2020高考数学三轮冲刺 专题 二项分布及其应用练习(含解析)

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文档介绍

2020高考数学三轮冲刺 专题 二项分布及其应用练习(含解析)

二项分布及其应用 一、选择题(本大题共12小题,共60分)‎ ‎1. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制,甲在每局比赛中获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)B ‎【分析】‎ 本题考查条件概率,考查相互独立事件概率公式,属于中档题.‎ 求出甲获得冠军的概率、比赛进行了3局的概率,即可得出结论.‎ ‎【解答】‎ 解:由题意,甲获得冠军的概率为,‎ 其中比赛进行了3局的概率为,‎ 所求概率为,‎ 故选B.‎ ‎2. 小赵、小钱、小孙、小李到 4 个景点旅游,每人只去一个景点,设事件 “4 个人去的景点不相同”,事件“小赵独自去一个景点”,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)A ‎【分析】‎ 本题考查条件概率,考查学生的计算能力,确定基本事件的个数是关键这是求小赵独自去一个景点的前提下,4 个人去的景点不相同的概率,求出相应基本事件的个数,即可得出结论,属于中档题.‎ ‎【解答】‎ 解:小赵独自去一个景点,有4个景点可选,则其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择,可能性为种 ‎ 13‎ 所以小赵独自去一个景点的可能性为种 因为4 个人去的景点不相同的可能性为种,‎ 所以.‎ 故选A.‎ ‎3. 2016年鞍山地区空气质量的记录表明,一天的空气质量为优良的概率为,连续两天为优良的概率为,若今天的空气质量为优良,则明天空气质量为优良的概率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)C 解:一天的空气质量为优良的概率为,连续两天为优良的概率为,‎ 设随后一天空气质量为优良的概率为p,‎ 若今天的空气质量为优良,则明天空气质量为优良,则有,‎ ‎,‎ 故选:C.‎ 设随后一天的空气质量为优良的概率是p,利用相互独立事件概率乘法公式能求出结果.‎ 本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用.‎ ‎4. 投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)A 解:由题意可知:同学3次测试满足X∽,‎ 该同学通过测试的概率为.‎ 故选:A.‎ 判断该同学投篮投中是独立重复试验,然后求解概率即可.‎ 本题考查独立重复试验概率的求法,基本知识的考查.‎ 13‎ ‎5. 设某种动物由出生算起活到10岁的概率为,活到15岁的概率为现有一个10岁的这种动物,它能活到15岁的概率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)C 解:记该动物从出生起活到10岁为事件A,‎ 从出生起活到15岁的为事件AB,而所求的事件为,‎ 由题意可得,,‎ 由条件概率公式可得,‎ 故选C.‎ 活到15岁的概率是在活到10岁的概率的情况下发生的,故可用条件概率来求解这个题.‎ 本题考点是条件概率,理清楚事件之间的关系是解决问题的关键,属中档题.‎ ‎6. 在10个球中有6个红球和4个白球各不相同,不放回地依次摸出2个球,在第一次摸出红球的条件下,第2次也摸到红球的概率为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)D 解:先求出“第一次摸到红球”的概率为:,‎ 设“在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸到红球”的概率是 ‎ 再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为,‎ 根据条件概率公式,得:,‎ 故选:D.‎ 事件“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率等于事件“第一次摸到红球”的概率乘以事件“在第一次摸出红球的条件下,第二次也摸到红球”的概率根据这个原理,可以分别求出“第一次摸到红球”的概率和“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率,再用公式可以求出要求的概率.‎ 13‎ 本题考查了概率的计算方法,主要是考查了条件概率与独立事件的理解,属于中档题看准确事件之间的联系,正确运用公式,是解决本题的关键.‎ ‎7. 将4个不同的小球装入4个不同的盒子,则在至少一个盒子为空的条件下,恰好有两个盒子为空的概率是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)A 解:根据题意,将4个不同的小球装入4个不同的盒子,有种不同的放法,‎ 若没有空盒,有种放法,有1个空盒的放法有种,有3个空盒的放法有种,‎ 则至少一个盒子为空的放法有种,故“至少一个盒子为空”的概率,‎ 恰好有两个盒子为空的放法有种,故“恰好有两个盒子为空”的概率,‎ 则则在至少一个盒子为空的条件下,恰好有两个盒子为空的概率;‎ 故选:A.‎ 根据题意,由分步计数原理计算可得“将4个不同的小球装入4个不同的盒子”的放法数目,进而由排列、组合数公式计算“没有空盒”、“有1个空盒的放法”、“有3个空盒”的放法数目,由古典概型公式计算可得“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率,最后由条件概率的计算公式计算可得答案.