专题 导数与函数的极值最值—三年高考数学文真题汇编

专题 导数与函数的极值最值—三年高考数学文真题汇编

‎1.【2016高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( )‎ ‎(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2‎ ‎【答案】D 考点：函数导数与极值.‎ ‎【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程的解，但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在附近，如果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点，‎ ‎2.【2015高考福建，文12】“对任意，”是“”的（）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】当时，，构造函数，则．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数，则，故在递增，故，则．综上所述，“对任意，”是“”的必要不充分条件，选B．‎ ‎【考点定位】导数的应用．‎ ‎【名师点睛】本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用，根据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． ‎ ‎3. (2014课标全国Ⅰ，文12)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是(　　)．‎ A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)‎ C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)‎ 答案：C 解析：当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1存在两个零点，不合题意；‎ 当a＞0时，f′(x)＝3ax2－6x＝，‎ 令f′(x)＝0，得x1＝0，，‎ 所以f(x)在x＝0处取得极大值f(0)＝1，在处取得极小值，‎ 要使f(x)有唯一的零点，需，但这时零点x0一定小于0，不合题意；‎ 当a＜0时，f′(x)＝3ax2－6x＝，‎ 令f′(x)＝0，得x1＝0，，这时f(x)在x＝0处取得极大值f(0)＝1，在处取得极小值，‎ 要使f(x)有唯一零点，应满足，解得a＜－2(a＞2舍去)，且这时零点x0一定大于0，满足题意，故a的取值范围是(－∞，－2)．‎ 名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想，‎ 较难题. 注意区别函数的零点与极值点.‎ ‎4.【2014辽宁文12】当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎，故函数递增，则，故；当时，，记，令，得或（舍去），当时，；当时，，故，则．综上所述，实数a的取值范围是．‎ ‎【考点定位】利用导数求函数的极值和最值．‎ ‎【名师点睛】本题考查应用导数研究函数的单调性、极值，不等式恒成立问题.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，通过构造函数研究其单调性、最值，得出结论.‎ 本题属于能力题，中等难度.在考查应用导数研究函数的单调性、极值、不等式恒成立问题等基本方法的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想.‎ ‎5.【2017江苏，20】已知函数有极值,且导函数的极值点是的零点.（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）‎ ‎（1）求关于的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（2）证明：;‎ ‎（3）若,这两个函数的所有极值之和不小于，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析（3）‎ 所以，又，故.‎ 因为有极值，故有实根，从而，即.‎ 时，，故在R上是增函数，没有极值；‎ 时，有两个相异的实根，.‎ 列表如下 x ‎+‎ ‎0‎ ‎–‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 故的极值点是.‎ 从而，‎ 因此，定义域为.‎ ‎（2）由（1）知，.‎ 设，则.‎ 当时，，从而在上单调递增.‎ 因为，所以，故，即.‎ 因此.‎ ‎（3）由（1）知，的极值点是，且，.‎ 从而 记，所有极值之和为，‎ 因为的极值为，所以，.‎ 因为，于是在上单调递减.‎ 因为，于是，故.‎ 因此a的取值范围为.‎ ‎【考点】利用导数研究函数单调性、极值及零点 ‎【名师点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ ‎6.【2014高考北京文第20题】（本小题满分13分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求在区间上的最大值；‎ ‎（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；‎ ‎（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）‎ ‎【答案】(1);(2);(3)详见解析.‎ 因为，，，，‎ 所以在区间上的最大值为.