专题两招破解平面向量难题名师揭秘高考数学文命题热点全覆盖

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专题两招破解平面向量难题名师揭秘高考数学文命题热点全覆盖

一.【学习目标】‎ ‎1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.‎ ‎2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题方法总结 二.【平面向量解题方法规律】‎ ‎1.用向量解决平面几何问题的步骤 ‎(1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题;‎ ‎(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;‎ ‎(3)把运算结果“翻译”成几何关系.‎ ‎2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量,观察条件和结构,选择使用向量的某些性质解决相应的问题,如用数量积解决垂直、夹角问题,用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题,用向量共线解决三点共线问题等,总之,要应用向量,如果题设条件中有向量,则可以联想性质直接使用,如果没有向量,则更需要有向量工具的应用意识,强化知识的联系,善于构造向量解决问题.‎ ‎3.几点注意事项 ‎(1)在处理三点共线问题时,转化为两个向量共线解决,需说明两个向量有公共点,两直线不能平行,只能重合.‎ ‎(2)在解决夹角问题时,应注意向量的方向,向量的夹角与所求角可能相等,也可能互补.‎ ‎(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积a·b=0,尽量用坐标运算.‎ 三.【平面向量题型分析】‎ ‎(一)平面向量基本定理的应用 例1.设为所在平面内一点,若,,则( )‎ A.-2 B. C. D.2‎ ‎【答案】A ‎【解析】由,根据向量运算的“三角形法则”可得,结合,求得的值,从而可得结果.‎ ‎【详解】,‎ ‎,‎ ‎,故选A. ‎ ‎【详解】依题,由图易知向量所成角为钝角,所以,所以当最小时,即为向量在向量方向上的投影最小,数形结合易知点P在点D时,最小(如图所示),‎ 在三角形ADE中,由等面积可知,所以,从而.所以.故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及运算,向量的线性运算,考查了数形结合的思想,考查了计算能力,属于中档题.‎ ‎(二)向量中的最值问题 例2.设是半径为2的圆上的两个动点,点为中点,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【分析】将两个向量,都转化为两个方向上,然后利用数量积的公式和三角函数的值域,求得题目所求数量积的取值范围.‎ 练习1.已知是平面内两个相互垂直的单位向量,若向量满足,则对于任意的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当且仅当, 时,取得最小值 此时,取得最小值 练习2.在边长为1的正△ABC中,=x,=y,x>0,y>0且x+y=1,则•的最大值为(  ) ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】,,由此能求出当时,的最大值为. ‎ 练习1.在中,过中线的中点任作一直线分别交边、于、两点,设,则的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】,∵共线,∴.‎ ‎,当且仅当时等号成立,故最小值为. ‎ ‎【名师点睛】本题首先考查向量的线性运算,实质就是求出满足的等量关系,题中唯一的关系就是三点共线,由此联想平面向量的一个定理:是平面的一个基底, ,则 三点共线.这样只要由平面向量的线性运算把用表示出来就可得的等量关系.然后只要应用“1”的代换结合基本不等式可求得最值.‎ 练习2.如图,在中,是线段上的一点,且,过点的直线分别交直线于点,若,,则的最小值是 .‎ ‎【答案】‎ 考点: 1、向量的概念及几何表示;2、向量数乘运算及几何意义;3、向量数量积的含义及几何意义. ‎ 方法点睛:由向量减法法则可知,代入已知条件得到,再把已知条件,代入得到,根据三点共线得,利用均值不等式得到,而,从而求得的最小值是.‎ 练习3.在四面体中,点,分别为,的中点,若,且,,三点共线,则 A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎(七)坐标法解决向量问题 ‎ 例7.如图,在矩形中, , ,点为的中点,如果,那么的值是__________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】建立如图所示的直角坐标系,‎ 则,‎ ‎∴,‎ ‎∴. ‎ 练习2.如图,为△的外心,为钝角,是边的中点,的值( ) ‎ A. 4 B..6 C.7 D. 5 ‎ ‎【答案】D 练习3.是平面上的一定点,是平面上不共线的三点,动点满足,,则动点的轨迹一定经过的( )‎ A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心 ‎【答案】B ‎【解析】解出,计算并化简可得出结论.‎ ‎【详解】λ(),‎ ‎∴,‎ ‎∴,即点P在BC边的高上,即点P的轨迹经过△ABC的垂心.‎ 故选:B.‎ 练习4.已知点O是锐角△ABC的外心,a,b,c分别为内角A、B、C的对边,A= ,且,则λ的值为(  )‎ A. B.﹣ C. D.﹣‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意画出图形,设的外接圆半径为,根据三角形外心的性质可得:,,由向量的线性运算和向量数量积的运算,求出和,在已知的等式两边同时与进行数量积运算,代入后由正弦定理化简,由两角和的正弦公式和三角形内角和定理求出λ的值. ‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用线性规划求解最优解及目标函数的最大值,解题的关键是正确作出不等式组所表示的平面区域,并能判断出取得最大值时的最优解的位置.利用线性规划求最值的步骤:(1)在平面直角坐标系内作出可行域.(2)考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形.常见的类型有截距型(型)、斜率型(型)和距离型(型).(3)确定最优解:根据目标函数的类型,并结合可行域确定最优解.(4)求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。‎ 练习1.若曲线和上分别存在点,使得是以原点为直角顶点的直角三角形,AB交y轴于C,且则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【详解】设A(x1,y1),y1=f(x1),B(x2,y2),y2=g(x2)=﹣x23+x22(x<0),又, ‎ 则,x2=﹣2x1,∴.‎ ‎,,‎ 由题意,,即0,‎ ‎∴,‎ ‎∵e﹣1<x1<e2﹣1,∴,‎ 则.‎ 设h(x),则h′(x),‎ 令,则u′(x)==>0在e﹣1<x<e2﹣1恒成立,‎ 所以单增,所以>=>0,∴h′(x)>0,‎ 即函数h(x)在(e﹣1<x<e2﹣1)上为增函数,‎ 则,‎ 即4e-2<a.‎ ‎∴实数a的取值范围是.‎ 故选:B. ‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量加减法的运算、数量积的运算,综合运用了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,考查了转化思想和计算能力,属于中档题.‎ ‎(十)向量的几何意义 例10.已知,是单位向量,•0.若向量满足||=1,则||的最大值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】通过建立直角坐标系,利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出.‎ ‎【详解】‎ 练习1.的斜边等于4,点在以为圆心,1为半径的圆上,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C 练习2.已知在平面四边形中, ,,,,,点为边上的动点,则的最小值为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】以为原点,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,求出,,的坐标,根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出.‎ ‎【详解】如图所示,以为原点,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,‎ 过点作轴,过点作轴,‎ ‎∵,,,,,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,∴,∴,‎ ‎∴,∴,,,‎ 设,∴,,,‎ ‎∴,‎ 当时,取得最小值为,故选C. ‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量在几何中的应用,考查了运算能力和数形结合的能力,向量的坐标表示,二次函数最值的求法,向量数量积的坐标表示,建立适当的坐标系将几何知识代数化是解题的关键,也是常用手段,属于中档题. ‎
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