高考数学考点讲解考点导数的应用单调性最值极值新课标解析版

高考数学考点讲解考点导数的应用单调性最值极值新课标解析版

考点10 导数的应用（单调性、最值、极值）‎ ‎【高考再现】‎ 热点一 利用导数研究函数的单调性 ‎1.（2012年高考（辽宁文））函数y=x2㏑x的单调递减区间为（　　）‎ A．(1,1]B．(0,1]C．[1,+∞)D．(0,+∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 故选B ‎2.（2012年高考（浙江理））设a＞0，b＞0．‎ A．若，则a＞b B．若，则a＜b C．若，则a＞b D．若，则a＜b ‎3.（2012年高考（浙江文））已知a∈R,函数 ‎(1)求f(x)的单调区间。‎ ‎(2)证明:当0≤x≤1时, 。‎ ‎【解析】(1)由题意得,‎ 当时,恒成立,此时的单调递增区间为.‎ 当时,,此时函数的单调递增区间为.‎ ‎(2)由于,当时,.‎ 当时,.‎ 设,则.‎ 则有 ‎0‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎1‎ 减 极小值 增 ‎1‎ 所以.‎ 当时,.‎ 故.‎ ‎4.（2012年高考（新课标理））已知函数满足满足;‎ ‎(1)求的解析式及单调区间;‎ ‎(2)若,求的最大值.‎ 得:当时, 令;则 当时, 当时,的最大值为 ‎5.（2012年高考（陕西理））设函数,则（　　）‎ A．为的极大值点B．为的极小值点 C．为的极大值点D．为的极小值点 ‎【答案】D ‎【解析】,令得,时,,为减函数;时,,为增函数,所以为的极小值点,选D.‎ ‎6.（2012年高考（重庆理））设函数在R上可导,其导函数为,且函数 的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是（　　）‎ A．函数有极大值和极小值 B．函数有极大值和极小值 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 ‎7.（2012年高考（重庆文））已知函数在处取得极值为 ‎(1)求a、b的值;(2)若有极大值28,求在上的最大值.‎ ‎【解析】::(Ⅰ)因 故 由于 在点 处取得极值 故有即 ,化简得解得 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知, 令 ,得当时,故在上为增函数;‎ 当 时, 故在 上为减函数 当 时 ,故在 上为增函数.‎ 由此可知 在 处取得极大值, 在 处取得极小值由题设条件知 得此时,因此 上的最小值为 ‎8.（2012年高考（广东文））‎ 设,集合,,.‎ ‎(Ⅰ)求集合(用区间表示);‎ ‎(Ⅱ)求函数在内的极值点.‎ 综上所述,当时,;当时,;当时,;当时,.其中,.‎ ‎(Ⅱ),令可得.因为,所以有两根和,且.‎ ‎①当时,,此时在内有两根和,列表可得 ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 递增 极小值 递减 极大值 递增 所以在内有极大值点1,极小值点.‎ ‎②当时,,此时在内只有一根,列表可得 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎+‎ 递增 极小值 递减 递增 所以在内只有极小值点,没有极大值点.‎ ‎③当时,,此时(可用分析法证明),于是在内只有一根,列表可得 ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎+‎ 递增 极小值 递减 递增 所以在内只有极小值点,没有极大值点.‎ ‎9.（2012年高考（江西文））已知函数在上单调递减且满足.‎ ‎(1)求的取值范围;‎ ‎(2)设,求在上的最大值和最小值.‎ ‎【解析】(1)由,,则 ,,依题意须对于任意 ‎,有,当时,因为二次函数的图像开口向上,而,所以须,即,当时,对任意,有,符合条件;当时,对任意,,符合要求,当时,因,不符合条件,故的取值范围为.‎ ‎(2)因 当时,,在上取得最小值,在上取得最大值;‎ 当时,对于任意,有,在上取得最大值,在上取得最小值;‎ 当时,由,‎ ‎10.（2012年高考（江苏））若函数在处取得极大值或极小值,则称为函数的极值点.‎ 已知是实数,1和是函数的两个极值点.‎ ‎(1)求和的值;‎ ‎(2)设函数的导函数,求的极值点;‎ ‎(3)设,其中,求函数的零点个数.‎ ‎【解析】(1)由,得. ‎ ‎∵1和是函数的两个极值点,‎ ‎∴ ,,解得. ‎ ‎(3)令,则. ‎ 先讨论关于 的方程 根的情况: 当时,由(2 )可知,的两个不同的根为I 和一2 ,注意到是奇函数,∴的两个不同的根为一和2. ‎ 当时,∵, ,‎ ‎∴一2 , -1,1 ,2 都不是的根. ‎ 由(1)知. ‎ ‎① 当时, ,于是是单调增函数,从而. ‎ 此时在无实根. ‎ ‎② 当时.,于是是单调增函数. ‎ 又∵,,的图象不间断,‎ ‎∴ 在(1 , 2 )内有唯一实根. ‎ 同理,在(一2 ,一I )内有唯一实根. ‎ ‎③ 当时,,于是是单调减两数. ‎ 又∵, ,的图象不间断,‎ ‎∴在(一1,1 )内有唯一实根. ‎ 因此,当时,有两个不同的根满足;当 时 有三个不同的根,满足. ‎ 现考虑函数的零点:‎ ‎( i )当时,有两个根,满足. ‎ 而有三个不同的根,有两个不同的根,故有5 个零点. ‎ ‎( 11 )当时,有三个不同的根,满足. ‎ 而有三个不同的根,故有9 个零点. ‎ 综上所述,当时,函数有5 个零点;当时,函数有9 个零点. ‎ ‎11.（2012年高考（湖南理））已知函数=,其中a≠0.‎ ‎(1) 若对一切x∈R,≥1恒成立,求a的取值集合.‎ ‎(2)在函数的图像上取定两点,,记直线AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2),使成立?若存在,求的取值范围;若不存在,请说明理由.‎ ‎ (Ⅱ)由题意知, 令则 ‎【方法总结】1.求函数极值的步骤 ‎(1)确定函数的定义域．‎ ‎(2)求方程f′(x)＝0的根．