2015高考数学（理）（直线与直线的位置关系）一轮复习学案

2015高考数学（理）（直线与直线的位置关系）一轮复习学案

学案48　直线与直线的位置关系 导学目标： 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．‎ 自主梳理 ‎1．两直线的位置关系 平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况．‎ ‎(1)两直线平行 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，‎ l1∥l2⇔________________________.‎ 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，‎ l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2B‎2C2≠0)，‎ l1∥l2⇔________________________.‎ ‎(2)两直线垂直 对于直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，‎ l1⊥l2⇔k1·k2＝____.‎ 对于直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，‎ l2：A2x＋B2y＋C2＝0，‎ l1⊥l2⇔A‎1A2＋B1B2＝____.‎ ‎2．两条直线的交点 两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，‎ l2：A2x＋B2y＋C2＝0，‎ 如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的________，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有________．‎ ‎3．有关距离 ‎(1)两点间的距离 平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝__________________________________.‎ ‎(2)点到直线的距离 平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝________________________.‎ ‎(3)两平行线间的距离 已知l1、l2是平行线，求l1、l2间距离的方法：‎ ‎①求一条直线上一点到另一条直线的距离；‎ ‎②设l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，则l1与l2之间的距离d＝________________.‎ 自我检测 ‎1．(2011·济宁模拟)若点P(a,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y－3<0表示的平面区域内，则实数a的值为(　　)‎ A．7 B．－‎7 ‎ C．3 D．－3‎ ‎2．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2恒过定点(　　)‎ A．(0,4) B．(0,2)‎ C．(－2,4) D．(4，－2)‎ ‎3．已知直线l1：ax＋by＋c＝0，直线l2：mx＋ny＋p＝0，则＝－1是直线l1⊥l2的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．(2009·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　)‎ A．1或3 B．1或5‎ C．3或5 D．1或2‎ ‎5．已知2x＋y＋5＝0，则的最小值是________.‎ 探究点一　两直线的平行与垂直 例1　已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0.求满足以下条件的a、b的值：‎ ‎(1)l1⊥l2且l1过点(－3，－1)；‎ ‎ (2)l1∥l2，且原点到这两条直线的距离相等．‎ 变式迁移1　已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0，‎ ‎(1)试判断l1与l2是否平行；‎ ‎(2)l1⊥l2时，求a的值．‎ 探究点二　直线的交点坐标 例2　已知直线l1：4x＋7y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x＋3my－4＝0.当m为何值时，三条直线不能构成三角形．‎ 变式迁移2　△ABC的两条高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A的坐标为(1,2)，求BC边所在直线的方程．‎ 探究点三　距离问题 例3　(2011·厦门模拟)已知三条直线：l1：2x－y＋a＝0 (a>0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0.且l1与l2的距离是.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)能否找到一点P，使P同时满足下列三个条件：‎ ‎①点P在第一象限；‎ ‎②点P到l1的距离是点P到l2的距离的；‎ ‎③点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是∶.‎ 若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．‎ 变式迁移3　已知直线l过点P(3,1)且被两平行线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的线段长为5，求直线l的方程．‎ 转化与化归思想的应用 例　(12分)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：‎ ‎(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；‎ ‎(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；‎ ‎(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．