四川省乐山市高考数学一模试卷理科解析版

四川省乐山市高考数学一模试卷理科解析版

四川省乐山市2017年高考数学一模试卷（理科）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（　　）‎ A．0 B．1 C．﹣1 D．2‎ ‎2．已知集合A={x|x2+3x≤0}，集合B={n|n=2k+1，k∈Z}，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣1，1} B．{1，3} C．{﹣3，﹣1} D．{﹣3，﹣1，1，3}‎ ‎3．“x＜2”是“ln（x﹣1）＜0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）‎ A． B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．‎ ‎5．一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的x可能为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．1或5 D．﹣1或1‎ ‎6．已知向量，向量，则△ABC的形状为（　　）‎ A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形 ‎7．已知a＞0，x，y满足约束条件，z=x+‎ ‎2y的最小值为﹣2，则a=（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎8．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（　　）尺布．‎ A． B． C． D．‎ ‎9．函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（　　）‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎10．已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，当x1＜x2＜x3＜x4时满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1•x2•x3•x4的取值范围是（　　）‎ A．（7，） B．（21，） C．[27，30） D．（27，）‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．设函数f（x）=（x+1）（2x+3a）为偶函数，则a=　　．‎ ‎14．在三角形ABC中，点E，F满足，，若，则x+y=　　．‎ ‎15．小王同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，20min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是　　km．‎ ‎16．已知f（x）=x+alnx（a＞0）对于区间[1，3]内的任意两个相异实数x1，x2，恒有成立，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知2sinα•tanα=3，且0＜α＜π．‎ ‎（1）求α的值；‎ ‎（2）求函数f（x）=4sinxsin（x﹣α）在上的值域．‎ ‎18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为SA，CD的中点．‎ ‎（I）证明：直线MN∥平面SBC； ‎ ‎（Ⅱ）证明：平面SBD⊥平面SAC．‎ ‎19．某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品分别可获得y1，y2万元的利润，利润曲线，P2：y2=bx+c，如图所示．‎ ‎（1）求函数y1，y2的解析式；‎ ‎（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和sn，点（n，sn）（n∈N*）在函数y=x2+x的图象上 ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列{}的前n项和为Tn，不等式Tn＞loga（1﹣a）对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎21．已知f（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）=k（x+1）．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当k=2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；‎ ‎（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞‎ g（x）成立，试求k的取值范围．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．‎ ‎（1）判断直线l与曲线C的位置关系；‎ ‎（2）过直线l上的点作曲线C的切线，求切线长的最小值．‎ ‎23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．‎ ‎（1）求不等式f（x）＞0的解集；‎ ‎（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2017年四川省乐山市高考数学一模试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b=（　　）‎ A．