天津专用高考数学总复习专题圆锥曲线分项练习文

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专题09 圆锥曲线 一．基础题组 ‎1.【2005天津，文6】设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲 线的渐近线的斜率为 （ ）‎ ‎（A）2 （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线的两条渐进线是：。根据题意：，，从而，‎ 本题答案选C ‎2.【2006天津，文8】椭圆的中心为点它的一个焦点为相应于焦点F的准线方程为则这个椭圆的方程是( )‎ ‎（A）　　　　（B）‎ ‎（C）　　　　　（D）‎ ‎【答案】D ‎3.【2007天津，文7】设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）‎ Ａ． Ｂ．‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎【答案】D ‎ ‎4.【2008天津，文7】设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 ‎（A） （B）　 （C） （D）‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线的焦点为，椭圆焦点在轴上，排除A、C，由排除D，选B．‎ ‎5.【2009天津，文4】设双曲线(a＞0,b＞0)的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为( )‎ A. B.y＝±2x C. D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知:2b＝2,,则可求得,则双曲线方程为:,故其渐近线方程为.‎ ‎6.【2010天津，文13】已知双曲线 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎7.【2011天津，文6】已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知,抛物线的准线方程为,所以,又,所以,又因为双曲线的一条渐近线过点(-2,-1),所以双曲线的渐近线方程为,即,所以,即,,选B.‎ ‎8.【2012天津，文11】已知双曲线C1：(a＞0，b＞0)与双曲线C2：有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝__________，b＝__________．‎ ‎【答案】1　2‎ ‎【解析】∵C1与C2的渐近线相同，∴．‎ 又C1的右焦点为F(，0)，∴，即a2＋b2＝5．‎ ‎∴a2＝1，b2＝4，∴a＝1，b＝2．‎ ‎9.【2013天津，文11】已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．‎ 答案 ‎【解析】抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，则双曲线的一个焦点为(－2,0)，即c＝2，离心率e ‎＝＝2，故a＝1，由a2＋b2＝c2得b2＝3，所以双曲线的方程为.‎ ‎10.【2014天津，文6】已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（ ）‎ A. ‎ B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】A 考点：双曲线的渐近线 ‎11. 【2015高考天津，文5】已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由双曲线的渐近线与圆相切得,由,解得,故选D.‎ ‎【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力.‎ ‎12.【2016高考天津文数】已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线 垂直，则双曲线的方程为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【考点】双曲线 ‎【名师点睛】求双曲线的标准方程的关注点：‎ ‎(1)确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．‎ ‎(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．‎ ‎①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)．‎ ‎②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．‎ 二．能力题组 ‎1.【2011天津，文18】18.（本小题满分13分）‎ 设椭圆的左、右焦点分别为,点满足.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的离心率;‎ ‎(Ⅱ)设直线与椭圆相交于A,B两点.若直线与圆相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎2.【2012天津，文19】已知椭圆a＞b＞0)，点P(，)在椭圆上．‎ ‎(1)求椭圆的离心率；‎ ‎(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】解：(1)因为点P(，)在椭圆上，故，可得．