高考数学考点归纳之 直线与椭圆的综合问题

高考数学考点归纳之 直线与椭圆的综合问题

高考数学考点归纳之 直线与椭圆的综合问题 考点一 弦中点问题 [典例] (2018·南宁摸底联考)已知椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是 x－y＋5＝0，弦的中点坐标是 M(－4,1)，则椭圆的离心率是( ) A.1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 5 5 [解析] 设直线 x－y＋5＝0 与椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为 AB 的中点 M(－4,1)，所以 x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线 AB 的斜率 k＝y2－y1 x2－x1 ＝1.由 x21 a2 ＋y21 b2 ＝1， x22 a2 ＋y22 b2 ＝1， 两式相减得，x1＋x2x1－x2 a2 ＋y1＋y2y1－y2 b2 ＝0，所以y1－y2 x1－x2 ＝ － b2 a2·x1＋x2 y1＋y2 ，所以b2 a2 ＝1 4 ，于是椭圆的离心率 e＝c a ＝ 1－b2 a2 ＝ 3 2 ，故选 C. [答案] C [解题技法] 1．用“点差法”求解弦中点问题的步骤 2．解有关弦中点问题的注意点 对于弦中点问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时， 要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． [题组训练] 1．已知椭圆：x2 9 ＋y2＝1，过点 P 1 2 ，1 2 的直线与椭圆相交于 A，B 两点，且弦 AB 被点 P 平分，则直线 AB 的方程为( ) A．9x＋y－5＝0 B．9x－y－4＝0 C．x＋9y－5＝0 D．x－9y＋4＝0 解析：选 C 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x21 9 ＋y21＝1， x22 9 ＋y22＝1， 两式作差得x2－x1x2＋x1 9 ＋(y2－y1)(y2＋y1)＝0，因为 x2＋x1＝1，y2＋y1＝1，y2－y1 x2－x1 ＝kAB，代入后求得 kAB＝－1 9 ，所以 弦所在的直线方程为 y－1 2 ＝－1 9 x－1 2 ，即 x＋9y－5＝0. 2．焦点为 F(0,5 2)，并截直线 y＝2x－1 所得弦的中点的横坐标是2 7 的椭圆的标准方程 为________________． 解析：设所求的椭圆方程为y2 a2 ＋x2 b2 ＝1(a＞b＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为 A(x1，y1)， B(x2，y2)． 由题意，可得弦 AB 的中点坐标为 x1＋x2 2 ，y1＋y2 2 ，且x1＋x2 2 ＝2 7 ，y1＋y2 2 ＝－3 7. 将 A，B 两点坐标代入椭圆方程中，得 y21 a2 ＋x21 b2 ＝1， y22 a2 ＋x22 b2 ＝1. 两式相减并化简，得a2 b2 ＝－y1－y2 x1－x2 ·y1＋y2 x1＋x2 ＝－2× －6 7 4 7 ＝3， 所以 a2＝3b2，又 c2＝a2－b2＝50，所以 a2＝75，b2＝25， 故所求椭圆的标准方程为y2 75 ＋x2 25 ＝1. 答案：y2 75 ＋x2 25 ＝1 考点二 弦长问题 [典例] (2018·北京高考节选)已知椭圆 M：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的离心率为 6 3 ，焦距为 2 2. 斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点 A，B. (1)求椭圆 M 的方程； (2)若 k＝1，求|AB|的最大值． [解] (1)由题意得 a2＝b2＋c2， c a ＝ 6 3 ， 2c＝2 2， 解得 a＝ 3，b＝1. 所以椭圆 M 的方程为x2 3 ＋y2＝1. (2)设直线 l 的方程为 y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由 y＝x＋m， x2 3 ＋y2＝1， 得 4x2＋6mx＋3m2－3＝0， 所以 x1＋x2＝－3m 2 ，x1x2＝3m2－3 4 . 所以|AB|＝ x2－x12＋y2－y12＝ 2x2－x12＝ 2[x1＋x22－4x1x2]＝ 12－3m2 2 . 当 m＝0，即直线 l 过原点时，|AB|最大，最大值为 6. [解题技法] 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解． (2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝ 1＋1 k2 [y1＋y22－4y1y2](k 为直线斜率)． [提醒] 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略 判别式． [题组训练] 1．