上海高考数学试卷及答案理科

上海高考数学试卷及答案理科

‎2006年上海高考数学试卷（理科）‎ 一．填空题（本大题共48分）‎ 1． 已知集合A = { –1 , 3 , 2m – 1 }，集合B = { 3 , m2 }。若B Í A，则实数m =__________。‎ 2． 已知圆x2 – 4x – 4 +y2 = 0的圆心是点P，则点P到直线x – y – 1 = 0的距离是______。‎ 3． 若函数f(x) = ax（a > 0且a ¹ 1）的反函数的图像过点( 2 , –1 )，则a =_____。‎ 4． 计算：=__________。‎ 5． 若复数z同时满足（i为虚数单位）。则=__________。‎ 6． 如果，且a是第四象限的角，那么=_____________。‎ 7． 已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(, 0 )，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________。‎ 8． 在极坐标系中，是极点，设点。则△OAB的面积是___。‎ 9． 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本。将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是______。（结果用分数表示）‎ 10． 如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”。在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是__________。‎ 11． 若曲线y2 = |x| + 1与直线y = kx + b没有公共点，则k , b分别应满足的条件是__________。‎ 12． 三个同学对问题“关于x的不等式x2 + 25 + |x3 – 5x2| ³ ax在[ 1 , 12 ]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路。‎ ‎ 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”。‎ ‎ 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”‎ ‎ 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”‎ ‎ 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是__________。‎ 二．选择题（本大题共16分）‎ 13． 如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（ ）‎ A D C B ‎(A) (B)‎ ‎(C) (D)‎ 14． 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的（ ）‎ ‎(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 ‎(C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 1． 若关于x的不等式( 1 + k2 )x £ k4 + 4的解集是M，则对任意实常数k，总有（ ）‎ (A) ‎2 Î M , 0 Î M (B) 2 Ï M , 0 Ï M ‎ ‎(C) 2 Î M , 0 Ï M (D) 2 Ï M , 0 Î M 2． 如图，平面中两条直线l1和l2相交于点O。对于平面上任意一点M，若p , q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对( p , q )是点M的“距离坐标”。已知常数p ≥ 0 , q ≥ 0，给出下列三个命题：‎ ‎ ①若p = q = 0，则“距离坐标”为( 0 , 0 )的点有且仅有1个。‎ ‎ ②若pq = 0，且p + q ¹ 0，则“距离坐标”为( p , q )的点有且仅有2个。‎ ‎ ③若pq ¹ 0，则“距离坐标”为( p , q )的点有且仅有4个。‎ 上述命题中，正确命题的个数是（ ）‎ ‎(A) 0 (B) 1 (C)2 (D) 3‎ 三．解答题（本大题86分）‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 求函数的值域和最小正周期。‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ ‎ 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距‎20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1°）?‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ ‎ 在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形。∠DAB = 60°，对角线AC与BD相交于点O，PO ^平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°。‎ (1) 求四棱锥P-ABCD的体积；‎ (2) 若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）。‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2 = 2x相交于A , B两点。‎ (1) 求证：“如果直线l过点T( 3 , 0 )，那么”是真命题；‎ (2) 写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由。‎ ‎21．（本小题满分16分）‎ 已知有穷数列{an}共有2k项（整数k ³ 2），首项a1 = 2。设该数列的前n项和为Sn，且an+1 = ( a – 1 )Sn + 2 ( n = 1 , 2 ,…, 2k – 1 )，其中常数a > 1。‎ (1) 求证：数列{an}是等比数列；‎ (2) 若，数列{bn}满足( n = 1 , 2 ,…, 2k )，求数列{bn}的通项公式；‎ (3) 若(2)中的数列{bn}满足不等式++…++£ 4，求k的值。