数列高考复习题含答案

数列高考复习题含答案

数列练习题 ‎1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝2 005，则序号n等于( )．‎ A．667 B．668 C．669 D．670‎ ‎2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝( )．‎ A．33 B．72 C．84 D．189‎ ‎3．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则( )． ‎ A．a1a8＞a4a5 B．a1a8＜a4a5 C．a1＋a8＜a4＋a5 D．a1a8＝a4a5+‎ ‎4．已知方程(x2－2x＋m)(x2－2x＋n)＝0的四个根组成一个首项为的等差数列，则 ‎｜m－n｜等于( )．‎ A．1 B． C． D． ‎ ‎5．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( ).‎ A．81 B．120 C．168 D．192‎ ‎6．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是( )．‎ A．4 005 B．4 006 C．4 007 D．4 008 ‎ ‎7．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2＝( )．‎ A．－4 B．－6 C．－8 D． －10‎ ‎8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝( )．‎ A．1 B．－1 C．2 D．‎ ‎9．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则的值是( )．‎ A． B．－ C．－或 D．‎ ‎10．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－＋an＋1＝0(n≥2)，若S2n－1＝38，则n＝( )．‎ A．38 B．20 C．10 D．9‎ 二、填空题 ‎11．已知等比数列{an}中，‎ ‎(1)若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝ ．‎ ‎(2)若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝ ．‎ ‎(3)若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝ .‎ ‎12．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ．‎ ‎13．在等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则此数列前13项之和为 .‎ ‎14．在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋…＋a10＝ .‎ ‎15．设平面内有n条直线(n≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用f(n)表示这n条直线交点的个数，则f(4)＝ ；当n＞4时，f(n)＝ ． ‎ 三、解答题 ‎16．(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，求证数列{an}成等差数列.‎ ‎(2)已知，，成等差数列，求证，，也成等差数列.‎ ‎17．设{an}是公比为 q 的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．‎ ‎(1)求q的值；‎ ‎(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．‎ ‎18．数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1，2，3…)．‎ 求证：数列{}是等比数列．‎ 19． 已知数列{an}是首项为a且公比不等于1的等比数列，Sn为其前n项和，a1，2a7，3a4成等差数列.‎ 求证：12S3，S6，S12－S6成等比数列.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．C 解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋(n－1)d，即2 005＝1＋3(n－1)，∴n＝699．‎ ‎2．C 解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．‎ 设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意得a1＋a2＋a3＝21，‎ 即a1(1＋q＋q2)＝21，又a1＝3，∴1＋q＋q2＝7．‎ 解得q＝2或q＝－3(不合题意，舍去)，‎ ‎∴a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝3×22×7＝84．‎ ‎3．B．‎ 解析：由a1＋a8＝a4＋a5，∴排除C．‎ 又a1·a8＝a1(a1＋7d)＝a12＋7a1d，‎ ‎∴a4·a5＝(a1＋3d)(a1＋4d)＝a12＋7a1d ＋12d2＞a1·a8．‎ ‎4．C 解析：‎ 解法1：设a1＝，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0中两根之和为2，x2－2x＋n＝0中两根之和也为2，‎ ‎∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，‎ ‎∴d＝，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1＝，a3＝是另一个方程的两个根．‎ ‎∴，分别为m或n，‎ ‎∴｜m－n｜＝，故选C．‎ 解法2：设方程的四个根为x1，x2，x3，x4，且x1＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n．