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文档介绍
2011年上海市春季高考数学试卷答案与解析
2011年上海市春季高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分. 1.(4分)(2011•上海)函数f(x)=lg(x﹣2)的定义域是 (2,+∞) . 【考点】对数函数的定义域.菁优网版权所有 【专题】函数的性质及应用. 【分析】对数的真数大于0,可得答案. 【解答】解:由x﹣2>0,得x>2,所以函数的定义域为(2,+∞). 故答案为:(2,+∞). 【点评】本题考查对数函数的定义域,是基础题. 2.(4分)(2011•上海)若集合A={x|x≥1},B={x|x2≤4},则A∩B= {x|1≤x≤2} . 【考点】交集及其运算.菁优网版权所有 【专题】计算题. 【分析】求解二次不等式化简集合B,然后直接利用交集运算求解. 【解答】解:由A={x|x≥1},B={x|x2≤4}={x|﹣2≤x≤2}, 所以A∩B={x|x≥1}∩{x|﹣2≤x≤2}={x|1≤x≤2}. 故答案为{x|1≤x≤2}. 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法,考查了交集及其运算,是基础题. 3.(4分)(2011•上海)在△ABC中,tanA=,则sinA= . 【考点】同角三角函数间的基本关系.菁优网版权所有 【专题】三角函数的求值. 【分析】由题意可得A为锐角,再由 tanA==,sin2A+cos2A=1,解方程组求得sinA的值. 【解答】解:在△ABC中,tanA=,则A为锐角,再由 tanA==,sin2A+cos2A=1, 求得sinA=, 故答案为 . 【点评】本题主要考查角三角函数的基本关系的应用,属于中档题. 4.(4分)(2011•上海)若行列式=0,则x= 1 . 【考点】二阶行列式与逆矩阵;函数的零点.菁优网版权所有 【专题】计算题. 【分析】先根据行列式的计算公式进行化简,然后解指数方程即可求出x的值. 【解答】解:∵=0, ∴2×2x﹣4=0,即2x=2, ∴x=1. 故答案为:1. 【点评】本题主要考查了行列式的基本运算,同时考查了指数方程,属于基础题. 5.(4分)(2011•上海)若,,则x= (结果用反三角函数表示) 【考点】反三角函数的运用.菁优网版权所有 【专题】计算题. 【分析】利用反正弦函数的定义,由角的范围为,故可直接得到答案. 【解答】解:由于,根据反正弦函数的定义可得x= 故答案为 【点评】本题的考点是反三角函数的运用,主要考查反正弦函数的定义,应特别主要角的范围. 6.(4分)(2011•上海)(x+)6的二项展开式的常数项为 20 . 【考点】二项式定理的应用.菁优网版权所有 【专题】二项式定理. 【分析】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于0,求出r的值,即可求得常数项. 【解答】解:(x+)6的二项展开式的通项公式为 Tr+1=•x6﹣r•x﹣r=•x6﹣2r. 令 6﹣2r=0,求得r=3,故展开式的常数项为 =20, 故答案为 20. 【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题. 7.(4分)(2011•上海)两条直线l1:x﹣y+2=0与l2:x﹣y+2=0的夹角的大小是 . 【考点】两直线的夹角与到角问题.菁优网版权所有 【分析】设两条直线的夹角为θ,求得tanθ=||的值,可得tan2θ的值,求得 2θ 的值,可得 θ的值. 【解答】解:由于两条直线l1:x﹣y+2=0与l2:x﹣y+2=0的斜率分别为、1,设两条直线的夹角为θ, 则tanθ=||=||==2﹣, ∴tan2θ==,∴2θ=,θ=, 故答案为 . 【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式,二倍角公式的应用,根据三角函数的值求角,属于中档题. 8.(4分)(2011•上海)若Sn为等比数列{an}的前n项的和,8a2+a5=0,则= ﹣7 . 【考点】等比数列的性质.菁优网版权所有 【专题】计算题. 【分析】根据已知的等式变形,利用等比数列的性质求出q3的值,然后分别根据等比数列的通项公式及前n项和公式,即可求出结果. 【解答】解:由8a2+a5=0,得到 =q3=﹣8 ===﹣7 故答案为:﹣7. 【点评】此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值,是一道基础题. 9.(4分)(2011•上海)若椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点,则椭圆C的方程是 . 【考点】椭圆的标准方程;双曲线的简单性质.