2019届高考数学一轮复习 第2讲 等差数列及其前n项和学案（无答案）文

2019届高考数学一轮复习 第2讲 等差数列及其前n项和学案（无答案）文

第2讲　等差数列及其前n项和 ‎1．等差数列的有关概念 ‎(1)定义 如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 (n∈N*，d为常数)．‎ ‎(2)等差中项 数列a，A，b成等差数列的充要条件是 ，其中A叫做a，b的 ．‎ ‎(3)等差数列的通项公式:an=　　　　　　　,可推广为an=　　　　　　　　. ‎ ‎(4)等差数列的前n项和公式: ‎ ‎2．等差数列的性质 ‎(1)(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则　　　　　　　　　(m,n,p,q∈N*);m+n=2p,则 (m,n,p∈N*). ‎ ‎(2)数列Sm，S‎2m－Sm，S‎3m－S‎2m，…构成等差数列 ‎(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．‎ ‎(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．‎ ‎(5)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则S2n-1= ‎ ‎3．等差数列的四种判断方法 ‎(1)定义法：an＋1－an＝d(d是常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎(4)前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B为常数)⇔{an}是等差数列．‎ ‎3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 ‎(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列.‎ ‎(2) 当d≠0时,它是关于n的二次函数.数列{an}是等差数列⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).‎ ‎1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.‎ ‎(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. (　　)‎ ‎(2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列. (　　)‎ ‎(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. (　　)‎ ‎(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有 (　　)‎ 5‎ ‎(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. (　　)‎ ‎2.等差数列11，8，5，…，中－49是它的第几项(　　)‎ A．第19项　　　　　　　　　 B．第20项 C．第21项 D．第22项 ‎3. 已知p：数列{an}是等差数列，q：数列{an}的通项公式an＝k1n＋k2(k1，k2均为常数)，则p是q的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.等差数列{an}的前n项之和为Sn，若a5＝6，则S9为(　　)‎ A．45 B．‎54 C．63 D．27‎ ‎5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________．‎ ‎[典例引领]‎ ‎　等差数列的基本运算(高频考点)‎ ‎ 角度一　求公差d、项数n或首项a1‎ ‎1．已知等差数列{an}中，a5＝13，S5＝35，则公差d＝(　　)‎ A．－2 B．－‎1 C．1 D．3‎ ‎(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sn＋2－Sn＝36，则n＝(　　)‎ A．5 　B．‎6 C．7 D．8‎ ‎ 角度二　求通项或特定项 ‎1．(2016·高考全国卷乙)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)‎ A．100 B．‎99 C．98 D．97‎ ‎2.(2015·高考全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝(　　)‎ A．　　　　B．　　　　C．10　　　　D．12　‎ ‎ 角度三　求前n项和 ‎1．已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前9项和等于________．‎ ‎2设Sn为等差数列{an}的前n项和,则= 　　‎ 等差数列基本运算的解题方法 5‎ ‎(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．　 ‎ ‎(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法． ‎ 等差数列的性质及最值 ‎(1)在等差数列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示数列{an}的前n项和，则S11＝(　　)‎ A．18　 　B．‎99 C．198 D．297‎ ‎(2)已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________．‎ ‎(3)在等差数列{an}中，a1＝7，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n＝8时Sn取得最大值，则d的取值范围为________．‎ 应用等差数列的性质应注意的两点 ‎(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q＝2k(m、n、p、q、k∈N*)，则am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性质．‎ ‎(2)掌握等差数列的性质，悉心研究每个性质的使用条件及应用方法，认真分析项数、序号、项的值的特征，这是解题的突破口．　 ‎ 等差数列的判定与证明 ‎1.已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)．设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}是等差数列．‎ ‎2.设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=-1.数列{bn}满足b1=2,-2bn=8an.‎ 5‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)证明:数列为等差数列,并求{bn}的通项公式.‎ 巩固练习：‎ ‎1．已知等差数列{an}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为(　　)‎ A．10 B．‎20 C．30 D．40‎ ‎2．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)‎ A．S15 B．S‎16 C．S15或S16 D．S17‎ ‎3．(2017·陕西省五校模拟)等差数列{an}中，如果 a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，则数列{an}前9项的和为(　　)‎ A．297 B．‎144 C．99 D．66‎ ‎4．在等差数列{an}中，a3＋a5＋a11＋a17＝4，且其前n项和为Sn，则S17为(　　)‎ A．20 B．17‎ C．42 D．84‎ ‎5．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，则等于________．‎ ‎6.在等差数列{an}中,前m项的和为30,前‎2m项的和为100,则前‎3m项的和为　　　　　. ‎ 5‎ ‎*7．已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，它的前n项和为Sn，且a3＝10，S6＝72，若bn＝an－30，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．‎ ‎**8．各项均为正数的数列{an}满足a＝4Sn－2an－1(n∈N*)，其中Sn为{an}的前n项和．‎ ‎(1)求a1，a2的值；(2)求数列{an}的通项公式．‎ 5‎