）设数列{an}满足：①a1=1；②所有项an∈N*；③1=a1＜a2＜…＜an＜an+1＜…设集合Am={n|an≤m，m∈N*}，将集合Am中的元素的最大值记为bm．换句话说，bm是数列{an}中满足不等式an≤m的所有项的项数的最大值．我们称数列{bn}为数列{an}的伴随数列．例如，数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3．‎ ‎（1）请写出数列1，4，7的伴随数列；‎ ‎（2）设an=3n﹣1，求数列{an}的伴随数列{bn}的前20之和；‎ ‎（3）若数列{an}的前n项和Sn=n2+c（其中c常数），求数列{an}的伴随数列{bm}的前m项和Tm．‎ ‎11、（长宁、嘉定区2015届高三二模）已知函数，其中．定义数列如下：，,．‎ ‎（1）当时，求，，的值；‎ ‎（2）是否存在实数，使，，构成公差不为的等差数列？若存在，请求出实数的值；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）求证：当时，总能找到，使得．‎ ‎12、（崇明县2015届高三一模）　已知等差数列满足，．‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，数列满足关系式，求数列的通项公式；‎ ‎（3）设（2）中的数列的前项和，对任意的正整数，‎ 恒成立，求实数p的取值范围．‎ ‎13、已知复数,其中,,,是虚数单位,且,.‎ ‎(1)求数列,的通项公式;‎ ‎(2)求和:①;②.‎ ‎14、已知数列对任意的满足:,则称为“Z数列”.‎ ‎(1)求证:任何的等差数列不可能是“Z数列”;‎ ‎(2)若正数列,数列是“Z数列”,数列是否可能是等比数列,说明理由,构造一个数列,使得是“Z数列”; ‎ ‎(3)若数列是“Z数列”,设求证 ‎15、已知数列的前项和为,且对于任意,总有.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)在与之间插入个数,使这个数组成等差数列,当公差满足时,求的值并求这个等差数列所有项的和;‎ ‎(3)记,如果(),问是否存在正实数,使得数列是单调递减数列?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ 参考答案 一、选择、填空题 ‎1、　　　2、　　　3、　　4、　　　‎ ‎5、解：∵无穷等比数列{an}的各项和等于公比q，‎ ‎∴|q|＜1，且=q，‎ ‎∴a1=q（1﹣q）=﹣q2+q=﹣（q﹣）2+，‎ 由二次函数可知a1=﹣（q﹣）2+≤，‎ 又等比数列的项和公比均不为0，‎ ‎∴由二次函数区间的值域可得：‎ 首项a1的取值范围为：﹣2＜a1≤且a1≠0‎ 故答案为：﹣2＜a1≤且a1≠0‎ ‎6、1‎ ‎7、解答： 解：对于选项A，可列举公比q=﹣1的等比数列1，﹣1，1，﹣1，…，显然满足a3＞0，但a2013=1＞0，故错误；‎ 对于选项B，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但a2014=0，故错误；‎ 对于选项D，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a2＞0，但S2014=0，故错误；‎ 对于选项C，因为a3=a1•q2＞0，所以 a1＞0．‎ 当公比q＞0时，任意an＞0，故有S2013＞0；当公比q＜0时，q2013＜0，故1﹣q＞0，1﹣q2013＞0，仍然有S2013 =＞0，故C正确，‎ 故选C．‎ ‎8、2‎ ‎9、‎ ‎10、 12; ‎ ‎11、 7; ‎ ‎12、 ‎ ‎13、 ‎ 二、解答题 ‎1、【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.‎ ‎（3）因为，所以，‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 由指数函数的单调性知，的最大值为，最小值为，‎ 由题意，的最大值及最小值分别是及，‎ 由及，解得，‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎2、解答：‎ ‎（1）由条件得且，解得．所以的取值范围是．