北京高考导数大题分类

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北京高考导数大题分类

导数大题分类 一、含参数单调区间的求解步骤:‎ ‎ ①确定定义域(易错点)‎ ‎ ②求导函数 ‎ ③对进行整理,能十字交叉的十字交叉分解,若含分式项,则进行通分整理.‎ ‎ ④中的最高次系数是否为0,为0时求出单调区间.‎ ‎ 例1:,则要首先讨论情况 ‎ ⑤最高次系数不为0,讨论参数取某范围的值时,若,则在定义域内单调递增;若,则在定义域内单调递减. ‎ ‎ 例2:,则 = ,显然时,此时的单调区间为.‎ ‎ ⑥最高次系数不为0,且参数取某范围的值时,不会出现或者的情况 ‎ 求出=0的根,(一般为两个),判断两个根是否都在定义域内.如果只有一根在定义域内,那么单调区间只有两段.‎ ‎ 若两根都在定义域内且一根为常数,一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间,即.‎ ‎ 例3:若,则,‎ ‎ 解方程得 ‎ 时,只有在定义域内.‎ ‎ 时,比较两根要分三种情况:‎ ‎ 用所得的根将定义域分成几个不同的子区间,讨论在每个子区间内的正负,求得 ‎ 的单调区间。 ‎ ‎(1)求函数的单调区间 ‎1.已知函数 ‎ ‎(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程.‎ ‎(Ⅱ)求得单调区间.‎ ‎2. 已知函数,. ‎ ‎(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)讨论的单调性.‎ ‎3.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)当时,求函数值域;‎ ‎(Ⅱ)当时,求函数的单调区间.‎ ‎4.已知函数,其中.‎ ‎(Ⅰ)若,求函数的极值;‎ ‎(Ⅱ)当时,试确定函数的单调区间.‎ ‎(二)求函数在给定的区间的最值问题 ‎5.已知函数 ,.‎ ‎(Ⅰ)若曲线与在它们的交点处具有公切线,求的值.‎ ‎(Ⅱ)当时,求函数的单调区间,并求其在上的最大值.‎ ‎6.已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若函数在区间的最小值为,求的值.‎ ‎7.已知函数(其中为常数且)在处取得极值.‎ ‎(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)若函数在区间[0,e]上的最大值为1,求的值.‎ ‎8.已知函数,其中.‎ ‎(Ⅰ)若是的极值点,求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)若在上的最大值是,求的取值范围.‎ ‎9.已知,其中.‎ ‎(Ⅰ)若函数在点处切线斜率为,求的值;‎ ‎(Ⅱ)求的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)若在上的最大值是,求的取值范围.‎ ‎10.设函数,.‎ ‎(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求证: ;‎ ‎(Ⅲ)当时,求函数在上的最大值.‎ 二、恒成立问题的几种问法:‎ ‎1.对于,恒成立,等价于函数在上的最小值.诉讼 ‎2.对于,恒成立,等价于函数在上的最大值.‎ ‎3.对于,,等价于在区间上的最小值,大于等于 在区间上的最大值,即.‎ ‎4. 对于,,等价于在区间上的最大值,小于等于 在区间上的最小值,即.‎ ‎5.对于,,等价于构造函数,在区间上的最小值 ‎.‎ ‎6.对于,,等价于构造函数,在区间上的最大值 ‎.‎ ‎7.在区间上单调递增,等价于.‎ ‎8.在区间上单调递减,等价于.‎ ‎1.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求的单调区间.‎ ‎(Ⅱ)若对于任意的,都有,求的取值范围.‎ ‎2.设为曲线C:在点处的切线.‎ ‎(Ⅰ)求的方程.‎ ‎(Ⅱ)证明:除切点外,曲线C在直线下方.‎ ‎3.已知函数,‎ ‎(Ⅰ)求证:‎ ‎(Ⅱ)若在上恒成立,求的最大值和的最小值.‎ ‎5.已知,函数,. ‎ ‎(Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)求证:对于任意的,都有.‎ ‎6.已知函数,.‎ ‎(Ⅰ)若曲线在点处的切线与直线垂直,求的值;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)设,当时,都有成立,求实数的取值范围.‎ ‎7.已知函数 ‎ ‎ (Ⅰ)当时求的极小值 . ‎ ‎(Ⅱ) 若函数在区间上为增函数,求得取值范围 ‎8. 已知.‎ ‎(I)求函数在上的最小值;‎ ‎(II)对一切恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎9.已知函数 ‎(I)若函数在处的切线垂直于轴,求实数a的值;‎ ‎(II) 在(I)的条件下,求函数的单调区间;‎ ‎(III) 若恒成立,求实数a的取值范围.‎ ‎10.已知函数,其中a R .‎ ‎⑴ 当 时,求 f (x)的单调区间;‎ ‎⑵ 当a> 0时,证明:存在实数m > 0,使得对于任意的实数x,都有| f (x)|≤m成立.‎ 三、存在性问题的几种问法:‎ ‎1.,使得成立,等价函数在上的最大值.‎ ‎2.,使得成立,等价函数在上的最小值.‎ ‎3.,使得成立,等价于在区间上的最大值,大于等于 ‎ 在区间上的最小值,即.‎ ‎4.,使得,等价于在区间上的最小值,小于等于 ‎ 在区间上的最大值,即.‎ ‎5.,使得,等价于构造函数,在区间上的最大值 ‎.‎ ‎6. ,使得,等价于构造函数,在区间上的最小值 ‎ ‎ .‎ ‎7.在区间上存在单调递增区间,等价于的最大值.‎ ‎8.在区间上存在单调递减区间,等价于的最小值.‎ ‎1.已知曲线.‎ ‎(Ⅰ)求曲线在点()处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)若存在使得,求的取值范围.‎ ‎2.已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)求函数的单调区间;‎ ‎(Ⅲ)设函数.若至少存在一个,使得成立,求实数的取值范围.‎ ‎3.已知函数 ‎(Ⅰ)若,求函数的极值和单调区间;‎ ‎(Ⅱ) 若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.‎ ‎4.已知函数.‎ ‎ (Ⅰ)当时,求在区间上的最小值;‎ ‎ (Ⅱ)求证:存在实数,有.‎ 四、切线问题 ‎1.已知函数.‎ ‎ (Ⅰ)求函数的单调区间;‎ ‎ (Ⅱ)当时,都有成立,求的取值范围;‎ ‎ (Ⅲ)试问过点可作多少条直线与曲线相切?并说明理由.‎ ‎2.已知函数.‎ ‎(I)求曲线在点处的切线方程;‎ ‎(II)设,如果过点可作曲线的三条切线, 证明:.‎ 五、 特殊问题 ‎1.已知函数. ‎ ‎(Ⅰ)求函数的零点及单调区间;‎ ‎(Ⅱ)求证:曲线存在斜率为6的切线,且切点的纵坐标.‎ 六、构造函数模型 ‎1.设函数,.‎ ‎(Ⅰ)当时,求的单调区间;‎ ‎(Ⅱ)当时,恒成立,求的取值范围;‎ ‎(Ⅲ)求证:当时,.‎ ‎ ‎
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