北京东城区高考二模数学理科试题word版含解析

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北京东城区高考二模数学理科试题word版含解析

北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习(二)‎ 高三数学 (理科)‎ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 第Ⅰ卷(选择题 共40分)‎ 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.‎ ‎1. 已知复数,若是纯虚数,则实数等于( B )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.对于非零向量,,“”是“”的( A )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3. 执行如图所示的程序框图,输出的等于(C )‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ ‎4.右图是一个几何体的三视图, 根据图中的数据,计算该几何 ‎ 体的表面积为( D )‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D.‎ ‎5. 已知不等式组表示的平面区域为,若直线与平面区域有公共点,则的取值范围是( A )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.已知函数若数列满足,且是递增数列,则实数的取值范围是( C )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知抛物线与双曲线有相同的焦点,点 是两曲线的一个交点,且轴,若为双曲线的一条渐近线,则的倾斜角所在的区间可能是( D )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎8. 已知集合,函数的定义域、值域都是,且对于任意,. 设是的任意一个排列,定义数表,若两个数表的对应位置上至少有一个数不同,就说这是两张不同的数表,那么满足条件的不同的数表的张数为 ( A )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷(共110分)‎ ‎ 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡相应位置的横线上.‎ ‎9. 命题“”的否定是 . ‎ ‎10. 如图,从圆外一点引圆的切线和割线,已知 ‎,,圆的半径为,则圆心到的距离 为 .‎ ‎11.已知一个样本容量为的样本数据的频率分布直方图如图所示,样本数据落在内的样本频数为 ,样本数据落在内的频率为 .‎ ‎12. 在平面直角坐标系中,已知圆 ‎(为参数)和直线 (为参数),则直线与圆相交所得的弦长等于 . ‎ ‎13. 在函数的一个周期内,当时有最大值,当时有最小值,若,则函数解析式= . ‎ ‎14. 已知数列中,是其前项和,若,,,‎ 且,则_______________,_______________.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.‎ ‎15. (本小题满分13分)‎ 在中,角,,所对的边分别为,,, . ‎ ‎(Ⅰ)求的值;‎ ‎(Ⅱ)若,,求的值.‎ ‎16.(本小题满分13分)‎ 袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等.‎ ‎(Ⅰ)求取出的3个小球上的数字互不相同的概率;‎ ‎(Ⅱ)用表示取出的3个小球上所标的最大数字,求随机变量的分布列和均值.‎ ‎17.(本小题满分14分)‎ ‎ 如图,四棱锥中,底面是直角梯形,,,侧面,△是等边三角形,, ,是线段的中点.‎ ‎ (Ⅰ)求证:;‎ ‎ (Ⅱ)求四棱锥的体积;‎ ‎(Ⅲ)求与平面所成角的正弦值.‎ ‎18.(本小题满分13分)‎ 已知抛物线的焦点在轴上,抛物线上一点到准线的距离是,过点的直线与抛物线交于,两点,过,两点分别作抛物线的切线,这两条切线的交点为.‎ ‎ (Ⅰ)求抛物线的标准方程;‎ ‎(Ⅱ)求的值;‎ ‎(Ⅲ)求证:是和的等比中项.‎ ‎19.(本小题满分13分)‎ ‎ 已知数列的前项和为,,,设. ‎ ‎(Ⅰ)证明数列是等比数列;‎ ‎(Ⅱ)数列满足,设, 若对一切不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎20.(本小题满分14分)‎ 已知函数.‎ ‎(Ⅰ) 若函数在上为单调增函数,求的取值范围;‎ ‎(Ⅱ) 设,,且,求证:.‎ ‎(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)‎ 北京市东城区2009-2010学年度第二学期综合练习(二)‎ 高三数学参考答案 (理科)‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)‎ ‎1.B 2.A 3.C  4.D 5.A   6.C  7.D  8.A ‎ 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)‎ ‎9., 10. 11., ‎ ‎12. 13. 14.,‎ 注:两个空的填空题第一个空填对得2分,第二个空填对得3分.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共80分)‎ ‎15. (本小题满分13分)‎ 解:(Ⅰ)因为,又,‎ 所以.…………………………………3分 所以 .………………………………………7分 ‎(Ⅱ)由余弦定理,‎ 得.…………………………………………………………11分 ‎ 解得.…………………………………………………………………13分 ‎16. (本小题满分13分)‎ 解:(I)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为,‎ 则.…………………………………………………5分 ‎(II)由题意所有可能的取值为:,,,.…………………………………6分 ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎.‎ 所以随机变量的分布列为 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎……………………………………………………………10分 随机变量的均值为 ‎.………………………………13分 ‎17. (本小题满分14分)‎ ‎(Ⅰ)证明:因为侧面,平面, ‎ 所以.……………………………………………………………2分 ‎ 又因为△是等边三角形,是线段的中点,‎ 所以.‎ ‎ 因为,‎ 所以平面.…………………………………………………4分 ‎ 而平面,‎ 所以.……………………………………………………………5分 ‎(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知:平面,所以是四棱锥的高.‎ 由,,可得.‎ 因为△是等边三角形,‎ 可求得.‎ 所以.………………9分 ‎(Ⅲ)解:以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.‎ ‎ 则,,,.‎ ‎,,.‎ 设为平面的法向量.‎ 由 即 令,可得.………………………12分 设与平面所成的角为.‎ ‎.‎ 所以与平面所成角的正弦值为. …………………………………14分 ‎18. (本小题满分13分)‎ ‎(Ⅰ)解:由题意可设抛物线的方程为.‎ 因为点在抛物线上,所以.‎ 又点到抛物线准线的距离是,所以,可得.‎ 所以抛物线的标准方程为.………………………………………………3分 ‎(Ⅱ)解:点为抛物线的焦点,则.‎ 依题意可知直线不与轴垂直,所以设直线的方程为. ‎ 由 得.‎ 因为过焦点,所以判别式大于零.‎ 设,.‎ 则,.……………………………………………………6分 ‎.‎ 由于,所以.‎ 切线的方程为, ①‎ 切线的方程为. ②‎ 由①,②,得.…………………………………8分 则.‎ 所以.………………………10分 ‎(Ⅲ)证明:.‎ 由抛物线的定义知 ,.‎ 则 ‎.‎ 所以.‎ 即是和的等比中项.…………………………………………………13分 ‎19.(本小题满分13分)‎ 证明:(Ⅰ)由于, ①‎ ‎ 当时,. ②‎ ‎①②得 .‎ 所以 .…………………………………………………2分 又,‎ 所以.‎ 因为,且,‎ 所以.‎ 所以.‎ 故数列是首项为,公比为的等比数列.…………………………………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,则().‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .……………………………………………………………………9分 由,得.‎ 即.‎ 所以.‎ 所以.……………………………………11分 设,.‎ 可知在为减函数,又,‎ 则当时,有.‎ 所以.‎ 故当时,恒成立.…………………………………13分 ‎20. (本小题满分14分)‎ 解:(Ⅰ) ‎ ‎ .………………………………………3分 ‎ 因为在上为单调增函数,‎ 所以在上恒成立.‎ 即在上恒成立.‎ 当时,由,‎ 得.‎ 设,.‎ ‎.‎ 所以当且仅当,即时,有最小值.‎ 所以.‎ 所以.‎ 所以的取值范围是.…………………………………………………………7分 ‎(Ⅱ)不妨设,则.‎ 要证,‎ 只需证,‎ 即证.‎ 只需证.……………………………………………………………11分 设.‎ 由(Ⅰ)知在上是单调增函数,又,‎ 所以.‎ 即成立.‎ 所以.………………………………………………………………14分
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