‎ 本题考查条件概率的计算,涉及排列、组合的应用,关键是求出“至少一个盒子为空”以及“恰好有两个盒子为空”的概率.‎ ‎8. 在区间内随机投掷一个点其坐标为,若,则 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)A 解:根据题意,得,‎ 13‎ 因此,事件AB对应的区间长度为,‎ 结合总的区间长度为1,可得 ‎ 又,同理可得 ‎ 因此, ‎ 故选:A ‎ 由题意,算出且,结合条件概率计算公式即可得到的值.‎ 本题给出投点问题,求事件A的条件下B发生的概率,着重考查了条件概率及其应用的知识,属于基础题.‎ ‎9. 九江气象台统计,‎5月1日浔阳区下雨的概率为,刮风的概率为,既刮风又下雨的概率为,设A为下雨,B为刮风,那么 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)B 解:由题意,,,‎ ‎,‎ 故选B.‎ 确定,,,再利用条件概率公式,即可求得结论.‎ 本题考查概率的计算,考查条件概率,考查学生的计算能力,属于基础题.‎ ‎10. 从混有5张假钞的20张一百元纸币中任意抽取2张,将其中一张在验钞机上检验发现是假币,则这两张都是假币的概率为 ‎ 13‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)D 解:解:设事件A表示“抽到的两张都是假钞”,事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”,‎ 则所求的概率即.‎ 又,,‎ 由公式.‎ 故选:D.‎ 设事件A表示“抽到的两张都是假钞”,事件B表示“抽到的两张至少有一张假钞”,所求的概率即先求出和的值,再根据,运算求得结果.‎ 本题考查概率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意条件概率的合理运用.‎ ‎11. 如图,和都是圆内接正三角形,且,将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在内”,B表示事件“豆子落在内”,则 ‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎(正确答案)D 13‎ 解:如图所示,作三条辅助线,根据已知条件这些小三角形全等,所以,‎ 故选:D.‎ 作三条辅助线,根据已知条件这些小三角形全等,即可求出.‎ 本题考查概率的计算,考查学生的计算能力,正确作出图形是关键.‎ ‎12. 下列说法中正确的是 ‎ 设随机变量X服从二项分布,则 ‎ 已知随机变量X服从正态分布且,则 ‎ ‎ ‎ ‎;.‎ A. B. C. D. ‎ ‎(正确答案)A 解:设随机变量X服从二项分布,则,正确;‎ 随机变量服从正态分布,正态曲线的对称轴是.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,正确;‎ 利用积分的几何意义,可知,正确 ‎;故不正确.‎ 故选:A.‎ 分别对4个选项,分别求解,即可得出结论.‎ 考查二项分布、正态分布以及定积分的几何意义,考查学生的计算能力,知识综合性强.‎ 二、填空题(本大题共4小题,共20分)‎ 13‎ ‎13. 如果,当取得最大值时, ______ .‎ ‎(正确答案)50‎ 解:,‎ 当,‎ 由组合数知,当时取到最大值.‎ 故答案为:50.‎ 根据变量符合二项分布,写出试验发生k次的概率的表示式,在表示式中,只有是一个变量,根据组合数的性质,当时,概率取到最大值.‎ 本题考查二项分布与n次独立重复试验的模型,考查概率的最值,考查组合数的性质,是一个比较简单的综合题目.‎ ‎14. 抛掷红、蓝两颗骰子,设事件A为“蓝色骰子的点数为3或‎6”‎,事件B为“两颗骰子的点数之和大于‎8”‎则当已知蓝色骰子点数为3或6时,问两颗骰子的点数之和大于8的概率为______ .‎ ‎(正确答案)‎ 解:设x为掷红骰子得的点数,y为掷蓝骰子得的点数,则所有可能 的事件与建立对应,‎ 显然:,‎ ‎,.‎ ‎.‎ 故答案为: ‎ 由题意知这是一个条件概率,做这种问题时,要从这样两步入手,一是做出蓝色骰子的点数为3或6的概率,二是两颗骰子的点数之和大于8的概率,再做出两颗骰子的点数之和大于8且蓝色骰子的点数为3或6的概率,根据条件概率的公式得到结果.‎ 13‎ 本题考查条件概率,条件概率有两种做法,本题采用概率来解,还有一种做法是用事件发生所包含的事件数之比来解出结果,本题出现的不多,以这个题目为例,同学们要认真分析.‎ ‎15. 从标有1,2,3,4,5的五张卡片中,依次抽出2张,则在第一次抽到偶数的条件下,第二次抽到奇数的概率为______.‎ ‎(正确答案)‎ 解:在第一次抽到偶数时,还剩下1个偶数,3个奇数,‎ 在第一次抽到偶数的条件下,第二次抽到奇数的概率为.‎ 故答案为:.‎ 根据剩下4个数的奇偶性得出结论.‎ 本题考查了条件概率的计算,属于基础题.‎ ‎16. 若随机变量,且,则 ______ .‎ ‎(正确答案)‎ 解:随机变量,且,‎ 可得,正态分布曲线的图象关于直线对称.‎ ‎,‎ ‎,‎ 故答案为:.‎ 由条件求得,可得正态分布曲线的图象关于直线对称求得的值,再根据,求得的值.‎ 本题主要考查正态分布的性质,正态曲线的对称性,属于基础题.‎ 三、解答题(本大题共3小题,共40分)‎ 13‎ ‎17. 