已知椭圆x2 2 ＋y2＝1 与直线 y＝x＋m 交于 A，B 两点，且|AB|＝4 2 3 ，则实数 m 的值 为 ( ) A．±1 B．±1 2 C. 2 D．± 2 解析：选 A 由 x2 2 ＋y2＝1， y＝x＋m 消去 y 并整理， 得 3x2＋4mx＋2m2－2＝0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－4m 3 ，x1x2＝2m2－2 3 . 由题意，得|AB|＝ 2x1＋x22－8x1x2＝4 3 3－m2＝4 2 3 ， 解得 m＝±1. 2．椭圆 E：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率 e＝1 2 ，过 F1 的直 线交椭圆于 A，B 两点，且△ABF2 的周长为 8. (1)求椭圆 E 的方程； (2)若直线 AB 的斜率为 3，求△ABF2 的面积． 解：(1)由题意知，4a＝8，所以 a＝2， 又 e＝1 2 ，所以c a ＝1 2 ，c＝1， 所以 b2＝22－1＝3， 所以椭圆 E 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)设直线 AB 的方程为 y＝ 3(x＋1)， 由 y＝ 3x＋1， x2 4 ＋y2 3 ＝1， 得 5x2＋8x＝0， 解得 x1＝0，x2＝－8 5 ， 所以 y1＝ 3，y2＝－3 3 5 . 所以 S△ABF2＝c·|y1－y2|＝1×| 3＋3 3 5 |＝8 3 5 . 考点三 椭圆与向量的综合问题 [典例] (2019·长春质检)已知椭圆 C 的两个焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，且经过点 E 3， 3 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)过 F1 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点(点 A 位于 x 轴上方)，若 AF1 ―→＝2 F1B―→，求直 线 l 的斜率 k 的值． [解] (1)设椭圆 C 的方程为x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)， 由 2a＝|EF1|＋|EF2|＝4， a2＝b2＋c2， c＝1， 解得 a＝2， c＝1， b＝ 3， 所以椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)由题意得直线 l 的方程为 y＝k(x＋1)(k＞0)， 联立 y＝kx＋1， x2 4 ＋y2 3 ＝1， 整理得 3 k2 ＋4 y2－6 ky－9＝0， 则Δ＝144 k2 ＋144＞0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1＋y2＝ 6k 3＋4k2 ，y1y2＝ －9k2 3＋4k2 ， 又 AF1 ―→＝2 F1B―→，所以 y1＝－2y2， 所以 y1y2＝－2(y1＋y2)2， 则 3＋4k2＝8，解得 k＝± 5 2 ， 又 k＞0，所以 k＝ 5 2 . [解题技法] 解决椭圆中与向量有关问题的方法 (1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系． (2)利用向量关系转化成相关的等量关系． (3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题． [题组训练] 1．已知 F1，F2 为椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点， BF1 ―→ · BF2 ―→≥1 4F1F2 ―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A. 0，1 2 B. 0， 2 2 C. 0， 3 3 D. 1 2 ，1 解析：选 C 根据题意不妨设 B(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，因为 BF1 ―→ · BF2 ―→≥1 4F1F2 ―→2，BF1 ―→ ＝(－c，－b)，BF2 ―→＝(c，－b)，|F1F2|2＝4c2，所以 b2≥2c2，又因为 b2＝a2－c2，所以 a2≥3c2， 所以 0＜c a ≤ 3 3 . 2．已知椭圆 D：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F，A 为短轴的一个端点，且|OA|＝|OF|， △AOF 的面积为 1(其中 O 为坐标原点)． (1)求椭圆 D 的标准方程； (2)过椭圆 D 长轴左端点 C 作直线 l 与直线 x＝a 交于点 M，直线 l 与椭圆 D 的另一交点 为 P，求 OM ―→ · OP ―→的值． 