‎ ‎（2）设过点P（1，t）的直线与曲线相切于点，则 ‎，且切线斜率为，所以切线方程为，‎ 因此，整理得：，‎ 设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”，=，‎ 与的情况如下：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎+‎ t+3‎ 所以，是的极大值，是的极小值，‎ 当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以 至多有2个零点，‎ 当，时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以 至多有2个零点.‎ 当且，即时，因为，，‎ 所以分别为区间和上恰有1个零点，由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.‎ 综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是.‎ ‎（3）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线相切；‎ 过点B（2，10）存在2条直线与曲线相切；‎ 过点C（0，2）存在1条直线与曲线相切.‎ 考点：本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、基本题型与基本技能是解决这类问题的关键. ‎ ‎7.【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数，．‎ ‎（I）求的单调区间和极值；‎ ‎（II）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．‎ ‎【答案】（I）单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（II）证明详见解析.‎ 取得极小值，同时也是最小值；（II）利用第一问的表，知为函数的最小值，如果函数有零点，只需最小值，从而解出，下面再分情况分析函数有几个零点.‎ 试题解析：（Ⅰ）由，（）得 ‎.‎ 由解得.‎ 与在区间上的情况如下：‎ 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；‎ 在处取得极小值.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在区间上的最小值为.‎ 因为存在零点，所以，从而.‎ 当时，在区间上单调递减，且，‎ 所以是在区间上的唯一零点.‎ 当时，在区间上单调递减，且，，‎ 所以在区间上仅有一个零点.‎ 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点.‎ 考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和函数的零点，属于难题．利用导数求函数的单调性与极值的步骤：①确定函 数的定义域；②对求导；③求方程的所有实数根；④列表格．证明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．‎ ‎8.【2014高考陕西版文第21题】设函数.‎ （1） 当（为自然对数的底数）时，求的最小值；‎ （2） 讨论函数零点的个数；‎ ‎（3）若对任意恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）2；（2）当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点；（3）.‎ 设，由求出函数的单调性以及极值，并且求出函数在的零点，画出的大致图像，并从图像中，可以得知，当在不同范围的时候，函数和函数的交点个数 ‎（3）对任意恒成立，等价于恒成立，则在上单调递减，即在恒成立，‎ 求出的取值范围.‎ 试题解析：（1）当时，‎ 易得函数的定义域为 当时，，此时在上是减函数；‎ 当时，，此时在上是增函数；‎ 当时，取得极小值 ‎(2)函数 令，得 设 当时，，此时在上式增函数；‎ 当时，，此时在上式增函数；‎ 当时，取极大值 令，即，解得，或 函数的图像如图所示：‎ 由图知：‎ ① 当时，函数和函数无交点；‎ ‎②当时，函数和函数有且仅有一个交点；‎ ‎③当时，函数和函数有两个交点；‎ ‎④时，函数和函数有且仅有一个交点；‎ 综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.‎ （2） 对任意恒成立 等价于恒成立 设 在上单调递减 在恒成立 当且仅当当时，‎ 的取值范围是 考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点.‎ ‎【名师点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；函数的零点，属于难题．解第（1）问时一定要注意函数的定义域，在此前提下利用导数研究函数的单调性即可得到函数的最小值，对于第（2）问可构造新函数，，讨论该函数单调性即可得到所要求的零点个数，当人这里中点考察的是分类讨论思想的运用；第（3）问仍然是构造新函数，讨论其导函数在恒成立问题 ‎ ‎9.【2016高考山东文数】(本小题满分13分)‎ 设f(x)=xlnx–ax2+(‎2a–1)x，a∈R.‎ ‎(Ⅰ)令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；‎ ‎(Ⅱ)已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)当时，函数单调递增区间为；‎ 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. ‎ ‎(Ⅱ).