甲、乙两人各进行3次射击,甲每次击中目标的概率为,乙每次击中目标的概率,假设两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;每次射击是否击中目标,相互之间没有影响.‎ Ⅰ求甲至少有1次未击中目标的概率;‎ Ⅱ记甲击中目标的次数为,求的概率分布及数学期望;‎ Ⅲ求甲恰好比乙多击中目标2次的概率.‎ ‎(正确答案)解:记“甲连续射击3次,至少1次未击中目标”为事件,‎ 由题意知两人射击是否击中目标,相互之间没有影响,‎ 射击3次,相当于3次独立重复试验,‎ 故.‎ 故甲至少有1次未击中目标的概率为;‎ 由题意知X的可能取值是0,1,2,3‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ X的概率分布如下表:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 设甲恰比乙多击中目标2次为事件A,‎ 甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次为事件,甲恰击中目标 3次且乙恰击中目标 1次为事件,‎ 13‎ 则,,为互斥事件 ‎ 甲恰好比乙多击中目标2次的概率为 由题意知,两人射击是否击中目标,相互之间没有影响;甲每次击中目标的概率为,射击3次,相当于3次独立重复试验,根据独立重复试验概率公式得到结果.‎ 根据题意看出变量的可能取值,根据变量对应的事件和独立重复试验的概率公式,写出变量对应的概率,写出分布列,做出期望值.‎ 甲恰比乙多击中目标2次,包括甲恰击中目标2次且乙恰击中目标0次,甲恰击中目标3次且乙恰击中目标1次,这两种情况是互斥的,根据公式公式得到结果.‎ 本题考查离散型随机变量的分布列和期望,考查互斥事件的概率,是一个基础题,这种题目解题的关键是看清题目事件的特点,找出解题的规律,遇到类似的题目要求能做.‎ ‎18. 袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球,从A中摸出一个红球的概率是,从B中摸出一个红球的概率是现从两个袋子中有放回的摸球 从A中摸球,每次摸出一个,共摸5次求:‎ 恰好有3次摸到红球的概率;‎ 设摸得红球的次数为随机变量X,求X的期望;‎ Ⅱ从A中摸出一个球,若是白球则继续在袋子A中摸球,若是红球则在袋子B中摸球,若从袋子B中摸出的是白球则继续在袋子B中摸球,若是红球则在袋子A中摸球,如此反复摸球3次,计摸出的红球的次数为Y,求Y的分布列以及随机变量Y的期望.‎ ‎(正确答案)解:Ⅰ由题意知本题是在相同的条件下进行的试验,且事件发生的概率相同,可以看作独立重复试验,‎ 根据独立重复试验公式得到,恰好有3次摸到红球的概率:.‎ 由题意知从A中有放回地摸球,每次摸出一个,是独立重复试验,‎ 13‎ 根据独立重复试验公式得到:,‎ ‎.‎ 随机变量Y的取值为0,1,2,3;且:‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ ‎;‎ 随机变量Y的分布列是:‎ 的数学期望是.‎ 由题意知本题是在相同的条件下进行的试验,且事件发生的概率相同,可以看作独立重复试验,根据独立重复试验公式得到结果.‎ 由题意知从A中有放回地摸球,每次摸出一个,是独立重复试验,根据独立重复试验公式得到答案.‎ 由题意知计摸出的红球的次数为Y,随机变量Y的取值为0,1,2,3;由独立试验概率公式得到概率,写出分布列和期望.‎ 解决离散型随机变量分布列问题时,主要依据概率的有关概念和运算,同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布,若服从特殊的分布则运算要简单的多.‎ ‎19. 某射击小组有甲、乙两名射手,甲的命中率为,乙的命中率为,在射击比武活动中每人射击发两发子弹则完成一次检测,在一次检测中,若两人命中次数相等且都不少于一发,则称该射击小组为“先进和谐组”;‎ 13‎ 若,求该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率;‎ 计划在2011年每月进行1次检测,设这12次检测中该小组获得“先进和谐组”的次数,如果,求的取值范围.‎ ‎(正确答案)解:,,‎ 根据“先进和谐组”的定义可得 该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的包括两人两次都射中,两人恰好各射中一次,‎ 该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率 ‎ ‎ 该小组在一次检测中荣获先进和谐组”的概率 ‎ ‎ 而,所以 ‎ 由知, ‎ 解得:‎ 根据甲的命中率为,乙的命中率为,两人命中次数相等且都不少于一发,则称该射击小组为“先进和谐组”;我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率;‎ 由已知结合的结论,我们可以求出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的概率含参数,由,可以构造一个关于的不等式,解不等式结合概率的含义即可得到的取值范围.‎ 本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式,二项分布与n次独立重复试验的模型,中关键是要列举出该小组在一次检测中荣获“先进和谐组”的所有可能性,的关键是要根据,可以构造一个关于的不等式.‎ 13‎
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