解：(1)因为|OA|＝|OF|，所以 b＝c， 又△AOF 的面积为 1，所以 1 2bc＝1，解得 b＝c＝ 2， 所以 a2＝b2＋c2＝4， 所以椭圆 D 的标准方程为x2 4 ＋y2 2 ＝1. (2)由题意可知直线 MC 的斜率存在，设其方程为 y＝k(x＋2)， 代入x2 4 ＋y2 2 ＝1，得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0， 所以 P －4k2－2 2k2＋1 ， 4k 2k2＋1 .又 M(2,4k)， 所以 OM ―→ · OP ―→＝(2,4k)· －4k2－2 2k2＋1 ， 4k 2k2＋1 ＝4. [课时跟踪检测] A 级 1．(2019·长春二检)椭圆 4x2＋9y2＝144 内有一点 P(3,2)，则以 P 为中点的弦所在直线的 斜率为( ) A．－2 3 B．－3 2 C．－4 9 D．－9 4 解析：选 A 设以 P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为 k，则 4x21＋9y21＝144,4x22＋9y22＝144，两式相减得 4(x1＋x2)(x1－x2)＋9(y1＋y2)(y1－y2)＝0，又 x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，y1－y2 x1－x2 ＝k，代入解得 k＝－2 3. 2．已知直线 y＝－x＋1 与椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)相交于 A，B 两点，若椭圆的离心率 为 2 2 ，焦距为 2，则线段 AB 的长是( ) A.2 2 3 B.4 2 3 C. 2 D．2 解析：选 B 由条件知 c＝1，e＝c a ＝ 2 2 ，所以 a＝ 2，b＝1，椭圆方程为x2 2 ＋y2＝1， 联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)， 4 3 ，－1 3 ，所以|AB|＝4 2 3 . 3．斜率为 1 的直线 l 与椭圆x2 4 ＋y2＝1 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为( ) A．2 B.4 5 5 C.4 10 5 D.8 10 5 解析：选 C 设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线 l 的方程为 y＝x＋t， 由 x2＋4y2＝4， y＝x＋t 消去 y，得 5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0， 则 x1＋x2＝－8 5t，x1x2＝4t2－1 5 . ∴|AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2· x1＋x22－4x1x2 ＝ 2· －8 5t 2－4×4t2－1 5 ＝4 2 5 · 5－t2， 当 t＝0 时，|AB|max＝4 10 5 . 4．(2019·石家庄质检)倾斜角为π 4 的直线经过椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的右焦点 F，与椭 圆交于 A，B 两点，且 AF ―→＝2 FB ―→，则该椭圆的离心率为( ) A. 3 2 B. 2 3 C. 2 2 D. 3 3 解析：选 B 由题可知，直线的方程为 y＝x－c，与椭圆方程联立 x2 a2 ＋y2 b2 ＝1， y＝x－c， 得(b2 ＋a2)y2＋2b2cy－b4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设 A(x1，y1)， B(x2，y2)，则 y1＋y2＝－2b2c a2＋b2 ， y1y2＝ －b4 a2＋b2 ， 又 AF ―→＝2 FB ―→，∴(c－x1，－y1)＝2(x2－c，y2)， ∴ －y1＝2y2，可得 －y2＝－2b2c a2＋b2 ， －2y22＝ －b4 a2＋b2. ∴1 2 ＝ 4c2 a2＋b2 ，∴e＝ 2 3 ，故选 B. 5．已知点 P 是椭圆x2 16 ＋y2 8 ＝1 上的动点，F1，F2 分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标 原点，若 M 是∠F1PF2 的平分线上一点，且F1M ―→ · MP ―→＝0，则| OM ―→ |的取值范围是( ) A．[0,3) B．(0,2 2) C．[2 2，3) D．(0,4] 解析：选 B 如图，延长 F1M 交 PF2 的延长线于点 G. ∵F1M ―→ · MP ―→＝0，∴F1M ―→⊥ MP ―→ . 