全国统一高考数学试卷理科全国卷ⅰ

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文档介绍

全国统一高考数学试卷理科全国卷ⅰ

‎2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)‎ ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)‎ ‎1.(4分)α是第四象限角,,则sinα=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.(4分)设a是实数,且是实数,则a=(  )‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎3.(4分)已知向量,,则与(  )‎ A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向 ‎4.(4分)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.(4分)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b﹣a=(  )‎ A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2‎ ‎6.(4分)下面给出的四个点中,到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是(  )‎ A.(1,1) B.(﹣1,1) C.(﹣1,﹣1) D.(1,﹣1)‎ ‎7.(4分)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(4分)设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=(  )‎ A. B.2 C. D.4‎ ‎9.(4分)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的(  )‎ A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 ‎10.(4分)的展开式中,常数项为15,则n=(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎11.(4分)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是(  )‎ A.4 B. C. D.8‎ ‎12.(4分)函数f(x)=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.(5分)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有  种.(用数字作答)‎ ‎14.(5分)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)=  .‎ ‎15.(5分)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为  .‎ ‎16.(5分)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分82分)‎ ‎17.(12分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA ‎(Ⅰ)求B的大小;‎ ‎(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.‎ ‎18.(12分)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为 ‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润.‎ ‎(Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);‎ ‎(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.‎ ‎19.(14分)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.‎ ‎(Ⅰ)证明:SA⊥BC;‎ ‎(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.‎ ‎20.(14分)设函数f(x)=ex﹣e﹣x ‎(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;‎ ‎(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.‎ ‎21.(14分)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P ‎(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;‎ ‎(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.‎ ‎22.(16分)已知数列{an}中,a1=2,,n=1,2,3,…‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列{bn}中,b1=2,,n=1,2,3,…,证明:,n=1,2,3,…‎ ‎ ‎ ‎2007年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷Ⅰ)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(共12小题,每小题4分,满分48分)‎ ‎1.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)α是第四象限角,,则sinα=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据tanα=,sin2α+cos2α=1,即可得答案.‎ ‎【解答】解:∵α是第四象限角,=,sin2α+cos2α=1,‎ ‎∴sinα=﹣.‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎2.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a是实数,且是实数,则a=(  )‎ A. B.1 C. D.2‎ ‎【分析】复数分母实数化,化简为a+bi(a、b∈R)的形式,虚部等于0,可求得结果.‎ ‎【解答】解.设a是实数,=是实数,则a=1,‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎3.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)已知向量,,则与(  )‎ A.垂直 B.不垂直也不平行 C.平行且同向 D.平行且反向 ‎【分析】根据向量平行垂直坐标公式运算即得.‎ ‎【解答】解:∵向量,,得,‎ ‎∴⊥,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎4.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),则双曲线方程为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】根据焦点坐标求得c,再根据离心率求得a,最后根据b=求得b,双曲线方程可得.‎ ‎【解答】解.已知双曲线的离心率为2,焦点是(﹣4,0),(4,0),‎ 则c=4,a=2,b2=12,‎ 双曲线方程为,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎5.