上海高考解析几何试题

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上海高考解析几何试题

近四年上海高考解析几何试题 一.填空题:‎ ‎1、双曲线的焦距是 . ‎ ‎2、直角坐标平面中,定点与动点满足,则点P轨迹方程 ___。3、若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线的方程是__________。4、将参数方程(为参数)化为普通方程,所得方程是__________。‎ ‎5、已知圆和直线. 若圆与直线没有公共 ‎ 点,则的取值范围是 . ‎ ‎6、已知直线过点,且与轴、轴的正半轴分别交于两点,为坐标原点,则三角形面积的最小值为 . ‎ ‎7、已知圆-4-4+=0的圆心是点P,则点P到直线--1=0的距离是 ;‎ ‎8、已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是 ;‎ ‎ ‎ ‎10、曲线=||+1与直线=+没有公共点,则、分别应满足的条是 .‎ ‎11、在平面直角坐标系中,若抛物线上的点到该抛物线的焦点的距离为6,‎ ‎ 则点P的横坐标 . ‎ ‎12、在平面直角坐标系中,若曲线与直线有且只有一个公共点,则 ‎ 实数 . ‎ ‎13、若直线与直线平行,则 . ‎ ‎14 、以双曲线的中心为焦点,且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 . ‎ ‎16 、已知是双曲线右支上的一点,双曲线的一条渐近线方程为. 设分别为双曲线的左、右焦点. 若,则 ‎ ‎17、已知,直线:和. 设是 上与两点距离平方和最小的点,则△的面积是 ‎ 二.选择题:‎ ‎18、过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 ( )‎ A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 ‎19、抛物线的焦点坐标为 ( )‎ ‎ (A). (B). (C). (D).‎ ‎20、若,则“”是“方程表示双曲线”的 ( )‎ ‎ (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件.‎ ‎ (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.‎ ‎21 、已知椭圆,长轴在轴上. 若焦距为,则等于 ( )‎ ‎ (A). (B). (C). (D).‎ 三.解答题 ‎22 (本题满分18分)(1)求右焦点坐标是,且经过点的椭圆的标准方程;‎ ‎(2)已知椭圆的方程是. 设斜率为的直线,交椭圆于两点,的中点为. 证明:当直线平行移动时,动点在一条过原点的定直线上;‎ ‎(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.‎ ‎ ‎ ‎ 23、(本题满分14分)如图,点、分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于轴上方,.‎ ‎ (1)求点P的坐标;‎ ‎ (2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离的最小值.‎ ‎ 24 (本题满分14分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为. 观测点同时跟踪航天器.‎ ‎(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;‎ ‎(2)试问:当航天器在轴上方时,观测点测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?‎ ‎25 、(本题满分14分)在平面直角坐标系O中,直线与抛物线=2相交于A、B两点.‎ ‎(1)求证:“如果直线过点T(3,0),那么=3”是真命题;‎ ‎(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.‎ ‎26 、(14分) 求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题. ‎ ‎ 例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求该正四棱锥的体积”.求出体积后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4,体积为,求侧棱长”;也可以是“若正四棱锥的体积为,求所有侧面面积之和的最小值”.‎ ‎ 试给出问题“在平面直角坐标系中,求点到直线的距离.”的一个有意义的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题.