菁优网版权所有 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先确定双曲线的顶点和焦点坐标,可得椭圆C的焦点和顶点坐标,从而可得椭圆C的方程 【解答】解:双曲线的顶点和焦点坐标分别为(±,0)、(±3,0) ∵椭圆C的焦点和顶点分别是双曲线的顶点和焦点, ∴椭圆C的焦点和顶点坐标分别为(±,0)、(±3,0) ∴a=3,c= ∴ ∴椭圆C的方程是 故答案为: 【点评】本题考查双曲线、椭圆的标准方程与性质,考查学生的计算能力,属于中档题. 10.(4分)(2011•上海)若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则|OP|2+|PF|2的最小值为 2 . 【考点】椭圆的简单性质.菁优网版权所有 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先求出左焦点坐标F,设P(x,y),根据P(x,y)在椭圆上可得到x、y的关系式,表示出|OP|2+|PF|2,再将x、y的关系式代入组成二次函数进而可确定答案. 【解答】解:由题意,F(﹣1,0),设点P(x,y),则有+y2=1,解得y2=1﹣, 因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+(x+1)2+y2=x2+(x+1)2+2﹣x2=(x+1)2+2, 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=﹣1, |OP|2+|PF|2的最小值为2. 故答案为:2. 【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、两点间的距离公式、二次函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力. 11.(4分)(2011•上海)根据如图所示的程序框图,输出结果i= 8 . 【考点】循环结构.菁优网版权所有 【专题】计算题. 【分析】按要求一步步代入循环体,直到符合要求退出循环,即可得到结论. 【解答】解:因为i=0,t=76; 不满足t≤0,∴t=76﹣10=66,i=0+1=1; 不满足t≤0,∴t=66﹣10=56,i=1+1=2; 不满足t≤0,∴t=56﹣10=46,i=2+1=3; 不满足t≤0,∴t=46﹣10=36,i=3+1=4; 不满足t≤0,∴t=36﹣10=26,i=4+1=5; 不满足t≤0,∴t=26﹣10=16,i=5+1=6; 不满足t≤0,∴t=16﹣10=6,i=6+1=7; 不满足t≤0,∴t=6﹣10=﹣4,i=7+1=8; 满足t≤0,输出结果i=8. 故答案为:8. 【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误. 12.(4分)(2011•上海)2011年上海春季高考有8所高校招生,如果某3位同学恰好被其中2所高校录取,那么录取方法的种数为 168 . 【考点】排列、组合及简单计数问题.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题. 【分析】解决这个问题得分三步完成,第一步把三个学生分成两组,第二步从8所学校中取两个学校,第三步,把学生分到两个学校中,再用乘法原理求解 【解答】解:由题意知本题是一个分步计数问题, 解决这个问题得分三步完成, 第一步把三个学生分成两组, 第二步从8所学校中取两个学校, 第三步,把学生分到两个学校中,共有C31C22A82=168 故答案为:168. 【点评】本题考查分步计数问题,本题解题的关键是把完成题目分成三步,看清每一步所包含的结果数,本题是一个基础题. 13.(4分)(2011•上海)有一种多面体的饰品,其表面右6个正方形和8个正三角形组成(如图),则AB与CD所成的角的大小是 . 【考点】异面直线及其所成的角.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题. 【分析】由图形补出正方体,可得所求的角即为ED与CD所成的角,在△CDE中,由余弦定理可得答案. 【解答】解:该饰品实际上就是正方体的8个顶角被切掉,切线经过正方体每条棱边的中点, 如图: 可得AB与CD所成的角即为ED与CD所成的角, 设正方体的棱长为2,在△CDE中,可得CD=DE=,EC=, 由余弦定理可得cos∠CDE==,故∠CDE=, 故AB与CD所成的角为 故答案为: 【点评】本题考查异面直线所成的角,补出正方体是解决问题的关键,属中档题. 14.(4分)(2011•上海)为求方程x5﹣1=0的虚根,可以把原方程变形为(x﹣1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=0,由此可得原方程的一个虚根为 . 【考点】根与系数的关系;复数相等的充要条件.菁优网版权所有 【专题】压轴题. 【分析】化简方程的左边,比较系数,求出a,b,再求方程的虚根. 【解答】解:由题可知(x﹣1)(x2+ax+1)(x2+bx+1)=(x﹣1)[x4+(a+b)x3+(2+ab)x2+(a+b)x+1] 比较系数可得,∴ ∴原方程的一个虚根为,中的一个 故答案为:. 