0 B．1 C．﹣1 D．2‎ ‎【考点】复数代数形式的乘除运算．‎ ‎【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得a，b的值，则答案可求．‎ ‎【解答】解：∵=，‎ ‎∴，解得，‎ 则a+b=1．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．已知集合A={x|x2+3x≤0}，集合B={n|n=2k+1，k∈Z}，则A∩B=（　　）‎ A．{﹣1，1} B．{1，3} C．{﹣3，﹣1} D．{﹣3，﹣1，1，3}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】求出集合A中的一元二次不等式的解集确定出集合A，观察发现集合B为所有的奇数集，所以找出集合A解集中的奇数解即为两集合的交集．‎ ‎【解答】解：由集合A中的不等式x2+3x≤0，‎ 因式分解得：x（x+3）＜0，‎ 解得：﹣3＜x＜0，‎ 所以集合A=（﹣3，0）；‎ 根据集合B中的关系式n=2k+1，k∈Z，得到集合B为所有的奇数集，‎ 则集合A∩B={﹣3，﹣1}．‎ 故选：C ‎　‎ ‎3．“x＜2”是“ln（x﹣1）＜0”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据对数函数的性质结合集合的包含关系判断即可．‎ ‎【解答】解：由ln（x﹣1）＜0，得：0＜x﹣1＜1，解得：1＜x＜2，‎ 故x＜2是1＜x＜2的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）‎ A． B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．‎ 可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．‎ 可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的x可能为（　　）‎ A．﹣1 B．1 C．1或5 D．﹣1或1‎ ‎【考点】选择结构；程序框图．‎ ‎【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是求分段函数的函数值．利用输出的值，求出输入的x的值即可．‎ ‎【解答】解：这是一个用条件分支结构设计的算法，‎ 该程序框图所表示的算法的作用是求分段函数y=的函数值，‎ 输出的结果为，当x≤2时，sin=，解得x=1+12k，或x=5+12k，k∈Z，即x=1，﹣7，﹣11，…‎ 当x＞2时，2x=，解得x=﹣1（不合，舍去），‎ 则输入的x可能为1．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎6．已知向量，向量，则△ABC的形状为（　　）‎ A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰非直角三角形 ‎【考点】平面向量的坐标运算．‎ ‎【分析】由已知向量的坐标求得的坐标，可得，结合 得答案．‎ ‎【解答】解：∵，，‎ ‎∴=（3，1），‎ ‎∴．‎ 又．‎ ‎∴△ABC的形状为等腰直角三角形．‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎7．已知a＞0，x，y满足约束条件，z=x+2y的最小值为﹣2，则a=（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入ax﹣y﹣2a=0得答案．‎ ‎【解答】解：由约束条件，作出可行域如图，‎ 联立，解得A（1，﹣），z=x+2y的最小值为﹣2，‎ 由图形可知A是目标函数的最优解，A在ax﹣y﹣2a=0上，‎ 可得：a+﹣2a=0‎ 解得a=．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（　　）尺布．‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【分析】利用等差数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设此等差数列{an}的公差为d，‎ 则30×5+d=390，‎ 解得d=，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，要得到函数g（x）=Acosωx的图象，只需将f（x）的图象（　　）‎ A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．‎ ‎【分析】函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可知周期T=‎ ‎，可得ω的值，根据三角函数的平移变换规律可得结论．‎ ‎【解答】解：由题意，函数的图象与x轴交点的横坐标构成一个公差为的等差数列，可知周期T=，‎ 那么：ω=．‎ 则f（x）=Asin（3x+）=Asin3（x+）‎ 要得到g（x）=Acos3x，‎ 即Acos3x=Asin（3x+）=Asin3（x+）‎ 由题意：可得：f（x）向左平移可得g（x）‎ 故选A ‎　‎ ‎10．已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象．‎ ‎【分析】利用函数的定义域与函数的值域排除B，D，通过函数的单调性排除C，推出结果即可．