‎ 评分说明:‎ ‎(ⅰ) 在本题的解答过程中,如果考生所给问题的意义不大,那么在评分标准的第二阶段所列6分中,应只给2分,但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定.‎ ‎(ⅱ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同,可参照所列评分标准的精神进行评分.‎ ‎27 (14分) x y 如图,在直角坐标系中,设椭圆 的左右两个焦点 分别为. 过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交,其中一个交点为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程;‎ ‎(2) 设椭圆的一个顶点为,直线交椭圆于另一点,求△的面积.‎ ‎28(本题满分18分)我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”,其中,,.‎ y O ‎.‎ ‎.‎ x ‎.‎ 如图,点,,是相应椭圆的焦点,,和,分别是“果圆”与,轴的交点.‎ ‎(1)若是边长为1的等边三角形,求 ‎“果圆”的方程; ‎ ‎ (2)当时,求的取值范围;‎ ‎29在平面直角坐标系中,分别为直线与轴的交点,为的中点. 若抛物线过点,求焦点到直线的距离.‎ ‎ ‎ ‎30 、已知是实系数方程的虚根,记它在直角坐标平面上的对应点为.‎ ‎(1)若在直线上,求证:在圆:上;‎ ‎(2)给定圆:(,),则存在唯一的线段满足:①若在圆上,则在线段上;② 若是线段上一点(非端点),则在圆上. 写出线段的表达式,并说明理由; ‎ 近四年上海高考解析几何试题 一.填空题:只要求直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.‎ ‎1、双曲线的焦距是 . ‎ ‎2、直角坐标平面中,定点与动点满足,则点P轨迹方程 ___。解答:设点P的坐标是(x,y),则由知 ‎3、若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线的方程是__________。解答:由双曲线的渐近线方程为,知,它的一个焦点是,知,因此 双曲线的方程是 ‎4、将参数方程(为参数)化为普通方程,所得方程是__________。‎ 解答:‎ ‎5、已知圆和直线. 若圆与直线没有公共 ‎ 点,则的取值范围是 . ‎ ‎6、已知直线过点,且与轴、轴的正半轴分别交于两点,为坐标原点,则三角形面积的最小值为 . 4.‎ ‎7、已知圆-4-4+=0的圆心是点P,则点P到直线--1=0的距离是 ;‎ ‎ 解:由已知得圆心为:,由点到直线距离公式得:;‎ ‎8、已知椭圆中心在原点,一个焦点为F(-2,0),且长轴长是短轴长的2倍,则该椭圆的标准方程是 ;‎ 解:已知为所求;‎ ‎ ‎ ‎10、若曲线=||+1与直线=+没有公共点,则、分别应满足的条件是 .‎ ‎ 解:作出函数的图象,‎ ‎ 如右图所示:所以,;‎ ‎11、在平面直角坐标系中,若抛物线上的点到该抛物线的焦点的距离为6,‎ ‎ 则点P的横坐标 . 5.‎ ‎12、在平面直角坐标系中,若曲线与直线有且只有一个公共点,则 ‎ 实数 . 2. ‎ ‎13、若直线与直线平行,则 . ‎ ‎14 、以双曲线的中心为焦点,且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ‎ .‎ ‎16 、已知是双曲线右支上的一点,双曲线的一条渐近线方程为. 设分别为双曲线的左、右焦点. 若,则 .‎ ‎17 (2008春季12) 已知,直线:和. 设是上与两点距离平方和最小的点,则△的面积是 ‎ 二.选择题:‎ ‎18、过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线 ( B )‎ A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.有无穷多条 D.不存在 解答:的焦点是(1,0),设直线方程为 (1)将(1)代入抛物线方程可得,x显然有两个实根,且都大于0,它们的横坐标之和是 ‎,选B ‎19、抛物线的焦点坐标为 ( B )‎ ‎ (A). (B). (C). (D).‎ ‎20、若,则“”是“方程表示双曲线”的 ( A )‎ ‎ (A)充分不必要条件. (B)必要不充分条件.‎ ‎ (C)充要条件. (D)既不充分也不必要条件.‎ ‎21 、已知椭圆,长轴在轴上. 若焦距为,则等于 ( D )‎ ‎ (A). (B). (C). (D).‎ 三.解答题 ‎22 (本题满分18分)(1)求右焦点坐标是,且经过点的椭圆的标准方程;‎ ‎(2)已知椭圆的方程是. 设斜率为的直线,交椭圆于两点,的中点为. 证明:当直线平行移动时,动点在一条过原点的定直线上;‎ ‎(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.