‎ ‎（2）设的公比为．由，且，得．‎ 因为，所以．从而，，解得．‎ 时，．所以，的最小值为，时，的公比为．‎ ‎（3）设数列的公差为．由，得，．‎ ①当时，，所以，即．‎ ②当时，，符合条件．‎ ‎③ 当时，，所以，，又，所以．‎ 综上，的公差的取值范围为．‎ ‎3、【答案】 （1） ‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎【解析】 （1） ‎ ‎（2）‎ 分情况讨论如何：‎ ‎（3）‎ 讨论如下:‎ ‎4、解：（1）因是公比为的等比数列，‎ 从而 1分 由， 2分 故解得或（舍去） 3分 因此，又 ，解得 4分 ‎ 从而当时， 5分 ‎ 当时，由是公比为的等比数列得 ‎ 6分 因此 6分 ‎（2）由题意 ‎ ‎ ‎ 7分 得, 8分 ‎ ‎ 9分 依此类推 10分 ‎（3）猜想：‎ ‎ ，一共有335 11分 得 ‎ 又，④故有 12分 ‎.⑤ 13分 若不然，设 若取即，则由此得，‎ 而由③得 得 14分 由②得 而此推得（）与题设矛盾 15分 同理若P=2，3，4，5均可得（）与题设矛盾, ‎ 因此为6的倍数. 16分 ‎5、解：（1）由及 两式相减，得 ‎ ‎ ……3分 ‎ 由于各项均为正数，故由上式，可得 ‎ 于是数列是以为首项，2为公差的等差数列，其通项公式为：‎ ‎……6分 ‎ （2）因为 ……8分 故……10分 于是 ……12分 ‎（3）假设存在大于2的正整数使得 由（1），可得 ‎ 从而 ……14分 由于正整数均大于2，知 ……16分 故由得 因此，存在大于2的正整数使得 ‎……18分 ‎6、解(1) 对任意都有成立，，‎ ‎ ∴令，得． ‎ ‎∴数列()是首项和公比都为的等比数列． ‎ ‎∴． ‎ ‎　(2) 由()，得 ‎()． ‎ 故． ‎ 当时，． ‎ 于是， ‎ 当时，； ‎ 当时，‎ ‎ ‎ 又时，， ‎ ‎ 综上，有 ‎ ‎　(3)，， ‎ ‎　　∴，． ‎ ‎　　 ‎ ‎　　∴数列()是单调递增数列，即数列中数值最小的项是，其值为3． ‎ ‎7、解：（1）不是封闭数列，因为，…………………………………… 1分 对任意的，有，…………………………………… 2分 若存在，使得，即，，该式左边为整数，右边是无理数，矛盾．所以该数列不是封闭数列…………………………………… 4分 ‎（2）证明：（必要性）任取等比数列的两项，若存在使，则，解得.故存在，使，…… 6分 下面证明整数．‎ 对，若，则取，对，存在使，‎ 即，，所以，矛盾，‎ 故存在整数，使．…………………………………… 8分 ‎（充分性）若存在整数，使，则，‎ 对任意，因为，‎ 所以是封闭数列. …………………………………… 10分 ‎（3）由于，所以，……………11分 因为是封闭数列且为正整数,所以，存在整数，使，‎ 若，则，此时不存在．所以没有意义…12分 若，则，所以，………………… 13分 若，则，于是，‎ 所以，…………………………………… 16分 若，则，于是，‎ 所以，…………………………………… 17分 综上讨论可知：，，该数列是封闭数列．……… 18分 ‎8、解：因为数列单调递增，，‎ ‎ 所以；；……………………………………2分 ‎ 当时，‎ ‎ 数列的通项公式 ………………………………4分 ‎（2）数列递增，即，令数列公差为 ‎ …………………………………6分 ‎ ‎ 所以为等差数列.………………………………………………………10分 ‎（3）数列的通项公式为，递减且.…………12分 ‎ 由定义知，………………………………………………14分 ‎ ‎ ‎ ，数列递增，即…………16分 ‎ ………………18分 ‎9、解答： （1）解：∵且Sn+an=4，n∈N*．∴当n≥2时，Sn﹣1+an﹣1=4，∴an+an﹣an﹣1=0，即．‎ 当n=1时，‎2a1=4，解得a1=2．‎ ‎∴数列{an}是等比数列，an==22﹣n．‎ ‎（2）解：dn=cn+logCan=2n+3+=2n+3+（2﹣n）logC2=（2﹣logC2）n+3+2logC2，‎ 假设存在这样的常数C，使得数列{dn}是常数列，‎ 则2﹣logC2=0，解得C=．‎ ‎∴存在这样的常数C=，使得数列{dn}是常数列，dn=3+=7．‎ ‎（3）证明：∵对于任意的正整数n，均有b1an+b2an﹣1+b3an﹣2+…+bna1=（）n﹣成立（*），‎ ‎∴b1an+1+b2an+…+bna2+bn+‎1a1=．