圆与方程含直线与圆圆与圆的位置关系高考历年真题

圆与方程含直线与圆圆与圆的位置关系高考历年真题

温馨提示：‎ 高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。‎ ‎【考点27】圆与方程（含直线与圆、圆与圆的位置关系）‎ ‎2009年考题 ‎1.（2009辽宁高考）已知圆C与直线x－y=0 及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，‎ 则圆C的方程为（ ）‎ ‎（A） (B) ‎ ‎(C) (D) ‎ ‎【解析】选B.圆心在x＋y＝0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径即可.‎ ‎2.（2009浙江高考）已知三角形的三边长分别为，则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】选B.由于3，4，5构成直角三角形S，故其内切圆半径为r=,当该圆运动时，最多与直角三角形S的两边也有4个交点。‎ ‎3.（2009上海高考）.过圆的圆心，作直线分别交x、y正半轴于 点A、B，被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足 则直线AB有（ ）‎ ‎（A） 0条 （B） 1条 （C） 2条 （D） 3条 ‎【解析】选B.由已知，得：，第II，IV部分的面积是定值，所以，为定值，即为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条，故选B。‎ ‎4.（2009湖南高考）已知圆：+=1，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为（ ）‎ ‎（A）+=1 （B）+=1‎ ‎（C）+=1 （D）+=1‎ ‎【解析】选B.设圆的圆心为（a，b），则依题意，有，‎ 解得：，对称圆的半径不变，为1，故选B.‎ ‎5.（2009陕西高考）过原点且倾斜角为的直线被圆学所截得的弦长为科网 ‎（A） （B）2 （C） （D）2 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】选D.过原点且倾斜角为60°的直线方程为 ‎6.（2009重庆高考）直线与圆的位置关系为（ ）‎ A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 ‎【解析】选B.圆心为、到直线，即的距离，而，选B。‎ ‎7.（2009重庆高考）圆心在轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解析】选A.方法1（直接法）：设圆心坐标为，则由题意知，解得，‎ 故圆的方程为。‎ 方法2（数形结合法）：由作图根据点到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为 方法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支排除B，D，又由于圆心在轴上，排除C。‎ ‎8.（2009上海高考）过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 ( )‎ ‎ （A）. （B）. （C）. （D）.‎ ‎【解析】选C.点在圆内，圆心为C（1，0），截得的弦最长时的直线为CP，方程是，即。‎ ‎9. （2009广东高考）以点（2，）为圆心且与直线相切的圆的方程是 .‎ ‎【解析】将直线化为,圆的半径,‎ 所以圆的方程 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 答案:‎ ‎10. （2009天津高考）若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，‎ 则___________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 。‎ ‎【解析】由知的半径为，由图可知 解之得 答案:1.‎ ‎11.（2009全国Ⅱ）已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,‎ 则四边形的面积的最大值为 。‎ ‎【解析】设圆心到的距离分别为,则.‎ 四边形的面积 答案:5.‎ ‎12.（2009全国Ⅱ）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 ‎ ‎【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和，所以所求面积为。‎ 答案: ‎ ‎13. （2009湖北高考）过原点O作圆x2+y2－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，‎ 则线段PQ的长为 。‎ ‎【解析】可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得 答案:4‎ ‎14.（2009四川高考）若⊙与⊙相交于A、B两点，‎ 且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是 .w ‎ 【解析】由题知，且，又，所以 ‎，∴。‎ 答案:4.‎ ‎15.（2009福建高考）已知直线l:3x+4y-12=0与圆C: (为参数 )试判断他们的公共点个数.‎ ‎【解析】圆的方程可化为.‎ 其圆心为,半径为2.‎ 圆心到直线的距离 故直线与圆的公共点个数为2.‎ 答案：2‎ ‎16.（2009海南、宁夏高考）已知曲线C： （t为参数）， C：（为参数）。‎ ‎（1）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（2）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求的中点到直线 ‎ （t为参数）距离的最小值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ 为圆心是（，半径是1的圆.