‎ ‎(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．‎ ‎(4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.‎ ‎2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展．从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数y＝f(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大(小)值.‎ 热点三 利用导数研究综合问题 ‎12.（2012年高考（天津文））已知函数 ‎(I)求函数的单调区间;‎ ‎ (II)若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;‎ ‎(III)当时,设函数在区间上的最大值为,最小值为,记,求函数在区间上的最小值.‎ ‎13.（2012年高考（陕西文））设函数 ‎(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;‎ ‎(2)设n为偶数,,,求b+‎3c的最小值和最大值;‎ ‎(3)设,若对任意,有,求的取值范围;‎ ‎【解析】（Ⅰ）当 ‎．‎ ‎ 又当，‎ ‎．‎ ‎ 解法三：由题意，知 ‎ 解得，．‎ ‎ ∴．‎ ‎ 又∵，，∴．‎ ‎ 当时，；当，．‎ ‎ ∴的最小值是-6，最大值是0．‎ ‎（2）当时，．‎ ‎ 对任意上的最大值 ‎ 与最小值之差,据此分类讨论如下：‎ ‎14.（2012年高考（天津理））已知函数的最小值为,其中.‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若对任意的,有成立,求实数的最小值;‎ ‎(Ⅲ)证明.‎ ‎【解析】(1)的定义域为 得：时，‎ ‎（2）设 则在上恒成立（*）‎ ‎15.（2012年高考（陕西理））设函数 ‎(1)设,,证明:在区间内存在唯一的零点;‎ ‎(2)设,若对任意,有,求的取值范围;‎ ‎(3)在(1)的条件下,设是在内的零点,判断数列的增减性.‎ ‎【解析】(1),时, ‎∵,∴在内存在零点.‎ 又当时, ‎∴ 在上是单调递增的,所以在内存在唯一零点.‎ 注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下:‎ 用表示中的较大者.当,即时,‎ 恒成立 ‎(3)证法一 设是在内的唯一零点 ,, 于是有 又由(1)知在上是递增的,故,‎ 所以,数列是递增数列.‎ 证法二 设是在内的唯一零点 则的零点在内,故,‎ 所以,数列是递增数列.‎ ‎【考点剖析】‎ 一．明确要求 ‎1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)．‎ ‎2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).‎ ‎3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)．‎ ‎4.会利用导数解决某些实际问题.‎ 二．命题方向 ‎1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点．‎ ‎2.选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调性和极值．解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题.‎ ‎3.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的考点且每年必考！‎ ‎4.选择题、填空题主要考查函数的最值，而解答题则考查函数综合问题，一般难度较大.‎ 三．规律总结 两个注意 ‎(1)注意函数定义域的确定．‎ ‎(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．‎ 两个条件 ‎(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．‎ ‎(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．‎ 三个防范 ‎【基础练习】‎ ‎1.(教材习题改编)函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上是()‎ A．增函数 B．减函数 ‎ C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增 答案：A 解析：f′(x)＝1－cos x>0，∴f(x)在(0,2π)上递增．‎ ‎2．(教材习题改编)函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是 ()‎ A．－9B．－16‎ C．－12 D．－11‎ 答案： B 解析：由f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝－2或x＝2.又f(－3)＝－9，f(－2)＝－16，f(2)＝16，f(3)＝9，∴函数f(x)在[－3,3]上的最小值为－16.‎ ‎3．(经典习题)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．‎ 答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)‎ 解析：f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝‎4m2‎－12×(m＋6)>0.∴m>6或m<－3.‎ ‎4. (经典习题)若a>3，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有________个实根．