①‎ ‎（*）两边同乘以可得：b1an+1+b2an+…+bna2=﹣．②．‎ ‎①﹣②可得bn+‎1a1==，‎ ‎∴，∴，（n≥3）．‎ 又2b1=，解得b1=．‎ b‎1a2+b‎2a1=，‎ ‎∴+b2×2=﹣，解得b2=．‎ 当n=1，2时，，也适合．‎ ‎∴，（n∈N*）是等差数列．‎ ‎10、解答： 解：（1）数列1，4，7的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，（后面加3算对），‎ ‎（2）由，得 ‎∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1，‎ 当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2，‎ 当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b28=…=b20=3，‎ ‎∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50，‎ ‎（3）∵a1=S1=1+c=1，∴c=0，‎ 当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1，‎ ‎∴，‎ 由an=2n﹣1≤m得：‎ 因为使得an≤m成立的n的最大值为bm，‎ 所以，‎ 当m=2t﹣1（t∈N*）时：，‎ 当m=2t（t∈N*）时：，‎ 所以．‎ ‎11、（1）因为，故， ………………………………（1分）‎ 因为，所以，…………（2分）‎ ‎， …………（3分）‎ ‎． …………（4分）‎ ‎（2）解法一：假设存在实数，使得，，构成公差不为的等差数列． ‎ 则得到，，．…（2分）‎ 因为，，成等差数列，所以， …………3分 所以，，化简得，‎ 解得（舍）,． …………………………………（5分）‎ 经检验，此时的公差不为0，‎ 所以存在，使得，，构成公差不为的等差数列． …………（6分）‎ 方法二：因为，，成等差数列，所以，‎ 即， …………………………………………（2分）‎ 所以，即．‎ 因为公差，故，所以解得． ………（5分）‎ 经检验，此时，，的公差不为0．‎ 所以存在，使得，，构成公差不为的等差数列． …………（6分）‎ ‎（3）因为, …………（2分）‎ 又 , 所以令 …………………………（3分）‎ 由，，……，，‎ 将上述不等式全部相加得，即， …………………（5分）‎ 因此要使成立，只需，‎ 所以，只要取正整数，就有．‎ 综上，当时，总能找到，使得．‎ ‎12、解：（1）等差数列满足 得 所以，‎ ‎（2）‎ 由上时，‎ 由于当时，，所以 ‎（3）由 得对一切恒成立，‎ 由于为减函数，所以，取值范围是。‎ ‎13、解:(1),,. ‎ 由得, ‎ 数列是以1为首项公比为3的等比数列,数列是以1为首项公差为2的等差数列,, ‎ ‎(2)由(1)知,. ‎ ‎① ‎ ‎②令, (Ⅰ) ‎ 将(Ⅰ)式两边乘以3得 (Ⅱ) ‎ 将(Ⅰ)减(Ⅱ)得. ‎ ‎, ‎ ‎14、解:(1)设等差数列的首项,公差, ‎ ‎ ‎ 所以任何的等差数列不可能是“Z数列” ‎ 或者根据等差数列的性质: ‎ 所以任何的等差数列不可能是“Z数列” ‎ ‎(2)假设是等比数列,则 ‎ 是“Z数列”,所以 ‎ ‎,所以不可能是等比数列, ‎ 等比数列只要首项公比 ‎ 其他的也可以: ‎ ‎ ‎ 等比数列的首项,公比,通项公式 ‎ 恒成立, ‎ 补充说明:分析:, ‎ 根据几何意义只要的一阶导函数单调递减就可以 ‎ ‎(3)因为 ‎ ‎,,,, ‎ ‎ ‎ 同理: ‎ ‎ ‎ 因为数列满足对任意的 ‎ 所以 ‎ ‎ ‎ ‎15、(1)当时,由已知,得. ‎ 当时,由,,两式相减得, ‎ 即,所以是首项为,公比为的等比数列. ‎ 所以,() ‎ ‎(2)由题意,,故,即, ‎ 因为,所以,即,解得, ‎ 所以.所以所得等差数列首项为,公差为,共有项 ‎ 所以这个等差数列所有项的和 ‎ 所以,, ‎ ‎(3)由(1)知,所以 ‎ ‎ ‎ 由题意,,即对任意成立, ‎ 所以对任意成立 ‎ 因为在上是单调递增的,所以的最小值为. ‎ 所以.由得的取值范围是. ‎ 所以,当时,数列是单调递减数列 ‎