‎ ‎【答题模板】‎ 解　(1)设A′(x，y)，再由已知 ‎∴A′.[4分]‎ ‎(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则得M′.[6分]‎ 设直线m与直线l的交点为N，则由 得N(4,3)．‎ 又∵m′经过点N(4,3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.[8分]‎ ‎(3)方法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点，‎ 如M(1,1)，N(4,3)，则M，N关于点A(－1，－2)的对称点M′，N′均在直线l′上，‎ 易得M′(－3，－5)，N′(－6，－7)，[10分]‎ 再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0.[12分]‎ 方法二　∵l∥l′，∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0 (C≠1)，‎ ‎∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等，∴由点到直线的距离公式得 ＝，解得C＝－9，[10分]‎ ‎∴l′的方程为2x－3y－9＝0.[12分]‎ 方法三　设P(x，y)为l′上任意一点，‎ 则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，[10分]‎ ‎∵点P′在直线l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，‎ 即2x－3y－9＝0.[12分]‎ ‎【突破思维障碍】‎ 点关于直线对称是轴对称中最基本的，要抓住两点：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是已知点与对称点为端点的线段中点在对称轴上．直线关于点的对称可转化为点关于点的对称，直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称．‎ ‎【易错点剖析】‎ ‎(1)点关于线对称，不能转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．‎ ‎(2)线关于线对称，不能转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，不能转化为点关于点的对称问题．‎ ‎1．在两条直线的位置关系中，讨论最多的还是平行与垂直，它们是两条直线的特殊位置关系．解题时认真画出图形，有助于快速准确地解决问题．判断两直线平行与垂直时，不要忘记考虑斜率不存在的情形，利用一般式则可避免分类讨论．‎ ‎2．运用公式d＝求两平行直线间的距离时，一定要把x、y项系数化为相等的系数．‎ ‎3．对称思想是高考热点，主要分为中心对称和轴对称两种，关键要把握对称问题的本质，必要情况下可与函数的对称轴建立联系．‎ ‎(满分：75分)‎ 一、选择题(每小题5分，共25分)‎ ‎1．直线3x＋2y＋4＝0与2x－3y＋4＝0(　　)‎ A．平行 B．垂直 C．重合 D．关于直线y＝－x对称 ‎2．(2011·六安月考)若直线x＋ay－a＝0与直线ax－(‎2a－3)y－1＝0互相垂直，则a的值是(　　)‎ A．2 B．－3或‎1 ‎ C．2或0 D．1或0‎ ‎3．已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)、B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于(　　)‎ A．－4 B．－‎2 ‎ C．0 D．2‎ ‎4．P点在直线3x＋y－5＝0上，且点P到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为(　　)‎ A．(1,2) B．(2,1)‎ C．(1,2)或(2，－1) D．(2,1)或(－1,2)‎ ‎5．设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a、b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是(　　)‎ A.， B.， C.， D.， 二、填空题(每小题4分，共12分)‎ ‎6．(2011·重庆云阳中学高三月考)直线l1：x＋my＋6＝0和l2：3x－3y＋2＝0，若l1∥l2，则m的值为______．‎ ‎7．设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最大时，直线l的方程为______________．‎ ‎8．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是 ‎①15°　②30°　③45°　④60°　⑤75°‎ 其中正确答案的序号是________．‎ 三、解答题(共38分)‎ ‎9．(12分)(2011·福州模拟)k为何值时，直线l1：y＝kx＋3k－2与直线l2：x＋4y－4＝0的交点在第一象限．‎ ‎10．(12分)已知点P1(2,3)，P2(－4,5)和A(－1,2)，求过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程．‎ ‎11．(14分)(2011·杭州调研)过点P(3,0)作一直线，使它夹在两直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段AB恰被点P平分，求此直线的方程．‎ 学案48　直线与直线的位置关系 自主梳理 ‎1．(1)k1＝k2且b1≠b2　＝≠　(2)－1　0‎ ‎2．解　交点　唯一解　3.(1) ‎(2)　(3)② 自我检测 ‎1．D　2.B　3.A　4.C ‎5. 