‎ 为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.‎ ‎（Ⅱ）当时，‎ 为直线 从而当时，‎ ‎17.（2009江苏高考）在平面直角坐标系中，已知圆和圆.‎ ‎（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；‎ ‎（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标。‎ ‎【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。‎ ‎(1)设直线的方程为：，即 由垂径定理，得：圆心到直线的距离，‎ 结合点到直线距离公式，得： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 化简得：‎ 求直线的方程为：或，‎ 即或 ‎(2) 设点P坐标为，直线、的方程分别为：‎ ‎，即：‎ 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等。‎ 由垂径定理，得圆心到直线与直线的距离相等。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 故有：，‎ 化简得：‎ 关于的方程有无穷多解，有： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 解之得：点P坐标为或。‎ ‎2008年考题 ‎1、（2008山东高考）若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是 （ ） ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【解析】选B.设圆心为由已知得 ‎2、（2008广东高考）经过圆的圆心C，且与直线垂直的直线方程是（ ）‎ A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0‎ ‎【解析】选C.易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，‎ 将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为（或由图象 快速排除得正确答案）。‎ ‎3、（2008山东高考）已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 （ ） ‎ A．10 B．20 C．30 D．40‎ ‎【解析】选B。将方程化成标准方程，过点的最长弦（直径）为 最短弦为 ‎4、（2008全国Ⅰ）若直线＝1与圆有公共点，则（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】选D.本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，由相切或相交得：，‎ ‎，．‎ ‎5、（2008安徽高考）若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取 值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解析】选C.方法一：数形结合法（如图） ‎ ‎ 另外，数形结合画出图象也可以判断C正确。‎ 方法二：利用距离与半径的关系 点 在圆外，因此斜率必存在。设直线方程为，‎ 即，直线与曲线有公共点，‎ 圆心到直线的距离小于等于半径 ，‎ 得.‎ ‎6、（2008上海高考）如图，在平面直角坐标系中，是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B、C、D是该圆的四等分点，若点、满足且，则称P优于，如果中的点Q满足：不存在中的其它点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧（ ）‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【解析】选D.由题意知，若P优于，则P在的左上方，‎ 当Q在 上时，左上的点不在圆上，‎ ‎ 不存在其它优于Q的点， Q组成的集合是劣弧。‎ ‎7、（2008天津高考）已知圆的圆心与点关于直线对称．直线与圆相交于两点，且，则圆的方程为 ．‎ ‎【解析】本小题主要考查直线方程中的对称问题，圆中有关弦长的计算两方面的知识．‎ 由已知可求圆心的坐标为，所以，圆的方程为．‎ 答案:‎ ‎8、（2008宁夏海南高考）已知直线和圆.‎ ‎（Ⅰ）求直线斜率的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？‎ ‎【解析】（Ⅰ），‎ ‎∴当k≠0时，解得且k≠0‎ 又当k＝0时，m＝0，方程有解，所以，综上所述 ‎（Ⅱ）假设直线能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧．设直线与圆交于A，B两点 则∠ACB＝120°．∵圆，∴圆心C（4，-2）到l的距离为1．‎ 故有，整理得．‎ ‎∵，∴无实数解．‎ 因此直线不可能将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧．‎ ‎9、（2008江苏高考）在平面直角坐标系中，二次函数（）与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆．‎ ‎（Ⅰ）求实数b的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）求圆的方程；‎ ‎（Ⅲ）圆是否经过定点（与的取值无关）？证明你的结论．