‎ 讨论当时，当时的两种情况下导函数正负号，确定得到函数的单调区间. ‎ ‎(Ⅱ)分以下情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，综合即得.‎ 试题解析：(Ⅰ)由 可得，‎ 则，‎ 当时，时，，函数单调递增；‎ 当时，时，，函数单调递增，‎ 时，，函数单调递减.‎ 所以当时，函数单调递增区间为；‎ 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为. ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，.‎ ‎①当时，，单调递减.‎ 所以当时，，单调递减.‎ 当时，，单调递增.‎ 所以在处取得极小值，不合题意.‎ ‎②当时，，由(Ⅰ)知在内单调递增，‎ 可得当当时，，时，，‎ 所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，‎ 所以在处取得极小值，不合题意.‎ ‎③当时，即时，在(0,1)内单调递增，在内单调递减，‎ 所以当时，，单调递减，不合题意.‎ ‎④当时，即，当时，，单调递增,‎ 当时，，单调递减，‎ 所以在处取得极大值，合题意.‎ 综上可知，实数a的取值范围为.‎ 考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.‎ ‎10.【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设函数=，.证明：‎ ‎（I）；‎ ‎（II）. ‎ ‎【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到，从而得到结论；第二问，由得，进行放缩，得到，再结合第一问的结论，得到 ‎，从而得到结论.‎ ‎(Ⅱ)由得，‎ 故，‎ 所以 .‎ 由(Ⅰ)得，‎ 又因为，所以，‎ 综上，‎ 考点：函数的单调性与最值、分段函数.‎ ‎【思路点睛】（I）先用等比数列前项和公式计算，再用放缩法可得，进而可证；（II）由（I）的结论及放缩法可证．‎ ‎11.【2014年.浙江卷.文21】（本小题满分15分）‎ 已知函数，若在上的最小值记为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）证明：当时，恒有.‎ ‎【答案】（1）；（2）详见解析.‎ 试题解析：（1）因为，‎ ①当时，‎ 若，则，，故在上是减函数；‎ 若，则，，故在上是增函数；‎ 所以，.‎ ②当，则，，，故在上是减函数，‎ 所以，‎ 综上所述，.‎ ‎（2）令，‎ ①当时，，‎ 若，得，所以在上是增函数，所以在上的最大值是，且，所以，‎ 故.‎ 若，，则，所以在上是减函数，‎ 所以在上的最大值是，‎ 令，则，‎ 所以在上是增函数，所以即，‎ 故，‎ ②当时，，所以，得，‎ 此时在上是减函数，因此在上的最大值是，‎ 故，‎ 综上所述，当时恒有.‎ 考点：函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，正确求导，确定函数的单调性是解决问题的关键；求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．导数在不等式问题中的应用问题解题策略：(1)利用导数证明不等式，若证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)＜0，即证明了f(x)＜g(x)．‎ ‎(2)利用导数解决不等式的恒成立问题，利用导数研究不等式恒成立问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题 ‎12.【2015高考重庆，文19】已知函数（）在x=处取得极值.‎ ‎(Ⅰ)确定的值，‎ ‎(Ⅱ)若，讨论的单调性.‎ ‎【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）在内为减函数，内为增函数..‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果可得函数，利用积的求导法则可求出，令，解得.从而分别讨论，，及时的符号即可得到函数的单调性．‎ 试题解析： (1)对求导得 因为在处取得极值，所以，‎ 即,解得.‎ ‎(2)由(1)得，,‎ 故 令，解得.‎ 当时，,故为减函数，‎ 当时，,故为增函数，‎ 当时，,故为减函数，‎ 当时，,故为增函数，‎ 综上知在内为减函数，内为增函数.‎ ‎【考点定位】1. 导数与极值，2. 导数与单调性.‎ ‎【名师点睛】本题考查函数导数的概念和运算，运用导数研究函数的单调性及导数与函数极值之间的关系，利用函数的极值点必是导数为零的点，使导函数大于零的x的区间函数必增，小于零的区间函数必减进行求解，本题属于中档题，注意求导的准确性及使导函数大于零或 小于零的x的区间的确定.‎ ‎13.