高考理科数学复习专题圆锥曲线中的参数范围问题

高考理科数学复习专题圆锥曲线中的参数范围问题

‎ 圆锥曲线中的参数范围问题 知识点梳理 求参数的取值范围问题，常用的解决方法有两种：①、第一种是不等式（组）求解法Þ根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式（组）再得出参数的变化范围；②、第二种Þ是函数的值域求解法：把所讨论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。‎ 例题讲解：‎ 题型一、点在曲线内部，如点在圆内（外）、椭圆内（外）、抛物线某一侧，则可列出不等式，是大于号还是小于号可类似线性规划中特殊点定号的方法判定。‎ ‎1、（07年全国高考）在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．‎ 题型二、根据圆锥曲线的方程中变量x或y的范围建立相关不等式，如点P（x，y）在椭圆上则-a≤x≤a。‎ ‎1、（07年四川高考）设、分别是椭圆的左、右焦点.‎ ‎（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;‎ ‎（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.‎ 题型三、直线和圆锥曲线相交时，关键方程有根，则解的相关不等式。‎ ‎1、（08年天津高考题）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.‎ 题型四、根据题目中给出的相关不等式进行求解。‎ ‎1、（08年福建高考题）如图、椭圆的一个焦点是F（1，0）O为坐标原点.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.‎ 题型五、用函数的思想，利用已知条件构建两个参数的函数关系式，若求出了m的取值范围，n=f（m）则求其值域，m=f（n）则求函数的定义域。‎ ‎1、在平面直角坐标系xoy中，已知三点A（-1，0），B（1，0），C（-1，），以A、B为焦点的椭圆经过点C。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若对于y轴上的点P（0，n）（），存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使，试求n的取值范围。‎ 小结：‎ 此类问题一般出现在高考主观题的第二或第三小问之中，而且常常是直线和圆锥曲线相交的背景下，求关键方程，运用韦达定理，等知识建立不等式然后解不等式。常在与函数、不等式、方程等知识的交汇点处命题，主要考查学生的思维能力和运算能力。完全能够紧扣高考考纲对高中数学基础知识、基本方法的考查，同时也注重对学生学习数学能力的检测，对于这种选拔性的考试是一类命题常见题型。‎ 课后作业：姓名： 班级 座号 ‎ ‎1、已知椭圆：(a>b>0)的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，在直线x=2上的点P(2, )满足|PF2|=|F‎1F2|，直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同的两点A、B.（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足（O为坐标原点），求实数l 的取值范围.‎ ‎2、如图，已知椭圆:的一个焦点是，两个焦点与短轴的一个 端点构成等边三角形.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程； ‎ ‎（Ⅱ）过点且不与坐标轴垂直的直线 交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为.‎ ‎（ⅰ）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标；‎ ‎（ⅱ）求△面积的取值范围.‎ ‎3、如图，在椭圆中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，B、D分别为椭圆的左、右顶点，A为椭圆在第一象限内的任意一点，直线AF1交椭圆于另一点C，交y轴于点E，且点F1、F2三等分线段BD。（I）求a的值；‎ ‎ （II）若四边形EBCF2为平行四边形，求点C的坐标。‎ ‎ （III）设的取值范围。‎ ‎4、求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.‎ ‎（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的作标；‎ ‎（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.‎ 参考答案：‎ 题型一、点在曲线内部，如点在圆内（外）、椭圆内（外）、抛物线某一侧，则可列出不等式，是大于号还是小于号可类似线性规划中特殊点定号的方法判定。‎ ‎1、（07年全国高考）在直角坐标系中，以为圆心的圆与直线相切．‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）圆与轴相交于两点，圆内的动点使成等比数列，求的取值范围．‎ 分析:本题主要考查求解圆的方程,向量的数量积,等比数列等基础知识,以及逻辑推理运算能力.‎ 解：（1）依题设，圆的半径等于原点到直线的距离，‎ ‎ 即 ．得圆的方程为．‎ ‎（2）不妨设．由即得 ‎ ．‎ 设，由成等比数，得 ‎ 即 ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由于点在圆内，故由此得．所以的取值范围为．‎ 题型二、根据圆锥曲线的方程中变量x或y的范围建立相关不等式，如点P（x，y）在椭圆上则-a≤x≤a。‎ 主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)‎ ‎1、（07年四川高考）设、分别是椭圆的左、右焦点.‎ ‎（Ⅰ）若是该椭圆上的一个动点，求·的最大值和最小值;‎ ‎（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且∠为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.‎ 分析:本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。‎ 解：（Ⅰ）易知 所以，设，则 因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值 当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值 ‎（Ⅱ）显然直线不满足题设条件，可设直线，‎ 联立，消去，整理得：‎ ‎∴‎ 由得：或 又 ‎∴‎ 又 ‎∵，即 ∴‎ 故由①、②得或 题型三、直线和圆锥曲线相交时，关键方程有根，则解的相关不等式。‎ ‎1、（08年天津高考题）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是.‎ ‎（Ⅰ）求双曲线C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.‎ 分析:本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．