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},则b﹣a=(  )‎ A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2‎ ‎【分析】根据题意,集合,注意到后面集合中有元素0,由集合相等的意义,结合集合中元素的特征,可得a+b=0,进而分析可得a、b的值,计算可得答案.‎ ‎【解答】解:根据题意,集合,‎ 又∵a≠0,‎ ‎∴a+b=0,即a=﹣b,‎ ‎∴,‎ b=1;‎ 故a=﹣1,b=1,‎ 则b﹣a=2,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎6.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)下面给出的四个点中,到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点是(  )‎ A.(1,1) B.(﹣1,1) C.(﹣1,﹣1) D.(1,﹣1)‎ ‎【分析】要找出到直线x﹣y+1=0的距离为,且位于表示的平面区域内的点,我们可以将答案中的四个点逐一代入验证,不难得到结论.‎ ‎【解答】解.给出的四个点中,(1,1),(﹣1,1),(﹣1,﹣1)三点到直线x﹣y+1=0的距离都为,‎ 但∵,‎ 仅有(﹣1,﹣1)点位于表示的平面区域内 故选C ‎ ‎ ‎7.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)如图,正棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B,得到的锐角∠A1BC1就是异面直线所成的角,在三角形中A1BC1用余弦定理求解即可.‎ ‎【解答】解.如图,连接BC1,A1C1,‎ ‎∠A1BC1是异面直线A1B与AD1所成的角,‎ 设AB=a,AA1=2a,∴A1B=C1B=a,A1C1=a,‎ ‎∠A1BC1的余弦值为,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎8.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)设a>1,函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为,则a=(  )‎ A. B.2 C. D.4‎ ‎【分析】因为a>1,函数f(x)=logax是单调递增函数,最大值与最小值之分别为loga2a、logaa=1,所以loga2a﹣logaa=,即可得答案.‎ ‎【解答】解.∵a>1,∴函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之分别为loga2a,logaa,‎ ‎∴loga2a﹣logaa=,∴,a=4,‎ 故选D ‎ ‎ ‎9.(4分)(2008•上海)f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的(  )‎ A.充要条件 B.充分而不必要的条件 C.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件 ‎【分析】本题主要是抽象函数奇偶性的判断,只能根据定义,而要否定奇偶性,一般用特值.‎ ‎【解答】‎ 解.若“f(x),g(x)均为偶函数”,则有f(﹣x)=f(x),g(﹣x)=g(x),‎ ‎∴h(﹣x)=f(﹣x)+g(﹣x)=f(x)+g(x)=h(x),∴“h(x)为偶函数”,‎ 而反之取f(x)=x2+x,g(x)=2﹣x,h(x)=x2+2是偶函数,而f(x),g(x)均不是偶函数”,‎ 故选B ‎ ‎ ‎10.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)的展开式中,常数项为15,则n=(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项,令x的指数为0求出常数项,据n的特点求出n的值.‎ ‎【解答】解:的展开式中,常数项为15,‎ 则,‎ 所以n可以被3整除,‎ 当n=3时,C31=3≠15,当n=6时,C62=15,‎ 故选项为D ‎ ‎ ‎11.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是(  )‎ A.4 B. C. D.8‎ ‎【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程,进而可得到过F且斜率为的直线方程然后与抛物线联立可求得A的坐标,再由AK⊥l,垂足为K,可求得K的坐标,根据三角形面积公式可得到答案.‎ ‎【解答】解:∵抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线为l:x=﹣1,‎ 经过F且斜率为的直线 与抛物线在x轴上方的部分相交于点A(3,2),‎ AK⊥l,垂足为K(﹣1,2),‎ ‎∴△AKF的面积是4‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎12.(4分)(2007•全国卷Ⅰ)函数f(x)=cos2x﹣2cos2的一个单调增区间是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】化简函数为关于cosx的二次函数,然后换元,分别求出单调区间判定选项的正误.‎ ‎【解答】解.函数=cos2x﹣cosx﹣1,‎ 原函数看作g(t)=t2﹣t﹣1,t=cosx,‎ 对于g(t)=t2﹣t﹣1,当时,g(t)为减函数,‎ 当时,g(t)为增函数,‎ 当时,t=cosx减函数,‎ 且,∴原函数此时是单调增,‎ 故选A ‎ ‎ 二、填空题(共4小题,每小题5分,满分20分)‎ ‎13.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 36 种.(用数字作答)‎ ‎【分析】由题意知本题是一个有约束条件的排列组合问题,先从除甲与乙之外的其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,写出即可.‎ ‎【解答】‎ 解.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,‎ 其中甲、乙二人不能担任文娱委员,‎ ‎∵先从其余3人中选出1人担任文娱委员,‎ 再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,‎ ‎∴不同的选法共有C31•A42=3×4×3=36种.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,则f(x)= 3x(x∈R) .‎ ‎【分析】由题意推出f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,求解即可.‎ ‎【解答】解.函数y=f(x)的图象与函数y=log3x(x>0)的图象关于直线y=x对称,‎ 则f(x)与函数y=log3x(x>0)互为反函数,f(x)=3x(x∈R)‎ 故答案为:3x(x∈R)‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,则{an}的公比为  .‎ ‎【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3,利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1,S2和S3,代入即可求得q.‎ ‎【解答】解:∵等比数列{an}的前n项和为Sn,已知S1,2S2,3S3成等差数列,‎ ‎∴an=a1qn﹣1,又4S2=S1+3S3,即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2),‎ 解.‎ 故答案为 ‎ ‎ ‎16.(5分)(2007•全国卷Ⅰ)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,已知正三棱柱的底面边长为2,则该三角形的斜边长为 2 .‎ ‎【分析】‎ 由于正三棱柱的底面ABC为等边三角形,我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,结合图形的对称性可得,该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高,从而得出等腰直角三角形DEF的中线长,最后得到该三角形的斜边长即可.