‎ 于是，所以椭圆的离心率．‎ ‎(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，设点Q的坐标为(x0，y0)．‎ 由条件得消去y0并整理得 ‎．①‎ 由|AQ|＝|AO|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x02＝a2，整理得(1＋k2)x02＋2ax0＝0‎ ‎，而x0≠0，故，代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2·＋4．‎ 由(1)知，故(1＋k2)2＝k2＋4，‎ 即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5．‎ 所以直线OQ的斜率．‎ ‎3.【2013天津，文18】设椭圆(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】解：(1)设F(－c,0)，由，知.‎ ‎ ‎ ‎(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1,0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，‎ 由方程组消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.‎ 求解可得x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为A(，0)，B(，0)，‎ 所以·＋·‎ ‎＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)‎ ‎＝6－2x1x2－2y1y2‎ ‎＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)‎ ‎＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2‎ ‎＝.‎ 由已知得＝8，‎ 解得k＝.‎ ‎4.【2014天津，文18】设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A，上顶点为B.已知=.‎ ‎(1)求椭圆的离心率；‎ ‎(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M，=.求椭圆的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎，因为点P在椭圆上，故，消可得，而点P不是椭圆的顶点，故，即点P的坐标为设圆的圆心为，则再由得，即所以所求椭圆的方程为 试题解析：解(1)设椭圆右焦点的坐标为（c,0）， 由，可得，又，则所以椭圆离心率为 (2)由(1)知故椭圆方程为，设，解得，所以所求椭圆的方程为 考点：椭圆离心率，椭圆方程 三．拔高题组 ‎1.【2005天津，文22】抛物线的方程为，过抛物线上的一点作斜率为的两条直线分别交抛物线于两点（三点互不相同），且满足．‎ ‎（I）求抛物线的焦点坐标和准线方程；‎ ‎（II）设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上；‎ ‎（III）当时，若点的坐标为（1，－1），求为钝角时点的纵坐标的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析.‎ ‎【解析】证明：（I）由于函数定义，对任意整数，有 ‎（II）函数在R上可导， ①‎ 令，得：‎ 若，则，这与矛盾，所以。‎ 当时， ②‎ 因此时的符号与时的符号相反 综合以上，得：的每一个根都是的极值点 ③‎ 由得，当时，，即对于时， ④‎ 综合 ③、④ ：对于任意 ，‎ 由：和，得： ⑤‎ 又：，‎ 但时， ⑥‎ 综合 ⑤、⑥ 得：‎ ‎2.【2006天津，文22】如图，双曲线的离心率为、分别为左、右焦 点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且 ‎（I）求双曲线的方程；‎ ‎（II）设和是轴上的两点。过点A作斜率不为0的直线使得交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E。证明直线DE垂直于轴。‎ ‎【答案】（I）（II）详见解析 ‎【解析】（I）解：根据题设条件，‎ 于是、两点坐标满足　　　‎ 将①代入②得 由已知，显然于是因为得 同理，、两点坐标满足 可解得 所以，故直线DE垂直于轴 ‎3.【2007天津，文22】设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．‎ ‎（Ⅰ）证明；‎ ‎（Ⅱ）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）‎ 解得，从而得到，‎ 直线的方程为，整理得 ‎．‎ 由椭圆定义得，又，所以 ‎，‎ 解得，而，得，即．‎ ‎（Ⅱ）解法一：圆上的任意点处的切线方程为．‎ 当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组 的解．当时，由①式得 代入②式，得，即 若，则 ‎．‎ 所以，．由，得．在区间内此方程的解为．‎ 当时，必有，同理求得在区间内的解为．‎ 另一方面，当时，可推出，从而．‎ 综上所述，使得所述命题成立．‎ ‎4.【2008天津，文22】已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．