又 MP 为∠F1PF2 的平分线， ∴|PF1|＝|PG|，且 M 为 F1G 的中点． ∵O 为 F1F2 中点，∴OM 綊 1 2F2G. ∵|F2G|＝||PF2|－|PG||＝||PF1|－|PF2||， ∴| OM ―→ |＝1 2|2a－2|PF2||＝|4－|PF2||. ∵4－2 2<|PF2|<4 或 4<|PF2|<4＋2 2， ∴| OM ―→ |∈(0,2 2)． 6．已知 F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆 C 的两个焦点，过 F2 且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且|AB|＝3，则椭圆 C 的标准方程为________． 解析：由题意知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，且 c＝1，可设椭圆 C 的方程为x2 a2 ＋ y2 a2－1 ＝1(a ＞1)，由|AB|＝3，知点 1，3 2 在椭圆上，代入椭圆方程得 4a4－17a2＋4＝0，所以 a2＝4 或 a2＝1 4(舍去)．故椭圆 C 的标准方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. 答案：x2 4 ＋y2 3 ＝1 7．已知焦点在 x 轴上的椭圆 C：x2 a2 ＋y2＝1(a＞0)，过右焦点作垂直于 x 轴的直线交椭 圆于 A，B 两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为________． 解析：因为椭圆x2 a2 ＋y2＝1(a＞0)的焦点在 x 轴上，所以 c＝ a2－1，又过右焦点且垂直 于 x 轴的直线为 x＝c，将其代入椭圆方程中，得c2 a2 ＋y2＝1，则 y＝± 1－c2 a2 ，又|AB|＝1， 所以 2 1－c2 a2 ＝1，得c2 a2 ＝3 4 ，所以该椭圆的离心率 e＝c a ＝ 3 2 . 答案： 3 2 8．已知 P(1,1)为椭圆x2 4 ＋y2 2 ＝1 内一定点，经过 P 引一条弦，使此弦被 P 点平分，则此 弦所在的直线方程为________． 解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 k， 弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)， 则x21 4 ＋y21 2 ＝1 ①，x22 4 ＋y22 2 ＝1 ②， ①－②得x1＋x2x1－x2 4 ＋y1＋y2y1－y2 2 ＝0， ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2， ∴x1－x2 2 ＋y1－y2＝0， ∴k＝y1－y2 x1－x2 ＝－1 2. ∴此弦所在的直线方程为 y－1＝－1 2(x－1)， 即 x＋2y－3＝0. 答案：x＋2y－3＝0 9．(2019·湖北武汉部分学校调研)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：x2 a2 ＋y2＝1(a＞1， a∈R)上，过 O 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，F 为椭圆 C 的左焦点． (1)若△FAB 的面积的最大值为 1，求 a 的值； (2)若直线 MA，MB 的斜率乘积等于－1 3 ，求椭圆 C 的离心率． 解：(1)因为 S△FAB＝1 2|OF|·|yA－yB|≤|OF|＝ a2－1＝1，所以 a＝ 2. (2)由题意可设 A(x0，y0)，B(－x0，－y0)，M(x，y)， 则x2 a2 ＋y2＝1，x20 a2 ＋y20＝1， kMA·kMB＝y－y0 x－x0 ·y＋y0 x＋x0 ＝y2－y20 x2－x20 ＝ 1－x2 a2 － 1－x20 a2 x2－x20 ＝ － 1 a2x2－x20 x2－x20 ＝－ 1 a2 ＝－1 3 ， 所以 a2＝3，所以 a＝ 3，所以 c＝ a2－b2＝ 2， 所以椭圆 C 的离心率 e＝c a ＝ 2 3 ＝ 6 3 . 10．(2019·成都一诊)已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F( 3，0)，长半轴与 短半轴的比值为 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设经过点 A(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点 M，N.若点 B(0,1)在以线段 MN 为直径的圆上，求直线 l 的方程． 解：(1)由题可知 c＝ 3，a b ＝2，a2＝b2＋c2， ∴a＝2，b＝1. ∴椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2＝1. (2)易知当直线 l 的斜率为 0 或直线 l 的斜率不存在时，不合题意． 