【点评】本题考查方程的根,考查学生的计算能力,属于中档题. 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 15.(5分)(2011•上海)若向量,则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【考点】平面向量数量积的运算;向量的模;平行向量与共线向量;数量积判断两个平面向量的垂直关系.菁优网版权所有 【专题】平面向量及应用. 【分析】由给出的两个向量的坐标,求出的坐标,然后直接进行数量积的坐标运算求解. 【解答】解:由,则. 所以. 则. 故选C. 【点评】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,考查了利用数量积判断两个向量的垂直关系,解答的关键是熟记数量积的坐标运算公式,是基础题. 16.(5分)(2011•上海)f(x)=的图象关于( ) A.原点对称 B.直线y=x对称 C.直线y=﹣x对称 D.y轴对称 【考点】奇偶函数图象的对称性.菁优网版权所有 【专题】函数的性质及应用. 【分析】先判断函数的定义域,然后利用函数奇偶性的定义进行判断. 【解答】解:因为函数的定义域为R,所以定义域关于原点对称. f(x)==, 则f(﹣x)=2﹣x﹣2x=﹣(2x﹣2﹣x)=﹣f(x),即函数f(x)为奇函数. 故函数f(x)的图象关于原点对称. 故选A. 【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及函数奇偶性的图象关系,将函数进行化简是解决本题的关键. 17.(5分)(2011•上海)直线l:y=k(x+)与圆C:x2+y2=1的位置关系是( ) A.相交或相切 B.相交或相离 C.相切 D.相交 【考点】直线与圆的位置关系.菁优网版权所有 【专题】压轴题;直线与圆. 【分析】根据点到直线的距离求出圆心到直线的距离d,再根据d与半径r的大小关系,得出结论. 【解答】解:由于圆心(0,0),半径等于1, 圆心到直线l:y=k(x+)的距离为 d===<<r=1, 故直线和圆相交, 故选D. 【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式的应用,属于中档题. 18.(5分)(2011•上海)若,,均为单位向量,则=(,)是++=(,)的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.菁优网版权所有 【专题】计算题;压轴题. 【分析】均为单位向量,若,=(,)不成立;若=(,)可推得,由此可得. 【解答】解:均为单位向量,, 若,, 则=(,)不成立; 若均为单位向量, =(,)可推得 所以“”是“”的必要不充分条件, 故选B 【点评】本题考查必要条件、充分条件、充要条件的性质和应用,解题时要全面考虑. 三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号规定区域内写出必要的步骤. 19.(12分)(2011•上海)已知向量=(sin2x﹣1,cosx),=(1,2cosx),设函数f(x)=•,求函数f(x)的最小正周期及x∈[0,]时的最大值. 【考点】平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数;正弦函数的定义域和值域.菁优网版权所有 【专题】平面向量及应用. 【分析】利用两个向量的数量积公式求得函数f(x)的解析式为 sin(2x+),根据x∈[0,],利用正弦函数的定义域和值域求函数的最大值. 【解答】解:∵向量=(sin2x﹣1,cosx),=(1,2cosx), 函数f(x)=•=(sin2x﹣1)+2cos2x=sin2x+cos2x=sin(2x+), 故函数的周期为=π. ∵x∈[0,],∴≤2x+≤, 故当2x+=时,函数取得最大值为 . 【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式的应用,两角和的正弦公式,正弦函数的定义域和值域,属于中档题. 20.(14分)(2011•上海)某甜品店制作蛋筒冰淇淋,其上半部分呈半球形,下半部分呈圆锥形(如图).现把半径为10cm的圆形蛋皮分成5个扇形,用一个扇形蛋皮围成锥形侧面(蛋皮厚度忽略不计),求该蛋筒冰淇淋的表面积和体积(精确到0.01). 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积.菁优网版权所有 【专题】计算题. 【分析】设出蛋筒冰淇淋的底面半径和高,由圆形蛋皮的周长等于5倍圆锥的底面周长求得圆锥底面半径,进一步求出圆锥的高,然后直接利用表面积公式和体积公式求解. 【解答】解:设圆锥的底面半径为r,高为h. 因为,所以r=2. 则. 则圆锥的表面积S=. 体积V=. 故该蛋筒冰淇淋的表面积约为87.96cm2,体积约为57.80cm3. 