2020高考数学最新二轮复习函数性质
函数的概念
第一节 函数及其表示
一、基础知识
1．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
3．分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．
关于分段函数的3个注意
(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．
(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．
(3)各段函数的定义域不可以相交．
考点一 函数的定义域
[典例] (1)(2019·长春质检)函数y＝＋的定义域是( )
A．[－1,0)∪(0,1) B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1)
(2)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为( )
A．(－1,1) B. C．(－1,0) D.
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[题组训练]
1.(2018江苏)函数的定义域为 ．
2.若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 019]，则函数g(x)＝的定义域是_______________．
考点二 求函数的解析式
[典例] (1)已知函数
(2)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)．
考点二 分段函数
考法(一) 求函数值
[典例]（2015新课标Ⅱ）设函数，则
A．3 B．6 C．9 D．12
考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)
[典例] 设函数f(x)＝则满足f(x＋1)
1的x的取值范围___．
2．设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是____________．
第二节 函数的单调性与最值
一、基础知识
1．增函数、减函数
定义：设函数f(x)的定义域为I：
一是任意性；二是有大小，即x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．
2．单调性、单调区间
若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.
3．函数的最值
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．
函数最值存在的两条结论
二、常用结论
在公共定义域内：
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(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；
(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；
(3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数；
(4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数；
(5)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(6)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(7)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
考点一 单调区间
1． （2014天津）函数的单调递增区间是_______
2． 函数的单调增区间是_________
考点二、函数单调性的应用
考法(一) 比较函数值的大小
[典例] 偶函数f(x)定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3) C．f(π)f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．
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第三节 函数的奇偶性与周期性
一、基础知识
1．函数的奇偶性
偶函数
奇函数
定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x
都有f(－x)＝f(x)❷，那么函数f(x)是偶函数
都有f(－x)＝－f(x)❷，那么函数f(x)是奇函数
图象特征
关于y轴对称
关于原点对称
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
2．函数的周期性
(1)周期函数
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
二、常用结论
1．函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
2．函数周期性常用结论
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对f(x)定义域内任一自变量x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．
3．函数图象的对称性
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
1．(2015福建)下列函数为奇函数的是
A． B． C． D．
2．(2015广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
A． B． C． D．
3．(2014新课标1)设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是
A．是偶函数 B．||是奇函数
C．||是奇函数 D．||是奇函数
4．(2014重庆)下列函数为偶函数的是
A． B． C． D．
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[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y＝f(x)是R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝2x，则当x>0时，f(x)＝( )
A．－2x B．2－x C．－2－x D．2x
(2)设函数是奇函数,则实数的值为______.
（3） （2019全国Ⅱ理14）已知是奇函数，且当时，.若，则__________.
[题组训练]
1．设函数f(x)= 的最大值为，最小值为，则
2．(2018·合肥八中模拟)若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.
3.(2014湖南)已知分别是上的偶函数和奇函数=，＝
A．－3 B．－1 C．1 D．3
考点三、由函数的单调性与奇偶性，求解不等式
1.已知偶函数在区间单调增加，则满足的的取值范围是(
A. B. C. D.
2．已知奇函数在区间上单调递减,则不等式的解集是(
A． B． C． D．
3．（2013天津）已知函数是定义在R上的偶函数， 且在区间单调递增．若实数a满足， 则a的取值范围是
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A． B． C． D．
4．（2017新课标Ⅰ）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足 的的取值范围是
A．[-2,2] B．[-1,1] C．[0,4] D．[1,3]
考点四、由函数的奇偶、周期性求值
[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 019)＝( )
A．5 B. C．2 D．－2
（2）定义在上的函数满足,,且时, 则________.
考点五、具体函数的对称中心或对称轴问题
1．若函数的图像的对称中心为,则实数的值为( )
A. B. C. D.
2．函数的图象的对称中心是（ ）
A. B. C. D.
3.函数f(x)＝的图象( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝x对称
4.(2016全国II) 已知函数满足，若函数 与
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图像的交点为，，…，，则
A．0 B．m C．2m D．4m 对称
5．函数的图象关于________对称
考点六 函数性质的综合问题
1.函数y＝f(x)在[0,2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是( )
A．f(1)
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