上海高考解析几何试题

上海高考解析几何试题

近四年上海高考解析几何试题 一．填空题:‎ ‎1、双曲线的焦距是 . ‎ ‎2、直角坐标平面中，定点与动点满足，则点P轨迹方程 ___。3、若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________。4、将参数方程（为参数）化为普通方程，所得方程是__________。‎ ‎5、已知圆和直线. 若圆与直线没有公共 ‎ 点，则的取值范围是 . ‎ ‎6、已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 . ‎ ‎7、已知圆－4－4＋＝0的圆心是点P，则点P到直线－－1＝0的距离是 ；‎ ‎8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ；‎ ‎ ‎ ‎10、曲线＝||＋1与直线＝＋没有公共点，则、分别应满足的条是 ．‎ ‎11、在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线的焦点的距离为6，‎ ‎ 则点P的横坐标 . ‎ ‎12、在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共点，则 ‎ 实数 . ‎ ‎13、若直线与直线平行，则 ． ‎ ‎14 、以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ． ‎ ‎16 、已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为. 设分别为双曲线的左、右焦点. 若，则 ‎ ‎17、已知，直线：和. 设是 上与两点距离平方和最小的点，则△的面积是 ‎ 二．选择题:‎ ‎18、过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ ）‎ A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 ‎19、抛物线的焦点坐标为 ( )‎ ‎ （A）. （B）. （C）. （D）.‎ ‎20、若，则“”是“方程表示双曲线”的 ( )‎ ‎ （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.‎ ‎ （C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.‎ ‎21 、已知椭圆，长轴在轴上. 若焦距为，则等于 （ ）‎ ‎ （A）. （B）. （C）. （D）.‎ 三．解答题 ‎22 (本题满分18分)（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知椭圆的方程是. 设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为. 证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；‎ ‎（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.‎ ‎ ‎ ‎ 23、（本题满分14分）如图，点、分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，．‎ ‎ （1）求点P的坐标；‎ ‎ （2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值．‎ ‎ 24 (本题满分14分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.‎ ‎（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；‎ ‎（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？‎ ‎25 、（本题满分14分）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；‎ ‎（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．‎ ‎26 、(14分) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题. ‎ ‎ 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”.‎ ‎ 试给出问题“在平面直角坐标系中，求点到直线的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.‎ 评分说明：‎ ‎(ⅰ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6分中，应只给2分，但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定.‎ ‎(ⅱ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.‎ ‎27 (14分) x y 如图，在直角坐标系中，设椭圆 的左右两个焦点 分别为. 过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程；‎ ‎(2) 设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求△的面积.‎ ‎28（本题满分18分）我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．‎ y O ‎.‎ ‎.‎ x ‎.‎ 如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．‎ ‎（1）若是边长为1的等边三角形，求 ‎“果圆”的方程； ‎ ‎ （2）当时，求的取值范围；‎ ‎29在平面直角坐标系中，分别为直线与轴的交点，为的中点. 若抛物线过点，求焦点到直线的距离.‎ ‎ ‎ ‎30 、已知是实系数方程的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为.‎ ‎（1）若在直线上，求证：在圆：上；‎ ‎（2）给定圆：（，），则存在唯一的线段满足：①若在圆上，则在线段上；② 若是线段上一点（非端点），则在圆上. 写出线段的表达式，并说明理由； ‎ 近四年上海高考解析几何试题 一．