‎ ‎【解析】（Ⅰ）令x=0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）‎ 令f(x)=0，得x2+2x+b=0，由题意b≠0且△>0，解得b<1且b≠0‎ ‎（Ⅱ）设所求圆的一般方程为x2+ y2+Dx+Ey+F=0‎ 令y=0，得x2+Dx+F=0，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b 令x=0，得y2+ Ey+b=0，此方程有一个根为b，代入得E=-b-1‎ 所以圆C的方程为x2+ y2+2x -(b+1）y+b=0‎ ‎（Ⅲ）圆C必过定点（0，1），（-2，1）‎ 证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b+1）×1+b=0，右边=0‎ 所以圆C必过定点（0，1）；‎ 同理可证圆C必过定点（-2，1）．‎ ‎10、（2008北京高考）已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．‎ ‎（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意得直线的方程为．‎ 因为四边形为菱形，所以．‎ 于是可设直线的方程为．‎ 由得．‎ 因为在椭圆上，‎ 所以，解得．‎ 设两点坐标分别为，‎ 则，，，．‎ 所以．‎ 所以的中点坐标为．‎ 由四边形为菱形可知，点在直线上， ‎ 所以，解得．‎ 所以直线的方程为，即．‎ ‎（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，‎ 所以．‎ 所以菱形的面积．‎ 由（Ⅰ）可得，‎ 所以．‎ 所以当时，菱形的面积取得最大值．‎ ‎11、（2008湖北高考）如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，‎ ‎，是半圆弧上一点，，曲线是满足 为定值的动点的轨迹，且曲线过点.‎ ‎（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；‎ ‎（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.‎ 若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.‎ ‎【解析】（Ⅰ）方法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得 ‎｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.‎ ‎∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.‎ 设实半轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，‎ 则c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.∴曲线C的方程为.‎ 方法2：同方法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜｜AB｜＝4.‎ ‎∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.‎ 设双曲线的方程为＞0，b＞0）.‎ 则由解得a2=b2=2,‎ ‎∴曲线C的方程为 ‎ 图1 图2‎ ‎(Ⅱ)方法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0. ①‎ ‎∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，‎ ‎∴ 　　‎ ‎∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）. ②‎ 设E（x1，y1），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=,于是 ‎｜EF｜＝‎ ‎＝‎ 而原点O到直线l的距离d＝，‎ ‎∴S△OEF=‎ 若△OEF面积不小于2,即S△OEF，则有 ‎ ③‎ 综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1)∪(-1,1) ∪(1, ].‎ 方法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，‎ 得（1-k2）x2-4kx-6=0.‎ ‎∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，‎ ‎∴ 　　‎ ‎∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.‎ 设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 ‎｜x1-x2｜= ③‎ 当E、F在同一支上时（如图1所示），‎ S△OEF＝‎ 当E、F在不同支上时（如图2所示）.‎ S△ODE=‎ 综上得S△OEF＝于是 由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=‎ 若△OEF面积不小于2‎ ‎ 　④‎ 综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1）∪（-1，1）∪（1，].‎ ‎2007年考题 ‎1、(2007安徽高考)若圆的圆心到直线的距离为,则a的值为 ‎(A)-2或2 (B) (C)2或0 (D)-2或0‎ ‎【解析】选C.若圆的圆心(1，2)到直线的距离为，∴ ，‎ ‎∴ a=2或0，选C。‎ ‎2、（2007上海高考）圆关于直线对称的圆的方程是（　　）‎ ‎ Ａ． Ｂ．‎ ‎ Ｃ． Ｄ．‎ ‎【解析】选C.圆，圆心（1，0），半径，关于直线对称的圆半径不变，排除A、B，两圆圆心连线，线段的中点在直线上，C中圆的圆心为（－3，2），验证适合，故选C。