坐标系与参数方程全国高考新课程卷试题分析与启示

坐标系与参数方程全国高考新课程卷试题分析与启示

备注：此论文于2015年4月已发表在《教学考试》（理论版2双月刊）杂志上。‎ ‎ 坐标系与参数方程试题分析与启示 ‎ 748200 甘肃省渭源县第一中学 何伟军 ‎ “坐标系与参数方程”是新课标新增内容,是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化.从2007年到至今已经走过整整八年的考试历程，研究它的命题规律，有助于把握命题动向，整体感知，有利于实施具体的备考计划，这成为高考备考独一无二的选择.纵观历年考题，我们可以从以下几个方面分析：‎ 一、 坐标系与参数方程试题的综合分析 ‎1、坐标系与参数方程考点分析 ‎ 题型不变、第23题位置固定不变，文理同题不变，分值10分不变，命题本源是选修4-4：坐标系与参数方程,是以直线、圆参数方程和极坐标方程、仅以及椭圆的参数方程为背景，求曲线的交点坐标、点的轨迹的参数方程、弦长、取值范围等；考题涵盖《考纲》所涉及的知识点，现分析如下：‎ 直线方程 圆方程 椭圆方程参数 ‎ 考点分析 极坐标 参数 极坐标 参数 ‎2007‎ ‎∨‎ 以圆心在极轴和过极点垂直于极轴直线上的圆的极坐标方程为载体，化极坐标方程为直角坐标方程，并求两圆公共弦所在直线的方程.‎ ‎2008‎ ‎∨‎ ‎∨‎ 以直线和圆的参数方程为载体，判断曲线，说明公共点的个数，并将两曲线“压扁”后交点与原来是否相同.‎ ‎2009‎ ‎∨‎ 以圆和椭圆的参数方程为载体，化其为普通方程，并求圆上的定点与椭圆上动点的中点到已知直线距离的最小值.‎ ‎2010‎ ‎∨‎ ‎∨‎ 以直线和圆的参数方程为载体，求两曲线交点坐标和P点的轨迹的参数方程 ‎2011‎ ‎∨‎ ‎∨‎ 以圆的参数方程为载体，求满足条件另一动点的轨迹.求射线被圆所截的弦长.‎ ‎2012‎ ‎∨‎ ‎∨‎ 以椭圆参数方程和圆的极坐标方程为载体，求内接正方形顶点的直角坐标和距离平方和取值范围.‎ ‎2013‎ ‎∨‎ 以圆和射线的参数方程为载体，求动点的轨迹的参数方程；判断轨迹是否过原点.‎ ‎2014‎ ‎∨‎ ‎∨‎ 以圆心在极轴的圆的极坐标方程为依托，化极坐标方程为参数方程，并已知该圆上一点的切线方程，求切点.‎ ‎2、试题源于课本 ‎ 课本是什么？课本是数学知识结构的外在呈现，是高中教学的依据；课本是试题的基本来源；是高考命题的主要依据；是中低档题的直接来源；是解题能力的生长点.集中考察八年坐标系与参数方程考题，分析对比，不难发现大多数试题的产生都是课本中的例习题、探究和思考为源题，在此基础上组合、加工和发展的结果，如表2所示.‎ 年份 ‎2007‎ ‎2008‎ ‎2009‎ ‎2010‎ 人教A版选修 P.15习题1.3第1（3）、4（3）题（以下简称P.15T1(3)、4（3））‎ P.24例2、P.26习题2.1T（4）、P.7例2、选修2—1P.48T6‎ P.24例2、P.26习题2.1T4（4）、P.38例1‎ P.39习题2.3T1、P.24例2‎ 人教A版 必修‚P.1294.2.2例2、P.132习题4.2A组T9、P.144复习参考题A组T4.‎ 必修‚P.127例1‎ 必修‚P.133B组T5（1）‎ 必修‚4.2P.127例1、P.128练习T4、P.132练习T1、4.2A组T5‎ 年份 ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ 人教A版选修 P.24例2、P.15习题1.3T2（1）（4）、P.12习题1.2T3‎ P.25例4（1）、P.13例1、P.10例2、P.12习题1.2T1‎ P.25例4（1）、P.35习题2.2T5‎ P.12探究、P.15T4（3）、P.24思考 人教A版 必修④P.89例6；必修④P.113习题2.5A组T1‎ 必修‚P.133T2‎ 必修‚P.96中点坐标公式;‎ 必修‚P.132A组T1‎ 二、命题方法再现 ‎ ‎ 由表1所考查的知识点和表2所涉猎的课本题不难看出，大多数考题由课本题变化而来.