【点评】本题考查了圆锥的表面积和体积,解答的关键是明确圆锥的底面周长是展开后的扇形的弧长,同时熟记有关公式,是基础题. 21.(14分)(2011•上海)已知抛物线F:y2=4x (1)△ABC的三个顶点在抛物线F上,记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为kAB,kBC,kCA,若A的坐标在原点,求kAB﹣kBC+kCA的值; (2)请你给出一个以P(2,1)为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形,写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式,并说明理由. 【考点】直线与圆锥曲线的关系;直线的斜率.菁优网版权所有 【专题】压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),把B、C点左边代入抛物线方程,利用斜率公式计算kAB﹣kBC+kCA的值即可; (2)先研究△PBC,四边形PBCD,五边形PBCDE,再研究n=2k,n=2k﹣1(k∈N,k≥2)边形的情形,最后研究n边形P1P2…Pn(k∈N,k≥3),按由特殊到一般的思路逐步得到结论; 【解答】解:(1)设B(x1,y1),C(x2,y2), ∵,, ∴kAB﹣kBC+kCA=+=﹣+=0; (2)①研究△PBC, kPB﹣kBC+kCP=﹣+=﹣+==1; ②研究四边形PBCD, kPB﹣kBC+kCD﹣kDP=﹣+﹣=0; ③研究五边形PBCDE, kPB﹣kBC+kCD﹣kDE+kEP=﹣+﹣==1; ④研究n=2k边形P1P2…P2k(k∈N,k≥2),其中P1=P, 有﹣…+=0, 证明:左边=+===0=右边; ⑤研究n=2k﹣1边形P1P2…P2k﹣1(k∈N,k≥2),其中P1=P, 有+﹣…+(﹣1)2k﹣2=1, 证明:左边=+===1=右边; ⑥研究n边形P1P2…Pn(k∈N,k≥3),其中P1=P, 有+﹣…+(﹣1)n﹣1=, 证明:左边=+(﹣1)n﹣1=[1+(﹣1)n﹣1]==右边. 【点评】本题考查直线斜率、直线与圆锥曲线的位置关系,考查学生逻辑推理能力及探究问题解决问题的能力. 22.(16分)(2011•上海)定义域为R,且对任意实数x1,x2都满足不等式f()≤的所有函数f(x)组成的集合记为M,例如,函数f(x)=kx+b∈M. (1)已知函数f(x)=,证明:f(x)∈M; (2)写出一个函数f(x),使得f(x0)∉M,并说明理由; (3)写出一个函数f(x)∈M,使得数列极限=1,=1. 【考点】数列与函数的综合;数列的极限.菁优网版权所有 【专题】压轴题;等差数列与等比数列. 【分析】(1)分类讨论,验证f()≤成立,即可得到结论; (2)利用条件,构造函数f(x)=﹣x2,f(x)∉M,再取值验证即可; (3)利用条件,构造函数f(x)=满足f(x)∈M,验证条件即可. 【解答】解:(1)证明:由题意,当x1≤x2≤0或0≤x1≤x2时,f()≤成立 设x1≤0≤x2,且<0, ∵﹣f()==0 ∴f()≤成立 设x1≤0≤x2,且≥0, ∵﹣f()==0 ∴f()≤成立 ∴综上所述,f(x)∈M; (2)如函数f(x)=﹣x2,f(x)∉M 取x1=﹣1,x2=1,则=﹣1,f()=0 此时f()≤不成立; (3)f(x)=满足f(x)∈M,且==1,==1. 【点评】本题考查新定义,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题. 23.(18分)(2011•上海)对于给定首项x0>(a>0),由递推公式xn+1=(xn+)(n∈N)得到数列{xn},对于任意的n∈N,都有xn>,用数列{xn}可以计算的近似值. (1)取x0=5,a=100,计算x1,x2,x3的值(精确到0.01);归纳出xn,xn+1,的大小关系; (2)当n≥1时,证明:xn﹣xn+1<(xn﹣1﹣xn); (3)当x0∈[5,10]时,用数列{xn}计算的近似值,要求|xn﹣xn+1|<10﹣4,请你估计n,并说明理由. 【考点】数列递推式;数列与不等式的综合;反证法与放缩法.菁优网版权所有 【专题】压轴题;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 【分析】(1)利用数列递推式,代入计算,即可得到结论,同时可猜想结论; (2)作差,利用条件,证明其大于0,即可得到结论; (3)由题意,只要,由此可估计n的值. 【解答】(1)解:∵x0=5,a=100,xn+1=(xn+) ∴x1=(5+)≈4.74 同理可得x2≈4.67,x3≈4.65 猜想xn>xn+1; (2)证明:xn﹣xn+1﹣(xn﹣1﹣xn)== ∵; ∴xn﹣xn+1==>0 ∴xn>xn+1 ∴; (3)解:由(2)知<…< 由题意,只要,即2n>104(x0﹣x1) ∵ ∴n>=15.1 ∴n=16. 【点评】本题考查数列递推式,考查不等式的证明,考查放缩法的运用,考查学生分析解决问题的能力,难度较大. 查看更多