‎ ‎3、（2007湖北高考）已知直线（是非零常数）与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ）‎ A．60条 B．66条 C．72条 D．78条 ‎【解析】选A.可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，‎ 而圆上的整数点共有12个，分别为，‎ ‎，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点，构成条直线，其中有4条直线垂直轴，有4条直线垂直轴，还有6条过原点（圆上点的对称性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有条，选A.‎ ‎4、（2007湖北高考）由直线y=x+1上的一点向圆(x-3)2+y2=1引切线，则切线长的最小值为 A.1 B.2 C. D.3‎ ‎【解析】选C.切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=，圆的半径为1，故切线长的最小值为，选C.‎ ‎5、（2007重庆高考）若直线与圆相交于P、Q两点，‎ 且∠POQ＝120°（其中O为原点），则k的值为 ‎（A） （B） ‎ ‎（C） （D）‎ ‎【解析】选A.如图，直线过定点（0，1），‎ ‎ ‎ ‎6、（2007广东高考）（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为 ‎（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数），则圆C的圆心坐标为_______，圆心到直线l的距离为______.‎ ‎【解析】直线的方程为x+y-6=0，d=;‎ E 答案:（0，2）；.‎ ‎7、（2007广东高考）[几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６，‎ Ｃ为圆周上一点。ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线l，过Ａ作l的垂线ＡＤ，‎ 垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝______；线段AE的长为_______。‎ ‎【解析】根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余，‎ 很容易得到答案，AE=EC=BC=3；‎ 答案:；3。‎ ‎8、（2007天津高考）已知两圆和相交于两点，则直线的方程是.‎ ‎【解析】两圆方程作差得.‎ 答案:‎ ‎9、（2007山东高考）与直线和曲线都相切的半径最小的圆的标准方程是_________.‎ ‎【解析】曲线化为，其圆心到直线的距离为 所求的最小圆的圆心在直线上，其到直线的距离为，圆心坐标为标准方程为。‎ 答案:‎ ‎10、（2007上海高考）已知圆的方程，为圆上任意一点（不包括原点）。直线的倾斜角为弧度，，则的图象大致为 ‎ ‎【解析】 ‎ 答案: ‎ ‎11、（2007湖南高考）圆心为且与直线相切的圆的方程是 ．‎ ‎【解析】半径R=，所以圆的方程为 答案:‎ ‎12、（2007江西高考）设有一组圆．下列四个命题：‎ Ａ．存在一条定直线与所有的圆均相切 Ｂ．存在一条定直线与所有的圆均相交 Ｃ．存在一条定直线与所有的圆均不相交 Ｄ．所有的圆均不经过原点 其中真命题的代号是 ．（写出所有真命题的代号）‎ ‎【解析】圆心为（k-1，3k）半径为，圆心在直线y=3（x+1）上，所以直线y=3（x+1）必与所有的圆相交，B正确；由C1、C2、C3的图像可知A、C不正确；若存在圆过原点（0，0），则有（因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点。‎ 答案:B、D ‎13、（2007四川高考）已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则动点的轨迹方程是__________________‎ ‎【解析】：圆心，半径；：圆心，半径．设，由切线长相等得，即．‎ 答案:‎ ‎14、（2007北京高考）矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．‎ ‎（I）求边所在直线的方程；‎ ‎（II）求矩形外接圆的方程；‎ ‎（III）若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程．‎ ‎【解析】（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．‎ 又因为点在直线上，‎ 所以边所在直线的方程为．‎ 即．‎ ‎（II）由解得点的坐标为，‎ 因为矩形两条对角线的交点为．‎ 所以为矩形外接圆的圆心．‎ 又．‎ 从而矩形外接圆的方程为．‎ ‎（III）因为动圆过点，所以是该圆的半径，又因为动圆与圆外切，‎ 所以，即．‎ 故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支．‎ 因为实半轴长，半焦距．所以虚半轴长．‎ 从而动圆的圆心的轨迹方程为．‎ ‎15、（2007北京高考）已知函数与的图象相交于，，，分别是的图象在两点的切线，分别是，与轴的交点．‎ ‎（I）求的取值范围；‎ ‎（II）设为点的横坐标，当时，写出以为自变量的函数式，并求其定义域和值域；‎ ‎（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．‎ ‎【解析】（I）由方程消得． ①‎ 依题意，该方程有两个正实根，故解得．‎ ‎（II）由，求得切线的方程为，‎ 由，并令，得 ‎，是方程①的两实根，且，故，，‎ 是关于的减函数，所以的取值范围是．‎ 是关于的增函数，定义域为，所以值域为，‎ ‎（III）当时，由（II）可知．‎ 类似可得．．‎ 由①可知．从而．当时，有相同的结果．‎