课本习题为素材的变式题，通过变形、延伸与拓展来命制高考数学题.这些题目（1）选编源题，采用串并方式的仿制题；（2）精编源题，与三角函数巧结合，“题”高一筹；（3）改装源题条件，深层加工，力图创新；（4）课本源题做“引子”，传承精髓，题在书外，理在书中.下面我们将遴选高考真题，分别给予剖析.‎ ‎ 1.选编源题，采用串并方式的仿制题；‎ ‎ 1.1并联方式，重现源题 ‎ ‎ 案例1（2007年全国新课标卷Ⅱ）和的极坐标方程分别为．‎ ‎ （Ⅰ）把和的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）求经过，交点的直线的直角坐标方程．‎ ‎ 解析：以极点为原点，极轴为轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． ‎ ‎ （Ⅰ），，由得．所以．即为的直角坐标方程．‎ 同理为的直角坐标方程．‎ ‎ （Ⅱ）由解得．即，交于点和．过交点的直线的直角坐标方程为．‎ ‎ 源题：（1）把极坐标方程，化为直角坐标方程；‎ ‎ （2）已知圆，圆，试判断圆与圆的位置关系.‎ ‎ 思考：考题第（Ⅰ）问是课本习题重现，剥去极坐标“外装”后，第(Ⅱ)问也是必修2所学内容，是课本源题的重现，背景熟悉，朴实无华，基本上是并联方式构成命题.‎ ‎ 2.2、串联方式，多层“拼接”、叠加 ‎ ‎ 案例2（2008年全国新课标卷Ⅱ）已知曲线C1：，曲线C2： ‎ ‎ （Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；‎ ‎ （Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线，.写出 ‎，的参数方程.与公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.‎ ‎ 解析：（Ⅰ）是圆，是直线．的普通方程为，圆心，半径．的普通方程为．因为圆心到直线的距离为，所以与只有一个公共点．‎ ‎ （Ⅱ）压缩后的参数方程分别为 ‎：（为参数）：（为参数）‎ 化为普通方程为：：，：，‎ 联立消元得，其判别式，所以压缩后的直线与椭圆仍然只有一个公共点，和与公共点个数相同．‎ ‎ 源题：（1）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：；‚（为参数）‎ ‎ （2）已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系；如果相交，求出它们交点坐标.‎ ‎（3)在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.；‚.‎ ‎（4）求直线和椭圆的交点坐标.‎ 思考：考题两问，考题其实由课本4道题稍加“包装”“拼接”叠加而成.若把源题（2）的直线方程和圆方程化为参数方程后就与考题相差无几.换言之，考题以参数方程“包装”，化为普通方程后，发现两题形异质同，‎ 而这正是高考命题的基本依据和发源地.高考复习中单打一显然不能应对多层次组合的考题，串通教材为提高能力之为，只有平时扎实的基础才能从容不迫应对综合考题.‎ 2. 