‎ 由等差数列的性质：若g＋s＝p＋q，则ag＋as＝ap＋aq，若设x1为第一项，x2必为第四项，则x2＝，于是可得等差数列为，，，，‎ ‎∴m＝，n＝，‎ ‎∴｜m－n｜＝．‎ ‎5．B 解析：∵a2＝9，a5＝243，＝q3＝＝27，‎ ‎ ∴q＝3，a1q＝9，a1＝3，‎ ‎ ∴S4＝＝＝120．‎ ‎6．B 解析：‎ 解法1：由a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，知a2 003和a2 004两项中有一正数一负数，又a1＞0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a2 003＞a2 004，即a2 003＞0，a2 004＜0.‎ ‎∴S4 006＝＝＞0，‎ ‎∴S4 007＝·(a1＋a4 007)＝·2a2 004＜0，‎ 故4 006为Sn＞0的最大自然数. 选B．‎ ‎(第6题)‎ 解法2：由a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003·a2 004＜0，同解法1的分析得a2 003＞0，a2 004＜0，‎ ‎∴S2 003为Sn中的最大值．‎ ‎∵Sn是关于n的二次函数，如草图所示，‎ ‎∴2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小，‎ ‎∴在对称轴的右侧．‎ 根据已知条件及图象的对称性可得4 006在图象中右侧零点B的左侧，4 007，4 008都在其右侧，Sn＞0的最大自然数是4 006．‎ ‎7．B 解析：∵{an}是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，‎ 又由a1，a3，a4成等比数列，‎ ‎∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，解得a1＝－8，‎ ‎∴a2＝－8＋2＝－6．‎ ‎8．A 解析：∵＝＝＝·＝1，∴选A．‎ ‎9．A 解析：设d和q分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d且－4＝(－1)q4，‎ ‎∴d＝－1，q2＝2，‎ ‎∴＝＝．‎ ‎10．C 解析：∵{an}为等差数列，∴＝an－1＋an＋1，∴＝2an，‎ 又an≠0，∴an＝2，{an}为常数数列，‎ 而an＝，即2n－1＝＝19， ‎ ‎∴n＝10．‎ 二、填空题 ‎11．（1）32；（2）4；（3）32．‎ 解析：（1）由a3·a5＝，得a4＝2，‎ ‎∴a2·a3·a4·a5·a6＝＝32．‎ ‎（2），‎ ‎∴a5＋a6＝(a1＋a2)q4＝4．‎ ‎（3），‎ ‎∴a17＋a18＋a19＋a20＝S4q16＝32．‎ ‎12．216．‎ 解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与，同号，由等比中项的中间数为＝6，插入的三个数之积为××6＝216．‎ ‎13．26．‎ 解析：∵a3＋a5＝2a4，a7＋a13＝2a10，‎ ‎∴6(a4＋a10)＝24，a4＋a10＝4，‎ ‎∴S13＝＝＝＝26．‎ ‎14．－49．‎ 解析：∵d＝a6－a5＝－5，‎ ‎∴a4＋a5＋…＋a10‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝7(a5＋2d)‎ ‎＝－49．‎ ‎15．5，(n＋1)(n－2)．‎ 解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交，∴f(k)＝f(k－1)＋(k－1)．‎ 由f(3)＝2，‎ f(4)＝f(3)＋3＝2＋3＝5，‎ f(5)＝f(4)＋4＝2＋3＋4＝9，‎ ‎……‎ f(n)＝f(n－1)＋(n－1)，‎ 相加得f(n)＝2＋3＋4＋…＋(n－1)＝(n＋1)(n－2)．‎ 三、解答题 ‎16．分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项差为常数．‎ 证明：（1）n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5，‎ n＝1时，亦满足，∴an＝6n－5(n∈N*)．‎ 首项a1＝1，an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常数)(n∈N*)，‎ ‎∴数列{an}成等差数列且a1＝1，公差为6．‎ ‎（2）∵，，成等差数列，‎ ‎ ∴＝＋化简得2ac＝b(a＋c)．‎ ‎ ＋＝＝＝＝＝2·，‎ ‎∴，，也成等差数列．‎ ‎17．解：（1）由题设2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q，‎ ‎∵a1≠0，∴2q2－q－1＝0，‎ ‎∴q＝1或－．‎ ‎（2）若q＝1，则Sn＝2n＋＝．‎ 当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝＞0，故Sn＞bn．‎ 若q＝－，则Sn＝2n＋ (－)＝．‎ 当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝，‎ 故对于n∈N+，当2≤n≤9时，Sn＞bn；当n＝10时，Sn＝bn；当n≥11时，Sn＜bn．‎ ‎18．证明：∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，‎ ‎∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，整理得nSn＋1＝2(n＋1) Sn，‎ 所以＝．‎ 故{}是以2为公比的等比数列．‎ ‎19．证明：由a1，2a7，3a4成等差数列，得4a7＝a1＋3a4，即4 a1q6＝a1＋3a1q3，‎ ‎ 变形得(4q3＋1)(q3－1)＝0，‎ ‎ ∴q3＝－或q3＝1(舍)．‎ ‎ 由＝＝＝；‎ ‎ ＝－1＝－1＝1＋q6－1＝；‎ ‎ 得＝．‎ ‎ ∴12S3，S6，S12－S6成等比数列．‎