‎ ‎（Ⅰ）求双曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．‎ ‎【答案】（I），（II）．‎ ‎【解析】（Ⅰ）解：设双曲线的方程为，由题设得 ‎．整理得 ‎． ③‎ 由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足 ‎，．‎ 从而线段的垂直平分线的方程为 ‎．‎ 此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得 ‎5.【2009天津，文22】已知椭圆(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(－c,0)和F2(c,0)(c＞0),过点E(,0)的直线与椭圆相交于A,B两点,且F‎1A∥F2B,|F‎1A|＝2|F2B|.‎ ‎(1)求椭圆的离心率;‎ ‎(2)求直线AB的斜率;‎ ‎(3)设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H(m,n)(m≠0)在△AF‎1C的外接圆上,求的值.‎ 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力.满分14分.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）‎ ‎【解析】(1)解:由F‎1A∥F2B且|F‎1A|＝2|F2B|,得,从而.‎ 整理,得a2＝‎3c2.故离心率.‎ ‎.②‎ 由题设知,点B为线段AE的中点,所以 x1+‎3c＝2x2.③‎ 联立①③解得,.‎ 将x1,x2代入②中,解得.‎ ‎(3)解法一:由(2)可知x1＝0,.‎ 当时,得A(0,c),由已知得C(0, ).‎ 线段AF1的垂直平分线l的方程为,直线l与x轴的交点(,0)是△AF‎1C的外接圆的圆心.因此外接圆的方程为.‎ 由已知得C(0,).‎ 由椭圆的对称性知B,F2,C三点共线.‎ 因为点H(m,n)在△AF‎1C的外接圆上,且F‎1A∥F2B,所以四边形AF1CH为等腰梯形.‎ 由直线F2B的方程为,知点H的坐标为(m,).‎ 因为|AH|＝|CF1|,所以,‎ 解得m＝c(舍),或.‎ 则.所以.‎ 当时,同理可得.‎ ‎6.【2010天津，文21】已知椭圆 (a＞b＞0)的离心率e＝，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)文设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(－a,0)．‎ ‎①若|AB|＝，求直线l的倾斜角；‎ ‎②若点Q(0，y0)在线段AB的垂直平分线上，且·＝4.求y0的值．‎ ‎【答案】(1) ＋y2＝1. (2) ①或.②y0＝±2或y0＝±.‎ ‎【解析】解：(1)由e＝，得‎3a2＝‎4c2.‎ 于是A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得 ‎(1＋4k2)x2＋16k2x＋(16k2－4)＝0.‎ 由－2x1＝，得x1＝.从而y1＝.‎ 所以|AB|＝.‎ 由|AB|＝，得＝.‎ 整理得32k4－9k2－23＝0，即(k2－1)(32k2＋23)＝0.解得c＝±1.‎ 所以直线l的倾斜角为或.‎ ‎②设线段AB的中点为M，由①得M的坐标为(－)．‎ ‎·＝－2x1－y0(y1－y0)‎ ‎＝‎ ‎＝＝4，‎ 整理得7k2＝2.故k＝±，‎ 所以y0＝±.‎ 综上，y0＝±2或y0＝±. ‎ ‎7. 【2015高考天津，文19】（本小题满分14分） 已知椭圆的上顶点为B,左焦点为,离心率为, ‎ ‎（I）求直线BF的斜率;‎ ‎（II）设直线BF与椭圆交于点P（P异于点B）,过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于点Q（Q异于点B）直线PQ与y轴交于点M,.‎ ‎ （i）求的值;‎ ‎（ii）若,求椭圆的方程.‎ ‎【答案】（I）2;（II）（i） ;（ii）‎ ‎【解析】‎ ‎,故直线BF的斜率 .‎ ‎（II）设点 ,（i）由（I）可得椭圆方程为 直线BF的方程为 ,两方程联立消去y得 解得 .因为,所以直线BQ方程为 ,与椭圆方程联立消去y得 ,解得 .又因为 ,及 得 ‎ ‎（ii）由（i）得,所以,即 ,又因为,所以=.‎ 又因为, 所以,因此 所以椭圆方程为 ‎ ‎【考点定位】本题主要考查直线与椭圆等基础知识.‎ 考查运算求解能力及用方程思想和化归思想解决问题的能力.‎ ‎8.【2016高考天津文数】（本小题满分14分）‎ 设椭圆（）的右焦点为，右顶点为，已知，其中 为原点，为椭圆的离心率.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点，若，且，求直线的斜率.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. ‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（Ⅰ）解：设，由，即，可得，又，所以，因此，所以，椭圆的方程为.‎ 由，得，所以，‎ 解得，因此直线的方程为，‎ 设，由方程组 消去，解得，‎ 在中，，‎ 即，化简得，即，‎ 解得或，所以，直线的斜率为或.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程和几何性质、直线方程 ‎【名师点睛】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．‎