‎ ‎【解答】解：令g（x）=x﹣lnx﹣1，则，‎ 由g'（x）＞0，得x＞1，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，‎ 由g'（x）＜0得0＜x＜1，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，‎ 所以当x=1时，函数g（x）有最小值，g（x）min=g（0）=0，‎ 于是对任意的x∈（0，1）∪（1，+∞），有g（x）≥0，故排除B、D，‎ 因函数g（x）在（0，1）上单调递减，则函数f（x）在（0，1）上递增，故排除C，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎11．如图所示，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】由条件利用球的截面的性质求得球心到截面圆的距离，再求出垂直折起的4个小直角三角形的高，再与球的半径相加即得答案．‎ ‎【解答】解：由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，‎ 故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，‎ 由于鸡蛋的体积为π，故鸡蛋（球）的半径为1，‎ 故球心到截面圆的距离为=，‎ 而垂直折起的4个小直角三角形的高为，‎ 故鸡蛋最低点与蛋巢底面的距离为，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知函数f（x）=，若存在实数x1，x2，x3，x4，当x1‎ ‎＜x2＜x3＜x4时满足f（x1）=f（x2）=f（x3）=f（x4），则x1•x2•x3•x4的取值范围是（　　）‎ A．（7，） B．（21，） C．[27，30） D．（27，）‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】画出分段函数的图象，求得（3，1），（9，1），令f（xl）=f（x2）=f（x3）=f（x4）=a，作出直线y=a，通过图象观察，可得a的范围，运用对数的运算性质和余弦函数的对称性，可得x1x2=1，x3+x4=12，再由二次函数在（3，4.5）递增，即可得到所求范围．‎ ‎【解答】解：画出函数f（x）的图象，‎ 令f（xl）=f（x2）=f（x3）=f（x4）=a，‎ 作出直线y=a，‎ 由x=3时，f（3）=﹣cosπ=1；x=9时，f（9）=﹣cos3π=1．‎ 由图象可得，当0＜a＜1时，直线和曲线y=f（x）有四个交点．‎ 由图象可得0＜x1＜1＜x2＜3＜x3＜4.5，7.5＜x4＜9，‎ 则|log3x1|=|log3x2|，即为﹣log3x1=log3x2，可得x1x2=1，‎ 由y=﹣cos（x）的图象关于直线x=6对称，可得x3+x4=12，‎ 则x1•x2•x3•x4=x3（12﹣x3）=﹣（x3﹣6）2+36在（3，4.5）递增，‎ 即有x1•x2•x3•x4∈（27，）．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．设函数f（x）=（x+1）（2x+3a）为偶函数，则a=　﹣　．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】根据偶函数的定义，可得一次项系数为0，从而可得结论．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=（x+1）（2x+3a）=2x2+（3a+2）x+3a ‎∵函数f（x）=（x+1）（2x+3a）为偶函数，‎ ‎∴2x2﹣（3a+2）x+3a=2x2+（3a+2）x+3a ‎∴3a+2=0‎ ‎∴a=﹣，‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎14．在三角形ABC中，点E，F满足，，若，则x+y=　　．‎ ‎【考点】平面向量的基本定理及其意义．‎ ‎【分析】首先利用平面向量的三角形法则得到，然后用表示，结合平面向量基本定理得到x，y．‎ ‎【解答】解：在三角形ABC中，点E，F满足，，若==，所以x=﹣，y=，则x+y=；‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．小王同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，20min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是　　km．‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【分析】在△ABS中，可得∠BAS=30°，AB=8，∠ABS=180°﹣75°=105°则∠ASB=45°，由正弦定理可得BS=．‎ ‎【解答】解：如图，由已知可得，AB=24×=8．‎ 在△ABS中，∠BAS=30°，AB=8，∠ABS=180°﹣75°=105°‎ ‎∠ASB=45°‎ 由正弦定理可得BS==4，‎ 故答案为 ‎　‎ ‎16．已知f（x）=x+alnx（a＞0）对于区间[1，3]内的任意两个相异实数x1，x2，恒有成立，则实数a的取值范围是　（0，）　．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】问题等价于|1+|＜，（1），由x1，x2→时（1）变为|1+3a|＜9，由x1，x2→1时（1）变为|1+a|＜1，得到关于a的不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：已知a＞0，f（x）=x+alnx，‎ 对区间[1，3]内的任意两个相异的实数x1，x2，恒有|f（x1）﹣f（x2）|＜|﹣|，‎ ‎∴|x1﹣x2+a（lnx1﹣lnx2）|＜||，‎ 两边都除以|x1﹣x2|，‎ ‎∵|1+|＜，（1）‎ ‎（lnx）′=∈[，1]，‎ ‎∴∈[，1]，‎ x1，x2→时（1）变为|1+3a|＜9，‎ 解得：﹣＜a＜，‎ x1，x2→1时（1）变为|1+a|＜1，‎ 解得：﹣2＜a＜0，‎ 又∵a＞0，‎ ‎∴0＜a＜，‎ 故答案为（0，）．