备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题53 圆锥曲线的取值范围问题

备战2020年高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题53 圆锥曲线的取值范围问题

专题53 圆锥曲线的取值范围问题 ‎【热点聚焦与扩展】‎ 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.‎ 圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．‎ 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明利用代数方法求解最值、范围问题.‎ ‎1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的不等关系如下：‎ ‎（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围 ‎① 椭圆（以为例），则，‎ ‎② 双曲线：（以为例），则（左支）（右支）‎ ‎ ‎ ‎③ 抛物线：（以为例，则 ‎（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程 ‎ ‎（3）点与椭圆（以为例）位置关系：若点在椭圆内，则 ‎ ‎（4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件 29‎ ‎2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围 ‎（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”；③ 反比例函数；④ 分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。‎ ‎（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。‎ ‎3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：‎ ‎（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域 ‎ ‎（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可 ‎【经典例题】‎ 例1. 【2019届河南省南阳市第一中学第十八次考】已知为双曲线上的任意一点，过分别引其渐近线的平行线，分别交轴于点，交轴于点，若恒成立，则双曲线离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B 考查双曲线的一条渐近线方程 令x=0，得，令y=0得 考查双曲线的另一条渐近线方程 令x=0，得，令y=0得 29‎ 据此有 恒成立，则恒成立，‎ ‎，则即 可得 故选B.‎ 例2.【2019届湖南省长沙市长郡中学模拟二】已知椭圆：与过原点的直线交于、两点，右焦点为，，若的面积为，则椭圆的焦距的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎∵AF+AF1=2a，∴AF+BF=2a，‎ ‎∵S△ABF=AF•BF•sin120°=AF•BF=4，‎ ‎∴AF•BF=16，‎ 29‎ ‎∴a2=3c2+c2=4c2，∴2c=a，‎ ‎∴2c≥4．‎ 故选：B．‎ 点睛：：在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.‎ 例3.【2019届山东省日照市校际联考】已知抛物线：的焦点为，过的直线交于，两点，点在第一象限，，为坐标原点，则四边形面积的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系表示四边形面积，借助导函数求最值即可.‎ 详解：设且,易知，‎ 设直线 29‎ 由所以 易知在上为减函数，所以当时，,‎ 故选：B.‎ 例4.【2019届河北省唐山市三模】已知是抛物线上任意一点，是圆上任意一点，则的最小值为（ ）‎ A. B. 3 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ ，‎ ‎，‎ 是圆上任意一点，‎ 的最小值为，故选D.‎ 例5.【2019届安徽省安庆市第一中学热身】已知椭圆与双曲线 有相同的焦点，若点是与在第一象限内的交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 29‎ ‎【解析】分析：设椭圆与双曲线中，由题意可得，然后用表示出，得到的表达式，然后结合二次函数的性质即可求出所求的范围．‎ 详解：如图，设椭圆与双曲线中，则，设． ‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ ‎∴.‎ 设 则 29‎ ‎∴，‎ 即．‎ 故的取值范围为．‎ 故选D．‎ 点睛：椭圆或双曲线中的离心率问题可转化为间的关系的问题，即根据题意得到间的方程或不等式，然后解方程或不等式可得所求．本题中将椭圆和双曲线综合在一起，解题的关键是将转化为的函数求解．‎ 例6.【2019年浙江卷】如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．‎ ‎（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；‎ ‎（Ⅱ）若P是半椭圆x2+=1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】分析: （Ⅰ）设P,A,B的纵坐标为，根据中点坐标公式得PA,PB的中点坐标，代入抛物线方程，可得，即得结论，（Ⅱ）由（Ⅰ）可得△PAB面积为，利用根与系数的关系可表示为的函数，根据半椭圆范围以及二次函数性质确定面积取值范围.‎ 29‎ 所以，．‎ 因此，的面积．‎ 因为，所以．‎ 因此，面积的取值范围是．‎ 例7.【2019年北京卷理】已已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．‎ ‎（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．‎ ‎【答案】(1) 取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）‎ ‎(2)证明过程见解析 ‎ ‎【解析】分析：（1）先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据PA，PB与y轴相交，舍去k=3，（2）先设A（x1，y1），B（x2，y2），与抛物线联立，根据韦达定理可得，．再由，得，．利用直线PA，‎ 29‎ 依题意，解得k<0或0

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