填空题:只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分.‎ ‎1、双曲线的焦距是 . ‎ ‎2、直角坐标平面中，定点与动点满足，则点P轨迹方程 ___。解答：设点P的坐标是(x,y)，则由知 ‎3、若双曲线的渐近线方程为，它的一个焦点是，则双曲线的方程是__________。解答：由双曲线的渐近线方程为，知，它的一个焦点是，知，因此 双曲线的方程是 ‎4、将参数方程（为参数）化为普通方程，所得方程是__________。‎ 解答：‎ ‎5、已知圆和直线. 若圆与直线没有公共 ‎ 点，则的取值范围是 . ‎ ‎6、已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 . 4.‎ ‎7、已知圆－4－4＋＝0的圆心是点P，则点P到直线－－1＝0的距离是 ；‎ ‎ 解：由已知得圆心为：，由点到直线距离公式得：；‎ ‎8、已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ；‎ 解：已知为所求；‎ ‎ ‎ ‎10、若曲线＝||＋1与直线＝＋没有公共点，则、分别应满足的条件是 ．‎ ‎ 解：作出函数的图象，‎ ‎ 如右图所示：所以，；‎ ‎11、在平面直角坐标系中，若抛物线上的点到该抛物线的焦点的距离为6，‎ ‎ 则点P的横坐标 . 5.‎ ‎12、在平面直角坐标系中，若曲线与直线有且只有一个公共点，则 ‎ 实数 . 2. ‎ ‎13、若直线与直线平行，则 ． ‎ ‎14 、以双曲线的中心为焦点，且以该双曲线的左焦点为顶点的抛物线方程是 ‎ ．‎ ‎16 、已知是双曲线右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为. 设分别为双曲线的左、右焦点. 若，则 .‎ ‎17 (2008春季12) 已知，直线：和. 设是上与两点距离平方和最小的点，则△的面积是 ‎ 二．选择题:‎ ‎18、过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 （ B ）‎ A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在 解答：的焦点是(1，0)，设直线方程为 (1)将(1)代入抛物线方程可得，x显然有两个实根，且都大于0，它们的横坐标之和是 ‎，选B ‎19、抛物线的焦点坐标为 ( B )‎ ‎ （A）. （B）. （C）. （D）.‎ ‎20、若，则“”是“方程表示双曲线”的 ( A )‎ ‎ （A）充分不必要条件. （B）必要不充分条件.‎ ‎ （C）充要条件. （D）既不充分也不必要条件.‎ ‎21 、已知椭圆，长轴在轴上. 若焦距为，则等于 （ D ）‎ ‎ （A）. （B）. （C）. （D）.‎ 三．解答题 ‎22 (本题满分18分)（1）求右焦点坐标是，且经过点的椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知椭圆的方程是. 设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为. 证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上；‎ ‎（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.‎ ‎[解]（1）设椭圆的标准方程为，，‎ ‎ ∴ ，即椭圆的方程为，‎ ‎ ∵ 点（）在椭圆上，∴ ，解得 或（舍），‎ ‎ 由此得，即椭圆的标准方程为. …… 5分 ‎ [证明]（2）设直线的方程为， …… 6分 ‎ 与椭圆的交点()、()，则有，‎ ‎ 解得 ，‎ ‎ ∵ ，∴ ，即 .‎ 则 ，‎ ‎ ∴ 中点的坐标为. …… 11分 ‎ ∴ 线段的中点在过原点的直线 上. …… 13分 ‎[解]（3）‎ 如图，作两条平行直线分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于、和，并分别取、的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心. …… 18分 ‎ ‎ 23、（本题满分14分）如图，点、分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，．‎ ‎ （1）求点P的坐标；‎ ‎ （2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值．‎ ‎[解]（1）由已知可得点A（－6，0），F（4，0）‎ 设点P的坐标是，由已知得 由于 ‎（2）直线AP的方程是 设点M的坐标是（m，0），则M到直线AP的距离是，‎ 于是椭圆上的点到点M的距离d有 由于 ‎ 24 (本题满分14分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为. 观测点同时跟踪航天器.‎ ‎（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；‎ ‎（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？‎ ‎[解]（1）设曲线方程为，‎ 由题意可知，. .……4分 ‎ 曲线方程为. ……6分 ‎ （2）设变轨点为，根据题意可知 得 ， 或（不合题意，舍去）.‎ ‎ . ……9分 ‎ 得 或（不合题意，舍去）. 点的坐标为， ……11分 ‎ .答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令. ……14分 ‎25 、（本题满分14分）在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．‎ ‎（1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；‎ ‎（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．‎ ‎[解]（1）设过点T(3,0)的直线交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).