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．已知2sinα•tanα=3，且0＜α＜π．‎ ‎（1）求α的值；‎ ‎（2）求函数f（x）=4sinxsin（x﹣α）在上的值域．‎ ‎【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数中的恒等变换应用．‎ ‎【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系，求得sinα的值，可得α的值．‎ ‎（2）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）=4sinxsin（x﹣α）在上的值域．‎ ‎【解答】解：（1）∵2sinα•tanα=3，且0＜α＜π．∴2sin2α=3cosα，∴2﹣2cos2α=3cosα，∴2cos2α+3cosα﹣2=0，‎ 解得cosα=，或cosα=﹣2（舍），∴α=．‎ ‎（2）∵α=，∴函数f（x）=4sinxsin（x﹣）=4sinx（sinxcos ‎﹣cosxsin）==，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 则，∴f（x）∈[﹣1，0]．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为SA，CD的中点．‎ ‎（I）证明：直线MN∥平面SBC； ‎ ‎（Ⅱ）证明：平面SBD⊥平面SAC．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（Ⅰ）取SB中点E，连接ME、CE，由三角形中位线定理、菱形性质得四边形MECN是平行四边形，由此能证明直线MN∥平面SBC．‎ ‎（Ⅱ）连接AC、BD，交于点O，由线面垂直得SA⊥BD，由菱形性质得AC⊥BD，由此能证明平面SBD⊥平面SAC．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：如图，取SB中点E，连接ME、CE，‎ 因为M为SA的中点，所以ME∥AB，且ME=，…‎ 因为N为菱形ABCD边CD的中点，‎ 所以CN∥AB，且CN=，…‎ 所以ME∥CN，ME=CN，‎ 所以四边形MECN是平行四边形，‎ 所以MN∥EC，…‎ 又因为EC⊂平面SBC，MN⊄平面SBC，‎ 所以直线MN∥平面SBC．…‎ ‎（Ⅱ）证明：如图，连接AC、BD，交于点O，‎ 因为SA⊥底面ABCD，所以SA⊥BD．…‎ 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．…‎ 又SA∩AC=A，所以BD⊥平面SAC．…‎ 又BD⊂平面SBD，所以平面SBD⊥平面SAC．…‎ ‎　‎ ‎19．某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品分别可获得y1，y2万元的利润，利润曲线，P2：y2=bx+c，如图所示．‎ ‎（1）求函数y1，y2的解析式；‎ ‎（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？‎ ‎【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．‎ ‎【分析】（1）将（1，1.25），（4，2.5）代入曲线，解方程可得；由P2：y2=bx+c过原点，可得c=0，将（4，1）代入，可得b，即可得到P2的方程；‎ ‎（2）设甲投资x万元，则乙投资为（10﹣x）万元，投资获得的利润为y万元，则=，令，转化为二次函数的最值求法，即可得到所求最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由题知（1，1.25），（4，2.5）在曲线P1上，‎ 则，‎ 解得，即．‎ 又（4，1）在曲线P2上，且c=0，则1=4b，‎ 则，所以．‎ ‎（2）设甲投资x万元，则乙投资为（10﹣x）万元，‎ 投资获得的利润为y万元，则=，‎ 令，‎ 则．‎ 当，即（万元）时，利润最大为万元，此时10﹣x=3.75（万元），‎ 答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为万元．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}的前n项和sn，点（n，sn）（n∈N*）在函数y=x2+x的图象上 ‎（1）求{an}的通项公式；‎ ‎（2）设数列{}的前n项和为Tn，不等式Tn＞loga（1﹣a）对任意的正整数恒成立，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】等差数列与等比数列的综合．‎ ‎【分析】（1），再写一式，即可求{an}的通项公式；‎ ‎（2）由（1）知an=n，利用裂项法可求=（﹣），从而可求得Tn ‎═ [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]，由Tn+1﹣Tn=＞0，可判断数列{Tn}单调递增，从而可求得a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵，∴①‎ 当②‎ ‎①﹣②得an=n 当，‎ ‎∴an=n；‎ ‎（2）由（1）知an=n，则=（﹣）．