当直线 l 的斜率存在且不为 0 时，设直线 l 的方程为 x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 联立 x＝my＋1， x2＋4y2＝4 消去 x，可得(4＋m2)y2＋2my－3＝0. Δ＝16m2＋48＞0，y1＋y2＝ －2m 4＋m2 ，y1y2＝ －3 4＋m2. ∵点 B 在以 MN 为直径的圆上， ∴ BM ―→ · BN ―→＝0. ∵ BM ―→ · BN ―→＝(my1＋1，y1－1)·(my2＋1，y2－1)＝(m2＋1)y1y2＋(m－1)(y1＋y2)＋2＝0， ∴(m2＋1)· －3 4＋m2 ＋(m－1)· －2m 4＋m2 ＋2＝0， 整理，得 3m2－2m－5＝0，解得 m＝－1 或 m＝5 3. ∴直线 l 的方程为 x＋y－1＝0 或 3x－5y－3＝0. B 级 1．已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为1 2 ，点 A 在 椭圆 C 上，|AF1|＝2，∠F1AF2＝60°，过 F2 与坐标轴不垂直的直线 l 与椭圆 C 交于 P，Q 两 点，N 为线段 PQ 的中点． (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点 M 0，1 8 ，且 MN⊥PQ，求线段 MN 所在的直线方程． 解：(1)由 e＝1 2 ，得 a＝2c， 易知|AF1|＝2，|AF2|＝2a－2， 由余弦定理，得|AF1|2＋|AF2|2－2|AF1|·|AF2|cos A＝|F1F2|2， 即 4＋(2a－2)2－2×2×(2a－2)×1 2 ＝a2， 解得 a＝2，则 c＝1， ∴b2＝a2－c2＝3， ∴椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. (2)设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 y＝kx－1， x2 4 ＋y2 3 ＝1， 整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0， 则 x1＋x2＝ 8k2 3＋4k2 ，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2k＝ －6k 3＋4k2 ， ∴N 4k2 3＋4k2 ， －3k 3＋4k2 .又 M 0，1 8 ，则 kMN＝ 1 8 ＋ 3k 3＋4k2 0－ 4k2 3＋4k2 ＝－24k＋3＋4k2 32k2 . ∵MN⊥PQ，∴kMN＝－1 k ，得 k＝1 2 或3 2 ， 则 kMN＝－2 或 kMN＝－2 3 ，故直线 MN 的方程为 16x＋8y－1＝0 或 16x＋24y－3＝0. 2．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系 xOy 中，长为 2＋1 的线段的两端点 C，D 分别 在 x 轴，y 轴上滑动， CP ―→＝ 2 PD ―→ .记点 P 的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E 的方程； (2)经过点(0,1)作直线 l 与曲线 E 相交于 A，B 两点，OM ―→＝ OA ―→＋ OB ―→，当点 M 在曲线 E 上时，求直线 l 的方程． 解：(1)设 C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)． 由 CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x－m，y)＝ 2(－x，n－y)， 所以 x－m＝－ 2x， y＝ 2n－y， 得 m＝ 2＋1x， n＝ 2＋1 2 y， 由| CD ―→ |＝ 2＋1，得 m2＋n2＝( 2＋1)2， 所以( 2＋1)2x2＋ 2＋12 2 y2＝( 2＋1)2， 整理，得曲线 E 的方程为 x2＋y2 2 ＝1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 OM ―→＝ OA ―→＋ OB ―→，知点 M 的坐标为(x1＋x2，y1＋y2)． 易知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝kx＋1，代入曲线 E 的方程，得(k2＋2)x2 ＋2kx－1＝0， 则 x1＋x2＝－ 2k k2＋2 ， 所以 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝ 4 k2＋2 . 由点 M 在曲线 E 上，知(x1＋x2)2＋y1＋y22 2 ＝1， 即 4k2 k2＋22 ＋ 8 k2＋22 ＝1，解得 k2＝2，即 k＝± 2， 此时直线 l 的方程为 y＝± 2x＋1.