‎ ‎[解](1)设椭圆的标准方程为,,‎ ‎ ∴ ,即椭圆的方程为,‎ ‎ ∵ 点()在椭圆上,∴ ,解得 或(舍),‎ ‎ 由此得,即椭圆的标准方程为. …… 5分 ‎ [证明](2)设直线的方程为, …… 6分 ‎ 与椭圆的交点()、(),则有,‎ ‎ 解得 ,‎ ‎ ∵ ,∴ ,即 .‎ 则 ,‎ ‎ ∴ 中点的坐标为. …… 11分 ‎ ∴ 线段的中点在过原点的直线 上. …… 13分 ‎[解](3)‎ 如图,作两条平行直线分别交椭圆于、和,并分别取、的中点,连接直线;又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于、和,并分别取、的中点,连接直线,那么直线和的交点即为椭圆中心. …… 18分 ‎ ‎ 23、(本题满分14分)如图,点、分别是椭圆长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点,点P在椭圆上,且位于轴上方,.‎ ‎ (1)求点P的坐标;‎ ‎ (2)设M是椭圆长轴AB上的一点,M到直线AP的距离等于,求椭圆上的点到点M的距离的最小值.‎ ‎[解](1)由已知可得点A(-6,0),F(4,0)‎ 设点P的坐标是,由已知得 由于 ‎(2)直线AP的方程是 设点M的坐标是(m,0),则M到直线AP的距离是,‎ 于是椭圆上的点到点M的距离d有 由于 ‎ 24 (本题满分14分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图:航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为,变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分,降落点为. 观测点同时跟踪航天器.‎ ‎(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程;‎ ‎(2)试问:当航天器在轴上方时,观测点测得离航天器的距离分别为多少时,应向航天器发出变轨指令?‎ ‎[解](1)设曲线方程为,‎ 由题意可知,. .……4分 ‎ 曲线方程为. ……6分 ‎ (2)设变轨点为,根据题意可知 得 , 或(不合题意,舍去).‎ ‎ . ……9分 ‎ 得 或(不合题意,舍去). 点的坐标为, ……11分 ‎ .答:当观测点测得距离分别为时,应向航天器发出变轨指令. ……14分 ‎25 、(本题满分14分)在平面直角坐标系O中,直线与抛物线=2相交于A、B两点.‎ ‎(1)求证:“如果直线过点T(3,0),那么=3”是真命题;‎ ‎(2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.‎ ‎[解](1)设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).‎ 当直线的钭率不存在时,的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,-). ∴=3;‎ ‎ 当直线的钭率存在时,设直线的方程为,其中,由 得 又 ∵ ,‎ ‎ ∴,‎ ‎ 综上所述,命题“如果直线过点T(3,0),那么=3”是真命题;‎ ‎(2)逆命题是:设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如:取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,‎ 直线AB的方程为:,而T(3,0)不在直线AB上;‎ 说明:由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3,可得y1y2=-6,或y1y2=2,‎ 如果y1y2=-6,可证得直线AB过点(3,0);‎ 如果y1y2=2,可证得直线AB过点(-1,0),而不过点(3,0).‎ ‎26 、(14分) 求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题. ‎ ‎ 例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为4,侧棱长为3,求该正四棱锥的体积”.求出体积后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4,体积为,求侧棱长”;也可以是“若正四棱锥的体积为,求所有侧面面积之和的最小值”.‎ ‎ 试给出问题“在平面直角坐标系中,求点到直线的距离.”的一个有意义的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题.‎ 评分说明:‎ ‎(ⅰ) 在本题的解答过程中,如果考生所给问题的意义不大,那么在评分标准的第二阶段所列6分中,应只给2分,但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定.‎ ‎(ⅱ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同,可参照所列评分标准的精神进行评分.