精编源题，与三角函数精巧结合，“题”高一筹 ‎2.1与三角交汇，主体结构和源题基本一致 ‎ 案例3：（2009年全国新课程卷Ⅱ）已知曲线C：（t为参数），C：（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）化C，C的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）若C上的点P对应的参数为，Q为C上的动点，求中点到直线 ‎（为参数）距离的最小值.w.w.w.k.‎ ‎ 解析：（Ⅰ）为圆心是（，半径是1的圆.是以坐标原点为中心，焦点在轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.‎ ‎ （Ⅱ）当时，为直线，到的距离，从而当时，‎ ‎ 源题：（1）把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：(为参数）；‚ （为参数）；‎ ‎ （2）在椭圆上求一点，使点到直线的距离最小，并求出最小距离.‎ ‎ 思考：考题设置两问，第（Ⅰ）课本习题类型，第（Ⅱ）中中点的坐标和课本和椭圆上的点 完全类似，主体结构和课本题基本一致，直接取材于课本，选编源题，与三角函数精巧结合，串通例习题的思想方法，“题”高一筹.‎ ‎2.2将源题抽象化、模型化，求解参数化 ‎ 案例4(2012年全国新课标卷Ⅱ)已知曲线的参数方程是(为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的坐标系方程是，正方形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的极坐标为 ‎ （Ⅰ）求点的直角坐标；‎ ‎ （Ⅱ）设为上任意一点，求的取值范围.‎ ‎ 解析:（Ⅰ）点的极坐标为 点的直角坐标为 ‎ （Ⅱ）设；则 (为参数）‎ ‎ 源题：（1）在图1-9中，用点分别表示教学楼，体育馆，图书馆，实验楼，办公楼的位置.建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.‎ ‎ （2）已知点的极坐标分别为，求它们的直角坐标.‎ ‎ (3)已知点，点在圆上运动，求的最大值和最小值.‎ ‎ 思考：以椭圆的参数方程和圆的极坐标方程为载体，已知圆内接正方形的一个顶点的极坐标，求其它各顶点的坐标，此问与源题相似，将源题抽象化、模型化就是考题，将考题生活化、具体化就是源题，这是常见命题方法，该题目就是课本源题的深层次变形.第（2）问是将源题（3）中的圆改编为椭圆参数的方程后，从题干到设问就“酷似”考题.因此扎根教材，夯实基础策略永远不变.‎ ‎ 3.改装源题条件，深层加工，力图创新 ‎ 3.1 变更源题载体，构成形异质同题 ‎ 案例5 （2010年全国新课程卷Ⅱ）已知直线C1（t为参数），C2（为参数）.‎ ‎ （Ⅰ）当=时，求C1与C2的交点坐标；‎ ‎ （Ⅱ）过坐标原点作的垂线，垂足为，为中点，当变化时，求点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线.‎ ‎ 解析：（Ⅰ）当时，的普通方程为，的普通方程为.联立方程组，解得与的交点为.‎ ‎ （Ⅱ）的普通方程为.A点坐标为，故当变化时，点轨迹的参数方程为： （为参数），点轨迹的普通方程为.故点轨迹是圆心为，半径为的圆.‎ ‎ 源题：（1）设直线经过点、倾斜角为.求直线的参数方程；‚求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积.‎ ‎（2）求直线被圆截得的弦的长. ‎ ‎（3）已知是直角坐标原点，是抛物线上异于顶点的两动点，且并与相交于点，求点的轨迹方程.‎ ‎ 思考：两题有极大的相似性，第（Ⅰ）与课本题十分接近，如果把必修‚中4.2直线、圆的位置关系一节的题目的普通方程用参数方程改装，就已经相差无几了.