高考新课标卷理科数学答案

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‎2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 参考答案 一、选择题：‎ ‎1—12：DBCBA ADCCB AB 二、填空题：‎ ‎（13） （14）10 （15）64 （16）216000‎ 三、解答题：‎ ‎（17）解：（I）由得，‎ 即，又，；‎ ‎（II）， ，，‎ ‎，所以的周长为．‎ ‎（18）解：（I），，平面，‎ 又平面ABEF，所以平面平面；‎ ‎（II）以E为坐标原点，EF，EB分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系（如图），‎ A B C D E F x y z 设，则，‎ 因为二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是，‎ 即，‎ 易得，，，‎ ‎，‎ 设平面与平面的法向量分别 为和，则 令，则，‎ 由，‎ 令，则，‎ ‎，‎ 所以二面角E-BC-A的余弦值为．‎ ‎（19）解：（I）这100台机器更换的易损零件数为8，9，10，11时的频率为分别为，，，，‎ 故1台机器更换的易损零件数为8，9，10，11时发生的概率分别为，，，，‎ 每台机器更换与否相互独立，，‎ 故两台机器更换易损零件个数及对应概率如下表：‎ ‎8（）‎ ‎9（）‎ ‎10（）‎ ‎11（）‎ ‎8（）‎ ‎16（）‎ ‎17（）‎ ‎18（）‎ ‎19（）‎ ‎9（）‎ ‎17（）‎ ‎18（）‎ ‎19（）‎ ‎20（）‎ ‎10（）‎ ‎18（）‎ ‎19（）‎ ‎20（）‎ ‎21（）‎ ‎11（）‎ ‎19（）‎ ‎20（）‎ ‎21（）‎ ‎22（）‎ 所以求的分布列为：‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎（II），所以的最小值为19；‎ ‎（III）若买19件时费用期望为：‎ ‎，‎ 若买20件时费用期望为：‎ ‎，‎ 所以应选用．‎ ‎（20）解：（I）圆心为，圆的半径为，，‎ ‎，又，，‎ ‎，．‎ 所以点E的轨迹是以点和点为焦点，以4为长轴长的椭圆，即，‎ 所以点E的轨迹方程为：．‎ ‎（II）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，，，‎ 此时四边形MPNQ面积为；‎ 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，‎ 与椭圆联立得：，‎ 设，则，，‎ ‎|MN|，‎ 直线方程为，即，‎ 所以圆心到直线的距离为，，‎ ‎，‎ 综上可知四边形MPNQ面积的取值范围为．‎ ‎（21）解：（I）‎ ①当时，，此时函数只有一个零点，不符合题意舍去；‎ ②当时，由，由，‎ 所以在上递减，在上递增，‎ ‎，又，所以函数在上只有一个零点，‎ 当时，，此时，，所以函数在上只有一个零点 此时函数有两个零点．‎ ③当时，，‎ 由，由 所以在和上递增，在上递减，‎ ‎，‎ 此时函数至多一个零点，不符合题意，舍去；‎ ④当时，恒成立，‎ 此时函数至多一个零点，不符合题意，舍去；‎ ⑤当时，，由，由 所以在和上递增，在上递减，‎ ‎，因为在上递减，所以，‎ 此时函数至多一个零点，不符合题意，舍去．‎ 综上可知．‎ ‎（II）由（I）若x1，x2是的两个零点，则，不妨令，则 要证，只要证，，，当时，在上递减，‎ 且，所以，只要证，‎ ‎，又 令 ‎，‎ ‎． ，‎ 在上递减，当时，‎ ‎，即成立，‎ 成立．‎ ‎22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）设是的中点，连结．‎ 因为 所以 在中，，‎ 即到直线的距离等于的半径，‎ 所以直线与相切．‎ ‎（Ⅱ）因为，所以不是四点所在圆的圆心，‎ 设是四点所在圆的圆心，作直线．‎ 由已知的在线段的垂直平分线上，又在线段的垂直平分线上，所以．‎ 同理可证，，所以．‎ ‎23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程．故是以为圆心，为半径的圆．‎ 将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组: .‎ 若，由方程组得，由已知，可得 ‎ ‎，从而，解得（舍去），．‎ 时，极点也为的公共点，在上．‎ 所以．‎ ‎24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 解：（Ⅰ）‎ 的图像如图所示．‎ ‎（Ⅱ）由函数的表达式及图像，‎ 当时，可得，或；‎ 当时，可得，或．‎ 故的解集为；的解集为．‎ 所以的解集为．‎