浙江高考历年真题之函数与导数大题理科

浙江高考历年真题之函数与导数大题理科

浙江高考历年真题之函数与导数大题 ‎（教师版）‎ ‎1、（2005年）已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＝2x．‎ ‎ (Ⅰ)求函数g(x)的解析式；　　(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．‎ 解析：(Ⅰ)设函数的图象上任意一点关于原点的对称点为，则 ‎，∵点在函数的图象上 ‎∴‎ ‎(Ⅱ)由 当时，，此时不等式无解 当时，，解得 因此，原不等式的解集为 ‎2、（2006年）设,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：‎ ‎(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；‎ ‎(Ⅱ)方程在（0，1）内有两个实根.‎ 解析：（I）证明：因为f (0) >0，f (1) >0，所以c > 0，‎3a + 2b + c > 0‎ 由条件a + b + c = 0，消去b，得a > c >0‎ 由条件a + b + c = 0，消去c，得a + b < 0，2a + b > 0，故 ‎（II）抛物线的顶点坐标为 在的两端乖以，得 又因为f (0) >0，f (1) >0，而，‎ 所以方程在区间内分别有一实根。‎ 故方程在（0，1）内有两个实根。‎ ‎3、（2007年）设，对任意实数，记．‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；‎ ‎（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．‎ 解析：（I）解：．‎ 由，得．‎ 因为当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 故所求函数的单调递增区间是，，单调递减区间是．‎ ‎（II）证明：（i）方法一：‎ 令，则，‎ 当时，由，得，‎ 当时，，‎ 所以在内的最小值是．故当时，对任意正实数成立．‎ 方法二：‎ 对任意固定的，令，则，‎ 由，得．‎ 当时，．‎ 当时，，‎ 所以当时，取得最大值．‎ 因此当时，对任意正实数成立．‎ ‎（ii）方法一：．‎ 由（i）得，对任意正实数成立．‎ 即存在正实数，使得对任意正实数成立．‎ 下面证明的唯一性：‎ 当，，时，，，‎ 由（i）得，，‎ 再取，得，‎ 所以，即时，不满足对任意都成立．‎ 故有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．‎ 方法二：对任意，，‎ 因为关于的最大值是，所以要使对任意正实数成立的充分必要条件是：‎ ‎，即， ‎ 又因为，不等式①成立的充分必要条件是，‎ 所以有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．‎ ‎4、（2008年）已知是实数，函数。‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设为在区间上的最小值。‎ ‎（i）写出的表达式；‎ ‎（ii）求的取值范围，使得。‎ 解析：（Ⅰ）解：函数的定义域为，（）．‎ 若，则，有单调递增区间．‎ 若，令，得，当时，，‎ 当时，．有单调递减区间，单调递增区间．‎ ‎（Ⅱ）解：（i）若，在上单调递增，所以．‎ 若，在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以．若，在上单调递减，‎ 所以．综上所述， ‎ ‎（ii）令．若，无解．若，解得．‎ 若，解得．故的取值范围为．‎ ‎5、（2009年）已知函数，，‎ 其中．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ （I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；‎ ‎ （II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一 的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存 在，请说明理由．‎ 解析：（Ⅰ）解：，‎ ‎．‎ 因为在上不单调，所以在上有实数解，且无重根．‎ 由，得，‎ 即．‎ 令，有，记，则在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以，，‎ 于是，得．‎ 而当时，在上有两个相等的实根，故舍去．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）解：由题意，得 当时，；‎ 当时，．‎ 因为当时不合题意，所以．‎ 下面讨论的情形．‎ 记则 ‎（ⅰ）当时，在上单调递增，‎ 所以要使成立，只能，且，因此．‎ ‎（ⅱ）当时，在上单调递减，‎ 所以要使成立，只能，且，因此．‎ 综合（ⅰ）（ⅱ），得．‎ 当时，有．‎ 则，，即，使得成立．‎ 因为在上单调递增，所以是惟一的．‎ 同理，，存在惟一非零实数，使得成立．所以满足题意．‎ ‎6、（2010年）已知a是给定的实常数，‎ 设函数是的一个极大值点.‎ ‎ （I）求b的取值范围;‎ ‎ （II）设是的3个极值点，问是否存在实数b，可找到，使得的某种排列（其中）依次成等 差数列？若存在，示所有的b及相应的若不存在，说明理由.‎ 解析：（Ⅰ）解：‎ ‎ 令 ‎ 则 ‎ 于是可设是的两实根，且 ‎ （1）当时，则不是的极值点，此时不合题意 ‎ （2）当时，由于是的极大值点，‎ ‎ 故即 ‎ 即，所以 ‎ 所以的取值范围是（-∞，）‎ ‎ （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，假设存了及满足题意，则 ‎ （1）当时，则 ‎ 于是 即 ‎ 此时 ‎ 或 ‎ （2）当时，则 ‎ ①若 ‎ 于是 ‎ 即 ‎ 于是 ‎ 此时 ‎ ②若 ‎ 于是 ‎ 即，于是 ‎ 此时 ‎ 综上所述，存在满足题意 ‎ 当 ‎ 当 ‎ 当 ‎7、（2011年）设函数＝，∈R ‎（Ⅰ）若＝为的极值点，求实数；‎ ‎（Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意的∈（0,3]，恒有≤4成立.‎ 注：为自然对数的底数。‎ 解析：‎ ‎8、（2012年）已知，函数。‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，‎ ‎（i）函数的最大值为；‎ ‎（ii）；‎ ‎（Ⅱ）若对x∈恒成立，求的取值范围。‎ 解析：‎ 浙江高考历年真题之函数与导数大题 ‎1、（2005年）已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＝2x．‎ ‎ (Ⅰ)求函数g(x)的解析式；　　(Ⅱ)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|．‎ ‎2、（2006年）设,f(0)＞0，f(1)＞0，求证：‎ ‎(Ⅰ)a＞0且-2＜＜-1；‎ ‎(Ⅱ)方程在（0，1）内有两个实根.‎ ‎3、（2007年）设，对任意实数，记．‎ ‎（I）求函数的单调区间；‎ ‎（II）求证：（ⅰ）当时，对任意正实数成立；‎ ‎（ⅱ）有且仅有一个正实数，使得对任意正实数成立．‎ ‎4、（2008年）已知是实数，函数。‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）设为在区间上的最小值。‎ ‎（i）写出的表达式； （ii）求的取值范围，使得。‎ ‎5、（2009年）已知函数，，‎ 其中．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ （I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；‎ ‎ （II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一 的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存 在，请说明理由．‎ ‎6、（2010年）已知a是给定的实常数，‎ 设函数是的一个极大值点.‎ ‎ （I）求b的取值范围;‎ ‎ （II）设是的3个极值点，问是否存在实数b，可找到，使得的某种排列（其中）依次成等 差数列？若存在，示所有的b及相应的若不存在，说明理由.‎ ‎7、（2011年）设函数＝，∈R ‎（Ⅰ）若＝为的极值点，求实数；‎ ‎（Ⅱ）求实数的取值范围，使得对任意的∈（0,3]，恒有≤4成立.注：为自然对数的底数。‎ ‎8、（2012年）已知，函数。‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，‎ ‎（i）函数的最大值为； （ii）；‎ ‎（Ⅱ）若对x∈恒成立，求的取值范围。‎