第（Ⅱ）问与源题（3）外形稍有不同，一个是以定圆与动直线为载体，求以过原点与动直线的垂线段的中点轨迹；一个是以定抛物线与动直线为载体，求过原点与动直线垂直时垂足的轨迹.两者都有垂直的情结，都是以动直线中参数为变量来表示点 的轨迹方程的，求解问题思想方法一脉相承，试题所承载的知识、思想方法没变.‎ ‎ 3.2 多重组合，深层加工，交汇创新 ‎ ‎ 案例6（2011年全国新课标Ⅱ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．‎ ‎ （Ⅰ）求的方程；‎ ‎ （Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.‎ ‎ 解析（Ⅰ）设，则由条件知.由于点在上，所以，从而的参数方程为（为参数）‎ ‎ （Ⅱ）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．‎ 射线与的交点的极径为，射线与的交点的极径为．所以.‎ 源题：（1）圆的半径为2，是圆上的动点，是轴上的定点，是的中点.当点绕作匀速圆周运动时，求点的轨迹的参数方程.‎ ‎ （2）在极坐标系中，求适合下列条件的直线或圆的极坐标方程：过极点，倾斜角是的直线；‚圆心在，半径为的圆.‎ ‎ （3）在极坐标系中，已知两点，求两点间的距离.‎ ‎ 思考： 多重组合的痕迹从源题上可以看得出来，从源题的问题再设计和改动，并赋予向量进行条件的改装，第（I）问条件中点满足，与源题中是的中点高度吻合.求曲线的参数方程和求轨迹方程是类似的，即“建系、设点、列式、化简”.第（Ⅱ）问可在源题中找到“影子”‎ ‎，也可找到解决问题的方法，这就是求极坐标系下的两点间的距离除了转化成直角坐标方程，在同一极角下两点间的距离，可以用极经的差来计算.关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系.‎ ‎3.3紧扣教材立意、创新，推陈出新 ‎ ‎ 案例7 （2013年全国新课标卷Ⅱ）已知动点都在曲线 （为参数上,对应参数分别为与,为的中点.‎ ‎ (Ⅰ)求的轨迹的参数方程；‎ ‎ (Ⅱ)将到坐标原点的距离表示为的函数,并判断的轨迹是否过坐标原点.‎ ‎ 解析：(Ⅰ)依题意有，‎ ‎ 因此.的轨迹的参数方程为（为参数，）‎ ‎ (Ⅱ)点到坐标原点的距离.当时，，故的轨迹过坐标原点.‎ ‎ 源题：（1）经过抛物线的顶点任作两条互相垂直的线段和，以直线的斜率为参数，求线段的中点的轨迹的参数方程.‎ ‎（2）圆的半径为2，是圆上的动点，是轴上的定点，是的中点.当点绕作匀速圆周运动时，求点的轨迹的参数方程. 同案例6源题（1）相同.‎ 思考：两题外形基本一致，结构相同，紧扣教材立意，属于课本试题的多层改装.第(Ⅰ)问，是将源题中抛物线改为圆，并以圆的参数方程呈现，改为，并且以直线的斜率为参数，其实与直线的倾斜角有关，这样两题从本质也是相同的.第(Ⅱ)用两点之间的距离公式转化为关于参变量的三角函数，精巧构思、与三角结合，天衣无缝，具有深度和“一箭双雕”功效，有力考查学生灵活运用知识解决问题能力.实现同一源题，不同的“组装”，衍生不同题，辐射不同的考点的目的.‎ ‎4.课本源题做“引子”，传承精髓，题在书外，理在书中 ‎ 例8（2014年全国新课标卷Ⅱ）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，‎ ‎ （Ⅰ）求C的参数方程；‎ ‎ （Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.‎ ‎ 解析：（Ⅰ）的普通方程为可得的参数方程（为参数，）‎ ‎ （Ⅱ）设.由（Ⅰ）知是以为圆心，1为半径的上半圆.