课堂活动区 例1　解题导引　运用直线的斜截式y＝kx＋b时，要特别注意直线斜率不存在时的特殊情况．运用直线的一般式Ax＋By＋C＝0时，要特别注意A、B为0时的情况，求解两直线平行或垂直有关的问题并与求直线方程相联系，联立方程组求解，对斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法研究．‎ 解　(1)由已知可得l2的斜率必存在，且k2＝1－a.‎ 若k2＝0，则a＝1.由l1⊥l2，l1的斜率不存在，∴b＝0.‎ 又l1过(－3，－1)，∴－‎3a＋b＋4＝0，‎ ‎∴b＝‎3a－4＝－1，矛盾．∴此情况不存在，即k2≠0.‎ 若k2≠0，即k1＝，k2＝1－a.‎ 由l1⊥l2，得k1k2＝(1－a)＝－1.‎ 由l1过(－3，－1)，得－‎3a＋b＋4＝0，‎ 解之得a＝2，b＝2.‎ ‎(2)∵l2的斜率存在，l1∥l2，∴l1的斜率存在，‎ ‎∴k1＝k2，即＝1－a.‎ 又原点到两直线的距离相等，且l1∥l2，‎ ‎∴l1、l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.‎ 解之得或 ‎∴a、b的值为2和－2或和2.‎ 变式迁移1　解　(1)方法一　当a＝1时，‎ l1：x＋2y＋6＝0，‎ l2：x＝0，l1与l2不平行；‎ 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不平行；‎ 当a≠1且a≠0时，两直线可化为l1：y＝－x－3，‎ l2：y＝x－(a＋1)，‎ l1∥l2⇔　解得a＝－1，‎ 综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．‎ 方法二　由A1B2－A2B1＝0，‎ 得a(a－1)－1×2＝0.‎ 由A‎1C2－A‎2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，‎ ‎∴l1∥l2⇔⇔ ‎∴a＝－1，故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行．‎ ‎(2)方法一　当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直；‎ 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1与l2不垂直；‎ 当a≠1且a≠0时，l1：y＝－x－3，‎ l2：y＝x－(a＋1)，‎ 由·＝－1⇒a＝.‎ 方法二　由A‎1A2＋B1B2＝0，‎ 得a＋2(a－1)＝0⇒a＝.‎ 例2　解题导引　①转化思想的运用 ⇐⇐‎ ⇐⇐ ‎②分类讨论思想的运用 本题依据直线的位置关系将不能构成三角形的情况分成两类，分类应注意按同一标准，不重不漏．‎ 解　当三条直线共点或至少有两条直线平行时，不能围成三角形．‎ ‎①三条直线共点时，‎ 由得 (m2≠)，‎ 即l2与l3的交点为，‎ 代入l1的方程得4×＋7×－4＝0，‎ 解得m＝，或m＝2.‎ ‎②当l1∥l2时，4＝‎7m，∴m＝；‎ 当l1∥l3时，4×‎3m＝7×2，∴m＝；‎ 当l2∥l3时，‎3m2‎＝2，即m＝±.‎ ‎∴m取集合中的元素时，三条直线不能构成三角形．‎ 变式迁移2　解　可以判断A不在所给的两条高所在的直线上，则可设AB，AC边上的高所在直线的方程分别为2x－3y＋1＝0，x＋y＝0，‎ 则可求得AB，AC边所在直线的方程分别为 y－2＝－(x－1)，y－2＝x－1，‎ 即3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0.‎ 由，得B(7，－7)，‎ 由，得C(－2，－1)，‎ 所以BC边所在直线的方程为2x＋3y＋7＝0.‎ 例3　解题导引　在应用平行线间的距离公式求两条平行线间的距离时，应注意公式的适用条件，即在两条平行线的方程中x与y的系数化为分别对应相等的条件下，才能应用该公式．‎ 如本例中求两条直线2x－y＋a＝0与－4x＋2y＋1＝0间的距离时，需将前一条直线化为－4x＋2y－‎2a＝0，或将后一条直线化为2x－y－＝0后，再应用平行线间的距离公式．‎ 解　(1)∵l1：4x－2y＋‎2a＝0 (a>0)，l2：4x－2y－1＝0，‎ ‎∴两条平行线l1与l2间的距离为d＝，‎ 由已知，可得＝.‎ 又a>0，可解得a＝3.‎ ‎(2)设点P的坐标为(x，y)，‎ 由条件①，可知x>0，y>0.‎ 由条件②和③，‎ 可得，‎ 化简得，‎ 于是可得，4|x＋y－1|＝|4x－2y－1|，‎ 也就是4(x＋y－1)＝4x－2y－1，或4(x＋y－1)＝－4x＋2y＋1，‎ 解得y＝，或8x＋2y－5＝0.‎ 当y＝时，代入方程|2x－y＋3|＝|x＋y－1|，‎ 解得x＝－3<0或x＝－<0，均舍去．‎ 由，‎ 化简得，或，‎ 解得或(舍去)．‎ 即存在满足题设条件的点P，其坐标为.‎ 变式迁移3　解　方法一　若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x＝3，此时与l1，l2的交点分别是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的线段长|AB|＝|－4＋9|＝5，符合题意．‎ 当直线l的斜率存在时，则设直线l的方程为y＝k(x－3)＋1，分别与直线l1，l2的方程联立，‎ 由　解得A.‎ 由解得B.‎ 由两点间的距离公式，得 2＋2＝25，‎ 解得k＝0，即所求直线方程为y＝1.‎ 综上可知，直线l的方程为x＝3或y＝1.‎ 方法二　因为两平行线间的距离 d＝＝，‎ 如图，直线l被两平行线截得的线段长为5，‎ 设直线l与两平行线的夹角为θ，‎ 则sin θ＝，所以θ＝45°.‎ 因为两平行线的斜率是－1，‎ 故所求直线的斜率不存在或为0.‎ 又因为直线l过点P(3,1)，‎ 所以直线l的方程为x＝3或y＝1.‎ 课后练习区 ‎1．B　2.C　3.B　4.C　5.D ‎6．－1　7.3x－2y＋5＝0　8.①⑤‎ ‎9．解　由，得.(5分)‎ ‎∵两直线的交点在第一象限，‎ ‎∴，∴

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