‎ ‎22．（本小题满分18分）‎ 已知函数有如下性质：如果常数a > 0，那么该函数在上是减函数，在上是增函数。‎ (1) 如果函数( x > 0 )的值域为，求b的值；‎ (2) 研究函数（常数c > 0）在定义域内的单调性，并说明理由；‎ (3) 对函数和（常数a > 0）作出推广 ，使它们都是你所推广的函数的特例。研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数（n是正整数）在区间上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）。‎ 参考答案 一．填空题：‎ ‎1、； 2、； 3、； 4、； 5、； 6、； 7、；‎ ‎8、5 ； 9、 ； 10、36 ； 11、； 12、；‎ 二．选择题：‎ ‎13、C ； 14、A ； 15、A ； 16、D 三．解答题 ‎17． [解] ‎ ‎ ‎ ‎ ∴ 函数的值域是,最小正周期是；‎ ‎18． [解] 连接BC,由余弦定理得 BC2=202+102－2×20×10COS120°=700.‎ ‎ 于是,BC=10.‎ ‎ ∵, ∴sin∠ACB=,‎ ‎ ∵∠ACB<90° ∴∠ACB=41°‎ ‎∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.‎ ‎19． [解]（1）在四棱锥P-ABCD中,由PO⊥平面ABCD,得 ‎∠PBO是PB与平面ABCD所成的角, ∠PBO=60°.‎ 在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO,‎ 于是,PO=BOtg60°=,而底面菱形的面积为2.‎ ‎∴四棱锥P-ABCD的体积V=×2×=2.‎ ‎（2）解法一：以O为坐标原点,射线OB、OC、‎ OP分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立 空间直角坐标系.‎ 在Rt△AOB中OA=,于是,点A、B、‎ D、P的坐标分别是A(0,－,0),‎ B (1,0,0), D (－1,0,0), P (0,0, ).‎ E是PB的中点,则E(,0,) 于是=(,0, ),=(0, ,).‎ 设的夹角为θ,有cosθ=,θ=arccos,‎ ‎∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos；‎ ‎ 解法二：取AB的中点F,连接EF、DF.‎ 由E是PB的中点,得EF∥PA，‎ ‎∴∠FED是异面直线DE与PA所成 角(或它的补角)，‎ 在Rt△AOB中AO=ABcos30°==OP，‎ 于是, 在等腰Rt△POA中，‎ PA=，则EF=.‎ 在正△ABD和正△PBD中,DE=DF=，‎ ‎ cos∠FED==‎ ‎∴异面直线DE与PA所成角的大小是arccos.‎ ‎20． [解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).‎ ‎ 当直线的钭率不存在时,直线的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－). ∴=3；‎ ‎ 当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，‎ ‎ 由得 ‎ ‎ 又 ∵ ，‎ ‎ ∴，‎ ‎ 综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=‎3”‎是真命题；‎ ‎(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.‎ ‎ 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,‎ 直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；‎ 说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=－6，‎ 或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线 AB过点(－1,0),而不过点(3,0).‎ ‎21． (1) [证明] 当n=1时,a2=‎2a,则=a；‎ ‎ 2≤n≤2k－1时, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2,‎ ‎ an+1－an=(a－1) an, ∴=a, ∴数列{an}是等比数列.‎ ‎ (2) 解：由(1) 得an=‎2a, ∴a‎1a2…an=‎2‎a=‎2‎a=2,‎ ‎ bn=(n=1,2,…,2k).‎ ‎ （3）设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时, bn<；‎ ‎ 当n≥k+1时, bn>.‎ ‎ 原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－)‎ ‎ =(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)‎ ‎ ==.‎ ‎ 当≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2≤k≤4+2,又k≥2,‎ ‎∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.‎ ‎22． [解]（1）函数y=x+(x>0)的最小值是2，则2=6, ∴b=log29.‎ ‎ (2) 设0y1, 函数y=在[,+∞)上是增函数；‎ ‎ 当00),其中n是正整数.‎ ‎ 当n是奇数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数,‎ ‎ 在(－∞,－]上是增函数, 在[－,0)上是减函数；‎ ‎ 当n是偶数时,函数y=在(0,]上是减函数,在[,+∞) 上是增函数,‎ ‎ 在(－∞,－]上是减函数, 在[－,0)上是增函数；‎ ‎ F(x)=+‎ ‎ =‎ ‎ 因此F(x) 在 [,1]上是减函数,在[1,2]上是增函数.‎ ‎ 所以，当x=或x=2时，F(x)取得最大值()n+()n；‎ ‎ 当x=1时F(x)取得最小值2n+1；‎