高考数学小题综合训练
2019-2020年高考数学小题综合训练3
1．已知U＝{y|y＝log2x，x>1}，P＝，则∁UP等于( )
A. B.
C．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪
答案 A
解析 由集合U中的函数y＝log2x，x>1，解得y>0，
所以全集U＝(0，＋∞)，
同样P＝，得到∁UP＝.
2．“a>0”是“函数f(x)＝x3＋ax在区间(0，＋∞)上是增函数”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当a>0时，f′(x)＝3x2＋a>0在区间(0，＋∞)上恒成立，
即f(x)在(0，＋∞)上是增函数，充分性成立；
当f(x)在区间(0，＋∞)上是增函数时，f′(x)＝3x2＋a≥0在(0，＋∞)上恒成立，即a≥0，必要性不成立，
故“a>0”是“函数f(x)＝x3＋ax在区间(0，＋∞)上是增函数”的充分不必要条件．
3．已知函数f(x)＝若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则a＋b＋c的取值范围是( )
A．(1,2 010) B．(1,2 011)
C．(2,2 011) D．[2,2 011]
答案 C
解析 因为a，b，c互不相等，不妨设a
n，执行循环体，a＝4，s＝16，k＝2；
不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝52，k＝3；
不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝160，k＝4；
不满足条件k>n，执行循环体，a＝4，s＝484，k＝5.
由题意，此时应该满足条件k>n，退出循环，输出s的值为484，
可得5>n≥4，所以输入n的值为4.
8．(2x＋1)6的展开式中的常数项是( )
A．－5 B．7 C．－11 D．13
答案 C
解析 ∵6的展开式的通项公式是Ck，其中含的项是C1，常数项为C0＝1，故(2x＋1)6的展开式中的常数项是
2x×＋1×1＝－12＋1＝－11.
9．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成角的大小为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
答案 C
解析 如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积最大．
∴∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角，
∵在Rt△DOB中，OD＝OB，
∴直线BD和平面ABC所成角的大小为45°.
10．在区间[－1,1]上任取两数s和t，则关于x的方程x2＋2sx＋t＝0的两根都是正数的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 由题意可得，其区域是边长为2的正方形，面积为4，
由二次方程x2＋2sx＋t＝0有两正根，可得
即其区域如图阴影部分所示，
面积S＝ʃs2ds＝＝，
所求概率P＝＝.
11．椭圆x2＋＝1(0b2，
即c2>a2－c2,2c2>a2,2e2>1，
由0－1.
15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos B＝，b＝4，sin A＝2sin C，则△ABC的面积为________．
答案
解析 根据余弦定理的推论
cos B＝，可得
＝，
化简得2a2＋2c2－32＝ac.(*)
又由正弦定理＝，
可得＝＝，
即a＝2c，代入(*)式得
2·(2c)2＋2c2－32＝2c·c，
化简得c2＝4，所以c＝2，
则a＝4，
又B∈(0，π)，
则sin B＝＝，
S△ABC＝acsin B＝×4×2×＝，
即△ABC的面积为.
16．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k1，k2，当＋ln|k1|＋ln|k2|最小时，双曲线的离心率为________．
答案
解析 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，
由题意知，点A，B为过原点的直线与双曲线－＝1的交点，
∴由双曲线的对称性，得A，B关于原点对称，
∴B(－x1，－y1)，
∴k1k2＝·＝，
∵点A，C都在双曲线上，
∴－＝1，－＝1，
两式相减，可得k1k2＝>0，
对于＋ln|k1|＋ln|k2|＝＋ln|k1k2|，
设函数y＝＋ln x，x>0，
由y′＝－＋＝0，得x＝2，
当x>2时，y′>0，当00取得最小值，
∴当＋ln(k1k2)最小时，k1k2＝＝2，
∴e＝ ＝.