‎ 当直线的钭率不存在时,的方程为x=3,此时,直线与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－). ∴=3；‎ ‎ 当直线的钭率存在时,设直线的方程为，其中，由 得 又 ∵ ，‎ ‎ ∴，‎ ‎ 综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；‎ ‎(2)逆命题是：设直线交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,‎ 直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；‎ 说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=－6，或y1y2=2，‎ 如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；‎ 如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).‎ ‎26 、(14分) 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题. ‎ ‎ 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”.求出体积后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为，求所有侧面面积之和的最小值”.‎ ‎ 试给出问题“在平面直角坐标系中，求点到直线的距离.”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题.‎ 评分说明：‎ ‎(ⅰ) 在本题的解答过程中，如果考生所给问题的意义不大，那么在评分标准的第二阶段所列6分中，应只给2分，但第三阶段所列4分由考生对自己所给问题的解答正确与否而定.‎ ‎(ⅱ) 当考生所给出的“逆向”问题与所列解答不同，可参照所列评分标准的精神进行评分.‎ ‎[解] 点到直线的距离为. …… 4分 ‎ “逆向”问题可以是：‎ ‎ (1) 求到直线的距离为2的点的轨迹方程. …… 10分 ‎ [解] 设所求轨迹上任意一点为，则，‎ ‎ 所求轨迹为或. …… 14分 ‎ (2) 若点到直线的距离为2，求直线的方程. …… 10分 ‎ [解] ，化简得，或，‎ ‎ 所以，直线的方程为或. …… 14分 ‎ 意义不大的“逆向”问题可能是：‎ ‎ (3) 点是不是到直线的距离为2的一个点？ …… 6分 ‎ [解] 因为，‎ ‎ 所以点是到直线的距离为2的一个点. ……10分 ‎ (4) 点是不是到直线的距离为2的一个点？ …… 6分 ‎ [解] 因为，‎ ‎ 所以点不是到直线的距离为2的一个点. ……10分 ‎ (5) 点是不是到直线的距离为2的一个点？ …… 6分 ‎ [解] 因为，‎ ‎ 所以点不是到直线的距离为2的一个点. ……10分 ‎27 、(14分) x y 如图，在直角坐标系中，设椭圆 的左右两个焦点 分别为. 过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程；‎ x y ‎(2) 设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆于另一点，求△的面积.‎ ‎[解] (1) [解法一] 轴，的坐标为.…… 2分 ‎ 由题意可知 得 ‎ ‎ 所求椭圆方程为. …… 6分 ‎[解法二]由椭圆定义可知 ‎. 由题意，. …… 2分 又由△可知 ，，‎ ‎ ，又，得. 椭圆的方程为. …… 6分 ‎ (2)直线的方程为. …… 8分 由 得点的纵坐标为. …… 10分 又，. …… 14分 ‎28（本题满分18分）我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”，其中，，．‎ y O ‎.‎ ‎.‎ x ‎.‎ 如图，点，，是相应椭圆的焦点，，和，分别是“果圆”与，轴的交点．‎ ‎（1）若是边长为1的等边三角形，求 ‎“果圆”的方程； ‎ ‎ （2）当时，求的取值范围；‎ ‎（3）连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”‎ 的弦．试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”‎ 平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值；若不存在，说明理由．‎ 解：（1） ，‎ ‎，‎ ‎ 于是，所求“果圆”方程为 ，． ‎ ‎（2）由题意，得 ，即．‎ ‎ ，，得． ‎ ‎ 又． ． ‎ ‎ （3）设“果圆”的方程为，．‎ ‎ 记平行弦的斜率为．‎ 当时，直线与半椭圆的交点是 ‎，与半椭圆的交点是．‎ ‎ 的中点满足 得 ． ‎ ‎ ， ．‎ ‎ 综上所述，当时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上． ‎ ‎ 当时，以为斜率过的直线与半椭圆的交点是． ‎ ‎ 由此，在直线右侧，以为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上，即不在某一椭圆上． ‎ 当时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． ‎ ‎29在平面直角坐标系中，分别为直线与轴的交点，为的中点. 若抛物线过点，求焦点到直线的距离.‎ ‎ [解] 由已知可得 ， …… 3分 ‎ 解得抛物线方程为 . … 6分 于是焦点 . …… 9分 ‎ ‎ 点到直线的距离为 . …… 12分 ‎30 、(本题满分18分) 已知是实系数方程的虚根，记它在直角坐标平面上的对应点为.‎ ‎（1）若在直线上，求证：在圆：上；‎ ‎（2）给定圆：（，），则存在唯一的线段满足：①若在圆上，则在线段上；② 若是线段上一点（非端点），则在圆上. 写出线段的表达式，并说明理由； ‎ ‎（3）由（2）知线段与圆之间确定了一种对应关系，通过这种对应关系的研究，填写表一（表中是（1）中圆的对应线段）.‎ ‎[证明]（1）由题意可得 ，解方程，得， 2分 ‎ 点或，‎ ‎ 将点代入圆的方程，等号成立， 在圆：上. …… 4分 ‎（2）[解法一] 当，即时，解得，‎ ‎ 点或， ‎ ‎ 由题意可得，整理后得 ， …… 6分 ‎ ，， . ‎ ‎ 线段为： ，. ‎ 若是线段上一点（非端点），则实系数方程为 ‎.‎ 此时，且点、在圆上.…… 10分 ‎ [解法二] 设是原方程的虚根，则，‎ 解得 由题意可得，. ③‎ ‎ 解①、②、③ 得 . …… 6分 ‎ 以下同解法一.‎ ‎[解]（3）表一 线段与线段的关系 的取值或表达式 得分 所在直线平行于所在直线 ‎，‎ ‎12分 所在直线平分线段 ‎ ‎，‎ ‎15分 线段与线段长度相等 ‎18分