‎ 答案：1‎ 解析：设f(x)＝x3－ax2＋1，则f′(x)＝3x2－2ax＝x(3x－‎2a)，‎ 由于a>3，则在(0,2)上f′(x)<0，f(x)为减函数，‎ 而f(0)＝1>0，f(2)＝9－‎4a<0，‎ 则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有1个实根．‎ ‎5. (教材习题改编)函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的单调减区间为________．‎ ‎【答案】 (－1,11)‎ ‎【解析】f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x－11)(x＋1)，当－10 时，设的图象C1与的图象C2相交于两个不同的点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线交C1于点，求证.‎ 法二：等价于在R上有解，即 三．提升自我 ‎22. (2012年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试理)‎ 已知点P在曲线y=ex(e自然对数的底数)上，点Q在曲线y=lnx上，则丨PQ丨的最小值是 A.B. 2eC.D. e ‎【答案】A ‎【解析】：∵曲线y=ex（e自然对数的底数）与曲线y=lnx互为反函数，其图象关于y=x对称，故可先求点P到直线y=x的最近距离d，设曲线y=ex上斜率为1的切线为y=x+b，‎ ‎∵y′=ex，由ex=1，得x=0，故切点坐标为（0，1），即b=1，∴d=∴丨PQ丨的最小值为2d= ，故选 A ‎23．(湖北省八校2012届高三第一次联考理)定义在R上的函数，则 ‎ （ ）‎ ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎24．（海南省2012洋浦中学高三第三次月考）已知函数f (x)=f (p-x),且当时，f (x)=x+sinx,设a=f (1),b=f (2),c=f (3),则（ ）‎ A.a0. ‎ 所以. ……………………………………13分 所以的最小值为.‎ 所以使得恒成立的的最大值为.‎ ‎……………………………………14分 ‎27.(2012东城区普通高中示范校高三综合练习（二）理)‎ ‎（本小题满分13分）‎ 已知函数： , ‎（1） 当时，求的最小值；‎ ‎（2）当时，若存在,使得对任意的恒成立，‎ 求的取值范围.‎ ‎(2) 若存在,使得对任意的恒成立，‎ 即 当时，由（1）可知，, 为增函数，‎ ，‎ ,当时为减函数， ……………………13分 ‎28.(2012年大连沈阳联合考试第二次模拟试题理) (本小题满分12分)‎ 已知函数．‎ ‎(Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数；‎ ‎(Ⅱ)若函数在处取得极值，对,恒成立，‎ 求实数的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)当，证明：（沈阳）‎ ‎(Ⅲ)当且时，试比较的大小．（大连）‎ ‎（Ⅲ）证明：， 8分 令，则只要证明在上单调递增，‎ 又∵，‎ 显然函数在上单调递增． 10分 ‎∴，即，‎ ‎∴在上单调递增，即，‎ ‎∴当时，有． 12分 ‎29.(2012年河南豫东、豫北十所名校阶段性测试(三）理) (本小题满分12分）‎ 已知函数，其中常数a>0.‎ ‎(I )当a>2时，求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(II)当a=4时，给出两类直线：与，其中m,n为常数.判断这两类直线中是否存在的切线？若存在，求出相应的m或n的值；若不存在，说明理由；‎ ‎ (III)设定义在D上的函数在点处的切线方程为，当时，若在D内恒成立，则称P为函数的“类对称点”.当a=4时，试问是否存在“类对称点”？若存在，请至少求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，说明理由.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，函数在其图象上一点 处的切线方程为,‎ 设，‎ 则………………………………………………（8分）‎ ‎，‎ 若，在上单调递减，所以当时，，此时；‎ 若，在上单调递减，所以当时，，此时.‎ ‎30.(中原六校联谊2012年高三第一次联考理)（本小题满分12分）‎ 己知函数 ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设函数，是否存在实数a、b、c∈[0，1]，使得若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【解析】‎ ‎（1），当时，，在区间上为减函数.‎ 当时，，在区间上为增函数. ‎ 的单调增区间为，的单调减区间为……3分 ‎（2）假设存在，使得，‎ 则. ……5分 ， ……6分 ‎31.(仙桃市2012年五月高考仿真模拟试题理)（本题满分14分）‎ 已知函数；‎ ‎（I）求证：对；‎ ‎（II）证明：；‎ ‎（III）求证：对 解（I）只需证明的最大值为O，即可 当 是唯一的极大值点，故 ‎ 从而 （4分）‎ ‎（II）由（I）当时，，即 令 得 ‎……‎ 上面个不等式相加，得 （9分）‎ ‎（III）由（I）得时 即 ‎=‎ ‎ （14分）‎ ‎【原创预测】‎ ‎1.已知有两个极值点，且，则的取值范围是 （ ）‎ A、 B、 C、 D、‎ 再取同理可得控制不等式组也有解，故可排除C。‎ 因此选“B”‎ ‎2（本小题满分12分）‎ ‎ 已知函数。‎ ‎ （1）讨论函数的单调性；‎ ‎ （2）证明： 解：‎ ‎（Ⅰ）f¢(x)＝． …2分 设g(x)＝－2lnx＋x－，‎ 则g(1)＝0，且g¢(x)＝≥0，g(x)在(0，＋∞)单调递增．‎ 当x∈(0，1)时，g(x)＜0，从而f¢(x)＜0，f(x)单调递减；‎ 当x∈(1，＋∞)时，g(x)＞0，从而f¢(x)＞0，f(x)单调递增．‎