【2014，安徽文20】（本小题满分13分）‎ 设函数，其中 ‎（I）讨论在其定义域上的单调性；‎ ‎（II）当时，求取得最大值和最小值时的的值，‎ ‎【答案】（I）在和内单调递减，在内单调递增；（II）所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值，‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）对原函数进行求导，，令，解得，当或时；从而得出，当时，，故在和内单调递减，在内单调递增，（II）依据第（I）题，对进行讨论，①当时，，由（I）知，在上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值，②当时，，由（I）知，在上单调递增，在上单调递减，因此在处取得最大值，又，所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值，‎ 试题解析：（I）的定义域为，，令，得，所以，当或时；当时，，故在和 内单调递减，在内单调递增，‎ 递减，因此在处取得最大值，又，所以当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小只；当时，在处取得最小值，‎ 考点：1，含参函数的单调性；2，含参函数的最值求解，‎ ‎【名师点睛】含参函数的单调性求解步骤如下：第一步，求函数的定义域；第二步，求导函数；第三步，以导函数的零点存在性进行讨论；第四步，当导函数存在多个零点时，讨论它们的大小关系及区间位置关系；第五步，画出导函数的同号函数草图，从而判断其导函数的符号；第六步，根据第五步的草图列出，随变化的情况表，写出函数的单调区间；第七步，综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间.‎ ‎14.【2015高考安徽，文21】已知函数 ‎（Ⅰ）求的定义域，并讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若，求在内的极值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）递增区间是（-r,r）;递减区间为（-∞，-r）和（r，+∞）；（Ⅱ）极大值为100；无极小值.‎ 所以当或时，，当时，‎ 因此，单调递减区间为；的单调递增区间为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知在上单调递增，在上单调递减.‎ 因此是的极大值点，所以在内的极大值为，内无极小值；‎ 综上，内极大值为100，无极小值.‎ ‎【考点定位】本题主要考查了函数的定义域、利用导数求函数的单调性，以及求函数的极值等基础知识.‎ ‎【名师点睛】本题在利用导数求函数的单调性时要注意，求导后的分子是一个二次项系数为负数的一元二次式，在求和时要注意，本题主要考查考生对基本概念的掌握情况和基本运算能力.‎ ‎15. 【2014天津，文19】已知函数 （1） 求的单调区间和极值；‎ ‎（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围 ‎【答案】(1) 的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值， (2) ‎ ‎【解析】‎ 极大值， (2)本题首先要正确转化：“对于任意的，都存在，使得”等价于两个函数值域的包含关系. 设集合，‎ 集合则，其次挖掘隐含条件，简化讨论情况，明确讨论方向. 由于，所以,因此，又，所以，即 试题解析：‎ 解(1)由已知有令，解得或，列表如下：‎ ‎[‎ 所以的单调增区间是，单调减区间是和，当时，取极小值，当时，取极大值，(2)由及（1）知，当时，，当时，设集合，集合则“对于任意的，都存在，使得”等价于.显然.‎ 下面分三种情况讨论：‎ 当即时，由可知而，所以A不是B的子集 当即时，有且此时在上单调递减，故，因而由有在上的取值范围包含，所以 当即时，有且此时在上单调递减，故,,所以A不是B的子集 综上，的取值范围为 考点：利用导数求单调区间及极值，利用导数求函数值域 ‎【名师点睛】本题考查利用导数工具研究函数，涉及导数与函数的单调性，证明不等式等，导数是研究函数的锐利工具，借助导数可以研究函数的单调性，研究函数的极值和最值，研究函数的零点，研究函数图像的位置，最重要的是利用导数研究函数单调性，借助函数的单调性比较大小、解不等式、证明不等式.由于导数是高等数学的基础知识，所以成为高考命 题的热点，每年必考，花样繁新.‎ ‎16.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】为圆周率，为自然对数的底数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求，，，，，这6个数中的最大数与最小数；‎ ‎（3）将，，，，，这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.‎ ‎（2）因为，所以，，即，，‎ 于是根据函数、、在定义域上单调递增，‎ 所以，，‎ 故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中，‎ 由及（1）的结论得，即，‎ 由得，所以，‎ 由得，所以，‎ 综上，6个数中的最大数为，最小数为.‎ 考点：导数法求函数的单调性、单调区间，对数函数的性质，比较大小.‎ ‎【名师点睛】作为一道函数压轴题，以函数作为主线，重点考查导数在研究函数的单调性与极值中的应用，其解题思路为：第一问直接对函数进行求导并分别令 导数大于0、小于0即可求出相应的单调区间；第二问 运用函数、、在定义域上单调性及（1）的结论构造不等式逐个进行比较，确定出其最大的数和最小的数即可.‎ ‎17.【2015新课标2文21】（本小题满分12分）已知.‎ ‎（I）讨论的单调性；‎ ‎（II）当有最大值,且最大值大于时,求a的取值范围.‎ ‎【答案】（I）,在是单调递增；,在单调递增,在单调递减；（II）.‎ 时,,当时,因此a的取值范围是.‎ 试题解析：‎ ‎（I）的定义域为,,若,则,在是单调递增；若,则当时,当时,所以在单调递增,在单调递减.‎ ‎（II）由（I）知当时在无最大值,当时在取得最大值,最大值为因此 ‎.令,则在是增函数,,于是,当时,,当时,因此a的取值范围是.‎ ‎【考点定位】本题主要考查导数在研究函数性质方面的应用及分类讨论思想.‎ ‎【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解. ‎