因为在点处的切线与垂直，所以直线与的斜率相同.‎ ‎ . 故的直角坐标为，即 ‎ 源题：（1）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，求半径为，圆心坐标为的圆的极坐标方程.‎ ‎ （2）把极坐标方程化为直角坐标方程.‎ ‎ （3）把圆化为参数方程.‎ ‎ （4)判断直线与圆的位置关系.如果有公共点，求出公共点的坐标. ‎ ‎ 思考：考题源于教材“探究”“思考”的问题中，串通教材改编，第（Ⅱ）问结合必修2的内容，用切线、垂直、合情推理，精巧构思，拾级而上，给人以耳目一新的感觉. 明确参数是该圆的离心角，离心角的正切值就是等于，即，抓住这一关键.研究教材，抓住知识要点，挖掘知识形成过程中蕴含的思想方法是高考复习的重要目标.‎ 二、备考启示 ‎1、研读《考纲》和《考试说明》,重视回归课本 我们应认真研读《考纲》和《考试说明》，明确“考什么”、“考多难”、“怎么考”这三个问题.对比《考纲》研究直线、圆、椭圆的极坐标方程和参数方程与应用；研究高考试题，不难发现试题有如下特征：极坐标与直角坐标、参数与普通方程的互化，是属于课本最基本的内容，只变其形不变其质，万变不离其宗.题目以“极参”‎ 包装，考查点的轨迹、直线与圆、椭圆位置关系的量.与必修2中直线与圆珠联璧合，通常可化为普通方程解决.选修课本与必修相比少了练习题、B组题，总复习参考题，由此选修课本中的习题很珍贵，非常具有代表性，在习题教学中，要突破照本宣科和就题论题的教学模式，越是到复习的后期，我们教师就越要有“花招”，以“大显身手”，充分以课本例习题为题根，引导学生分析、整合、拓展、创新进行新的构建，进行“一题多变”训练，同时链接高考，剖析同根同源查证.我们必须带着“考纲”回归课本，特别是考纲上与往年不同的地方，近几年没有考到的点，一定要重点复习，做到不遗漏，扎实的基础是智取的法宝.‎ ‎ 2、注重交汇综合，提升解决问题的能力 学科内跨章节知识交汇问题常常是命题的高频考点，直线、圆、椭圆的极坐标方程只是在两种坐标系下“数”的“外现”，而参数方程与普通方程是同一动点轨迹“数”的直接和间接关系的两种表达.由于参数方程中常常以角为参数，极坐标方程中的极角，这为命题者提供丰富资源与联系，往往与三角函数问题交汇、融合，成为考查能力的“佳品”，象2009年第Ⅱ问，2010年第Ⅱ问，2012年第Ⅱ问，均与三角函数的最值有关，一石击二鸟.高考复习回归课本时要有意将必修2中《直线与圆方程》一章的例习题以极限或参数“包装”后，重新审视新情景下所设置的问题有如何作答，教师的功夫花在组合、加工课本题，使其与高考题充分的“逼真”.领会课本中各知识点的内在联系，揭示问题的实质，培养学生抓住问题本质的思维能力，提升解决问题能力就是高效备考.‎ ‎3、强化训练，志在必得 ‎ 仔细研究试题不都是课本原题，都是重组、加工和改造的创新题，没有一年是“拼盘式”、原题复制式的，而是命题专家精心由浅入深，层次递进，智慧与灵感撞击的佳题，似曾相识，比较“眼熟”，有亲切感，考生没有心理压力.此题虽然属于中档题，是属于送分题，是志在必得的夺分题，但对能力要求并不低.高考复习要强化落实，不能只是“刀光剑影”“雨过地皮湿”“匆匆而过”要渗透下去.要查找盲区，夯实基础，重视方法，学会知识迁移.数学大师陈省升先生说：“做数学要做得很熟练，要多做，要反复做，要做很长时间，你就明白其中的奥妙，你就可以创新了.灵感完全是苦功的结果，要不灵感不会来.”数学解答需要有扎实的基础，否则基础分是不能轻易拿到手的.‎ 参考文献 ‎[1]人民教育出版社中学数学室.选修4—4：坐标系与参数方程[M].北京：人民教育出版社，2007.1第2版.‎ ‎[2]人民教育出版社中学数学室.必修‚A版[M].北京：人民教育出版社，2007.2第3版.‎