‎ ‎∴Tn═ [（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]‎ ‎=（1+﹣﹣）‎ ‎=﹣（+）．‎ ‎∵Tn+1﹣Tn=＞0，‎ ‎∴数列{Tn}单调递增，‎ ‎∴（Tn）min=T1=．‎ 要使不等式Tn＞loga（1﹣a）对任意正整数n恒成立，只要＞loga（1﹣a）．‎ ‎∵1﹣a＞0，‎ ‎∴0＜a＜1．‎ ‎∴1﹣a＞a，即0＜a＜．‎ ‎　‎ ‎21．已知f（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）2，g（x）=k（x+1）．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当k=2时，求证：对于∀x＞﹣1，f（x）＜g（x）恒成立；‎ ‎（Ⅲ）若存在x0＞﹣1，使得当x∈（﹣1，x0）时，恒有f（x）＞g（x）成立，试求k的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出定义域和导数f′（x），令f′（x）＞0，解出增区间，令f′（x）＜0，解出减区间；‎ ‎（Ⅱ）令H（x）=f（x）﹣g（x），利用导数判断出H（x）的单调性和单调区间，得出H（x）的最大值，证明Hmax（x）＜0即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ），‎ 当f′（x）＞0 时，所以 x2+3x+1＜0，解得﹣2＜x，‎ 当f′（x）＜0时，解得，‎ 所以 f（x） 单调增区间为，递减区间是（，+∞）；‎ ‎（Ⅱ）当k=2时，g（x）=2（x+1）．‎ 令H（x）=f（x）﹣g（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣2（x+1）．‎ H′（x）=，‎ 令H′（x）=0，即﹣2x2﹣8x﹣6=0，解得x=﹣1或x=﹣3（舍）．‎ ‎∴当x＞﹣1时，H′（x）＜0，H（x）在（﹣1，+∞）上单调递减．‎ ‎∴Hmax（x）=H（﹣1）=0，‎ ‎∴对于∀x＞﹣1，H（x）＜0，即f（x）＜g（x）．‎ ‎（Ⅲ）由（II）知，当k=2时，f （x）＜g （x）恒成立，‎ 即对于“x＞﹣1，2 ln （x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1），不存在满足条件的x0；‎ 当k＞2时，对于“x＞﹣1，x+1＞0，此时2 （x+1）＜k （x+1）．‎ ‎∴2 ln （x+2）﹣（x+1）2＜2 （x+1）＜k （x+1），‎ 即f （x）＜g （x）恒成立，不存在满足条件的x0；‎ 令h（x）=f（x）﹣g（x）=2ln（x+2）﹣（x+1）2﹣k（x+1），‎ h′（x）=，‎ 当k＜2时，令t （x）=﹣2x2﹣（k+6）x﹣（2k+2），‎ 可知t （x）与h′（x）符号相同，‎ 当x∈（x0，+∞）时，t （x）＜0，h′（x）＜0，h （x）单调递减，‎ 当x∈（﹣1，x0）时，h （x）＞h （﹣1）=0，即f （x）﹣g （x）＞0恒成立，‎ 综上，k的取值范围为（﹣∞，2）．‎ ‎　‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．已知直线l的参数方程是（t是参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．‎ ‎（1）判断直线l与曲线C的位置关系；‎ ‎（2）过直线l上的点作曲线C的切线，求切线长的最小值．‎ ‎【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．‎ ‎【分析】（1）分别求出直线和曲线的普通方程，根据点到直线的距离，求出直线l与曲线C的位置关系；‎ ‎（2）根据点到直线的距离求出直线l上的点向圆C引的切线长的最小值即可．‎ ‎【解答】解：（1）直线l方程：y=x+4，ρ=4cos（θ+）=2cosθ﹣2sinθ，‎ ‎∴ρ2=2ρcosθ﹣2sinθ，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y=0，‎ 即+=4，‎ ‎∴圆心（，﹣）到直线l的距离为d=6＞2，故直线与圆相离．‎ ‎（2）直线l的参数方程化为普通方程为x﹣y+4=0，‎ 则圆心C到直线l的距离为=6，‎ ‎∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值为=4．‎ ‎　‎ ‎23．已知函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．‎ ‎（1）求不等式f（x）＞0的解集；‎ ‎（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】绝对值三角不等式．‎ ‎【分析】（1）把f（x）用分段函数来表示，令f（x）=0，求得x的值，可得不等式f（x）＞0的解集．‎ ‎（2）由（1）可得f（x）的最小值为f（），再根据f（）＜4a﹣2a2 ，求得a的范围．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，令f（x）=0，求得x=﹣，或 x=3，‎ 故不等式f（x）＞0的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．‎ ‎（2）若存在x0∈R，使得f（x0）+2a2＜4a，即f（x0）＜4a﹣2a2 有解，‎ 由（1）可得f（x）的最小值为f（）=﹣3•﹣1=﹣，故﹣＜4a﹣2a2 ，‎ 求得﹣＜a＜．‎ ‎　‎ ‎ ‎