‎ ‎（Ⅰ）解：设双曲线的方程为（）．由题设得 ‎，解得，所以双曲线方程为．‎ ‎（Ⅱ）解：设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组将①式代入②式，得，整理得．此方程有两个不等实根，于是，且．整理得．　③‎ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足，．从而线段的垂直平分线方程为．‎ 此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．将上式代入③式得，整理得，．解得或．所以的取值范围是．‎ 题型四、根据题目中给出的相关不等式进行求解。‎ ‎1、（08年福建高考题）如图、椭圆的一个焦点是F（1，0）O为坐标原点.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.‎ 分析:本题主要考查直线与椭圆的位置关系,不等式的解法考查分类整合思想运算能力。根据直线与x轴位置关系讨论，用向量或距离公式转化为已知不等式解a的范围.‎ 解：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点，‎ 因为△MNF为正三角形， 所以,‎ 因此，椭圆方程为 ‎(Ⅱ) 设(ⅰ)当直线 AB与x轴重合时，‎ ‎(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为：整理得 所以因为恒有，所以AOB恒为钝角.即 恒成立.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 又，所以对恒成立，‎ 即对恒成立,当时，最小值为0，‎ 所以， ,‎ 因为，即,‎ 解得或(舍去)，即,‎ 综合（i）(ii)，a的取值范围为.‎ 题型五、用函数的思想，利用已知条件构建两个参数的函数关系式，若求出了m的取值范围，n=f（m）则求其值域，m=f（n）则求函数的定义域。‎ ‎1、在平面直角坐标系xoy中，已知三点A（-1，0），B（1，0），C（-1，），以A、B为焦点的椭圆经过点C。‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点D（0，1），是否存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使？若存在，求出直线l斜率的取值范围；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若对于y轴上的点P（0，n）（），存在不平行于x轴的直线l与椭圆交于不同两点M、N，使，试求n的取值范围。‎ 分析: 本题主要考察椭圆的方程、直线和椭圆相交时利用函数的思想构造相关不等式，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。‎ 解：（1）设椭圆方程为，据A（-1，0），B（1，0），C（-1，）知， 解得 所求椭圆方程为 ‎ ‎（2）条件等价于 若存在符合条件的直线，该直线的斜率一定存在，否则与点D（0，1）不在x轴上矛盾。‎ 可设直线l：由 得 由得。 ‎ 设的中点为 则。‎ 又解得：。 ‎ ‎（将点的坐标代入亦可得到此结果）由得，得，，这是不可能的。故满足条件的直线不存在。 ‎ ‎（3）据（II）有，即，解得，，‎ 由得，即，要使k存在，只需 ‎ ‎ 的取值范围是 小结：‎ 此类问题一般出现在高考主观题的第二或第三小问之中，而且常常是直线和圆锥曲线相交的背景下，求关键方程，运用韦达定理，等知识建立不等式然后解不等式。常在与函数、不等式、方程等知识的交汇点处命题，主要考查学生的思维能力和运算能力。完全能够紧扣高考考纲对高中数学基础知识、基本方法的考查，同时也注重对学生学习数学能力的检测，对于这种选拔性的考试是一类命题常见题型。‎ 课后作业：姓名： 班级 座号 ‎ ‎1、已知椭圆：(a>b>0)的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，在直线x=2上的点P(2, )满足|PF2|=|F‎1F2|，直线l：y=kx+m与椭圆C交于不同的两点A、B.（Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）若在椭圆C上存在点Q，满足（O为坐标原点），求实数l 的取值范围.‎ 解：依题意有得　．方程．… 5分 ‎（Ⅱ）由得．‎ 设点、的坐标分别为、，则 …………7分,‎ ‎．‎ ‎（1）当时，点、关于原点对称，则．‎ ‎（2）当时，点、不关于原点对称，则，‎ 由，得 即 点在椭圆上，有，‎ 化简，得．，有…①…10分 由，得②‎ 由①、②两式得．，，则且．‎ 综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是． …………………14分 ‎2、如图，已知椭圆:的一个焦点是，两个焦点与短轴的一个 端点构成等边三角形.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程； ‎ ‎（Ⅱ）过点且不与坐标轴垂直的直线 交椭圆于、两点，设点关于轴的对称点为.‎ ‎（ⅰ）求证：直线过轴上一定点，并求出此定点坐标；‎ ‎（ⅱ）求△面积的取值范围.‎ 解：（Ⅰ）因为椭圆的一个焦点是，所以半焦距.‎ 椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.所以，解得 所以椭圆的标准方程为. ………… 4分 ‎ ‎（Ⅱ）（i）设直线：与联立并消去得：‎ ‎.记，，‎ ‎，. ……………… 5分 由A关于轴的对称点为，得，根据题设条件设定点为，‎ 得，即.‎ 所以 即定点 8分 ‎（ii）由（i）中判别式，解得. 可知直线过定点 所以 …………………………… 10分 得，令,记，得，当时，.‎ 在上为增函数，‎ 所以 ，得，‎ 故△OA1B的面积取值范围是. ………………………………… 13分 ‎3、如图，在椭圆中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，B、D分别为椭圆的左、右顶点，A为椭圆在第一象限内的任意一点，直线AF1交椭圆于另一点C，交y轴于点E，且点F1、F2三等分线段BD。（I）求a的值；‎ ‎ （II）若四边形EBCF2为平行四边形，求点C的坐标。‎ ‎ （III）设的取值范围。‎ 解：（I）∵F1，F2三等份BD，‎ ‎ …………1分 ‎ ……3分 ‎（II）由（I）知为BF2的中点，‎ ‎（III）依题意直线AC的斜率存在，‎ ‎ ‎ ‎ 同理可求 ‎ ‎ ‎4、求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.‎ ‎（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，，求点P的作标；‎ ‎（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线的斜率的取值范围.‎ 解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．‎ ‎（Ⅰ）易知，，．∴，．设．则 ‎，又，‎ 联立，解得，．‎ ‎（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．‎ 联立 ‎∴，由 ‎，，得．①‎ 又为锐角，‎ ‎∴又 ‎∴‎ ‎∴．②‎ 综①②可知，∴的取值范围是．‎