‎ ‎[解] 点到直线的距离为. …… 4分 ‎ “逆向”问题可以是:‎ ‎ (1) 求到直线的距离为2的点的轨迹方程. …… 10分 ‎ [解] 设所求轨迹上任意一点为,则,‎ ‎ 所求轨迹为或. …… 14分 ‎ (2) 若点到直线的距离为2,求直线的方程. …… 10分 ‎ [解] ,化简得,或,‎ ‎ 所以,直线的方程为或. …… 14分 ‎ 意义不大的“逆向”问题可能是:‎ ‎ (3) 点是不是到直线的距离为2的一个点? …… 6分 ‎ [解] 因为,‎ ‎ 所以点是到直线的距离为2的一个点. ……10分 ‎ (4) 点是不是到直线的距离为2的一个点? …… 6分 ‎ [解] 因为,‎ ‎ 所以点不是到直线的距离为2的一个点. ……10分 ‎ (5) 点是不是到直线的距离为2的一个点? …… 6分 ‎ [解] 因为,‎ ‎ 所以点不是到直线的距离为2的一个点. ……10分 ‎27 、(14分) x y 如图,在直角坐标系中,设椭圆 的左右两个焦点 分别为. 过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交,其中一个交点为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程;‎ x y ‎(2) 设椭圆的一个顶点为,直线交椭圆于另一点,求△的面积.‎ ‎[解] (1) [解法一] 轴,的坐标为.…… 2分 ‎ 由题意可知 得 ‎ ‎ 所求椭圆方程为. …… 6分 ‎[解法二]由椭圆定义可知 ‎. 由题意,. …… 2分 又由△可知 ,,‎ ‎ ,又,得. 椭圆的方程为. …… 6分 ‎ (2)直线的方程为. …… 8分 由 得点的纵坐标为. …… 10分 又,. …… 14分 ‎28(本题满分18分)我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”,其中,,.‎ y O ‎.‎ ‎.‎ x ‎.‎ 如图,点,,是相应椭圆的焦点,,和,分别是“果圆”与,轴的交点.‎ ‎(1)若是边长为1的等边三角形,求 ‎“果圆”的方程; ‎ ‎ (2)当时,求的取值范围;‎ ‎(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”‎ 的弦.试研究:是否存在实数,使斜率为的“果圆”‎ 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的值;若不存在,说明理由.‎ 解:(1) ,‎ ‎,‎ ‎ 于是,所求“果圆”方程为 ,. ‎ ‎(2)由题意,得 ,即.‎ ‎ ,,得. ‎ ‎ 又. . ‎ ‎ (3)设“果圆”的方程为,.‎ ‎ 记平行弦的斜率为.‎ 当时,直线与半椭圆的交点是 ‎,与半椭圆的交点是.‎ ‎ 的中点满足 得 . ‎ ‎ , .‎ ‎ 综上所述,当时,“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上. ‎ ‎ 当时,以为斜率过的直线与半椭圆的交点是. ‎ ‎ 由此,在直线右侧,以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上,即不在某一椭圆上. ‎ 当时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上. ‎ ‎29在平面直角坐标系中,分别为直线与轴的交点,为的中点. 若抛物线过点,求焦点到直线的距离.‎ ‎ [解] 由已知可得 , …… 3分 ‎ 解得抛物线方程为 . … 6分 于是焦点 . …… 9分 ‎ ‎ 点到直线的距离为 . …… 12分 ‎30 、(本题满分18分) 已知是实系数方程的虚根,记它在直角坐标平面上的对应点为.‎ ‎(1)若在直线上,求证:在圆:上;‎ ‎(2)给定圆:(,),则存在唯一的线段满足:①若在圆上,则在线段上;② 若是线段上一点(非端点),则在圆上. 写出线段的表达式,并说明理由; ‎ ‎(3)由(2)知线段与圆之间确定了一种对应关系,通过这种对应关系的研究,填写表一(表中是(1)中圆的对应线段).‎ ‎[证明](1)由题意可得 ,解方程,得, 2分 ‎ 点或,‎ ‎ 将点代入圆的方程,等号成立, 在圆:上. …… 4分 ‎(2)[解法一] 当,即时,解得,‎ ‎ 点或, ‎ ‎ 由题意可得,整理后得 , …… 6分 ‎ ,, . ‎ ‎ 线段为: ,. ‎ 若是线段上一点(非端点),则实系数方程为 ‎.‎ 此时,且点、在圆上.…… 10分 ‎ [解法二] 设是原方程的虚根,则,‎ 解得 由题意可得,. ③‎ ‎ 解①、②、③ 得 . …… 6分 ‎ 以下同解法一.‎ ‎[解](3)表一 线段与线段的关系 的取值或表达式 得分 所在直线平行于所在直线 ‎,‎ ‎12分 所在直线平分线段 ‎ ‎,‎ ‎15分 线段与线段长度相等 ‎18分
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