‎ ‎【解答】解:一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上,∠EDF=90°,‎ 已知正三棱柱的底面边长为AB=2,‎ 则该三角形的斜边EF上的中线DG=,‎ ‎∴斜边EF的长为2.‎ 故答案为:2.‎ ‎ ‎ 三、解答题(共6小题,满分82分)‎ ‎17.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2bsinA ‎(Ⅰ)求B的大小;‎ ‎(Ⅱ)求cosA+sinC的取值范围.‎ ‎【分析】(1)先利用正弦定理求得sinB的值,进而求得B.‎ ‎(2)把(1)中求得B代入cosA+sinC中利用两角和公式化简整理,进而根据A的范围和正弦函数的性质求得cosA+sinC的取值范围.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由a=2bsinA,根据正弦定理得sinA=2sinBsinA,‎ 所以,‎ 由△ABC为锐角三角形得.‎ ‎(Ⅱ)==‎ ‎=.‎ 由△ABC为锐角三角形知,0<A<,0<﹣A<,‎ ‎∴<A<,‎ ‎,‎ 所以.‎ 由此有<,‎ 所以,cosA+sinC的取值范围为(,).‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2007•全国卷Ⅰ)某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的付款期数ξ的分布列为 ‎ ξ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎0.2‎ ‎0.1‎ ‎0.1‎ 商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为200元;分2期或3期付款,其利润为250元;分4期或5期付款,其利润为300元,η表示经销一件该商品的利润.‎ ‎(Ⅰ)求事件A:“购买该商品的3位顾客中,至少有1位采用1期付款”的概率P(A);‎ ‎(Ⅱ)求η的分布列及期望Eη.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,根据对立事件的概率公式得到结果.‎ ‎(2)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,250元,300元.得到变量对应的事件的概率,写出变量的分布列和期望.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意知购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款的对立事件是购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款,‎ 设A表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”.‎ 知表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”‎ ‎,‎ ‎∴.‎ ‎(Ⅱ)根据顾客采用的付款期数ξ的分布列对应于η的可能取值为200元,250元,300元.‎ 得到变量对应的事件的概率 P(η=200)=P(ξ=1)=0.4,‎ P(η=250)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=0.2+0.2=0.4,‎ P(η=300)=1﹣P(η=200)﹣P(η=250)=1﹣0.4﹣0.4=0.2.‎ ‎∴η的分布列为 ‎ η ‎200‎ ‎250‎ ‎300‎ P ‎0.4‎ ‎0.4‎ ‎0.2‎ ‎∴Eη=200×0.4+250×0.4+300×0.2=240(元).‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知∠ABC=45°,AB=2,BC=2,SA=SB=.‎ ‎(Ⅰ)证明:SA⊥BC;‎ ‎(Ⅱ)求直线SD与平面SBC所成角的大小.‎ ‎【分析】解法一:(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,说明SO⊥底面ABCD.利用三垂线定理,得SA⊥BC.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,设AD∥BC,连接SE.说明∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角,通过,求出直线SD与平面SBC所成的角为.‎ 解法二:(Ⅰ)作SO⊥‎ BC,垂足为O,连接AO,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,通过证明,推出SA⊥BC.‎ ‎(Ⅱ).与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC的法向量,利用α与β互余.通过,,推出直线SD与平面SBC所成的角为.‎ ‎【解答】解法一:‎ ‎(1)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,‎ 由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD.‎ 因为SA=SB,所以AO=BO,‎ 又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO,‎ 由三垂线定理,得SA⊥BC.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知SA⊥BC,‎ 依题设AD∥BC,‎ 故SA⊥AD,由,,.‎ 又,作DE⊥BC,垂足为E,‎ 则DE⊥平面SBC,连接SE.∠ESD为直线SD与平面SBC所成的角.‎ 所以,直线SD与平面SBC所成的角为.‎ 解法二:‎ ‎(Ⅰ)作SO⊥BC,垂足为O,连接AO,‎ 由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥平面ABCD.‎ 因为SA=SB,所以AO=BO.‎ 又∠ABC=45°,△AOB为等腰直角三角形,AO⊥OB.‎ 如图,以O为坐标原点,OA为x轴正向,建立直角坐标系O﹣xyz,‎ 因为,,‎ 又,所以,,.S(0,0,1),,,,所以SA⊥BC.‎ ‎(Ⅱ),.与的夹角记为α,SD与平面ABC所成的角记为β,因为为平面SBC的法向量,所以α与β互余.,,‎ 所以,直线SD与平面SBC所成的角为.‎ ‎ ‎ ‎20.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)设函数f(x)=ex﹣e﹣x ‎(Ⅰ)证明:f(x)的导数f′(x)≥2;‎ ‎(Ⅱ)若对所有x≥0都有f(x)≥ax,求a的取值范围.‎ ‎【分析】(Ⅰ)先求出f(x)的导函数,利用a+b≥2当且仅当a=b时取等号.得到f'(x)≥2;‎ ‎(Ⅱ)把不等式变形令g(x)=f(x)﹣ax并求出导函数令其=0得到驻点,在x≥0上求出a的取值范围即可.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)f(x)的导数f'(x)=ex+e﹣x.‎ 由于,故f'(x)≥2.‎ ‎(当且仅当x=0时,等号成立).‎ ‎(Ⅱ)令g(x)=f(x)﹣ax,则g'(x)=f'(x)﹣a=ex+e﹣x﹣a,‎ ‎(ⅰ)若a≤2,当x>0时,g'(x)=ex+e﹣x﹣a>2﹣a≥0,‎ 故g(x)在(0,+∞)上为增函数,‎ 所以,x≥0时,g(x)≥g(0),即f(x)≥ax.‎ ‎(ⅱ)若a>2,方程g'(x)=0的正根为,‎ 此时,若x∈(0,x1),则g'(x)<0,故g(x)在该区间为减函数.‎ 所以,x∈(0,x1)时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<ax,与题设f(x)≥ax相矛盾.‎ 综上,满足条件的a的取值范围是(﹣∞,2].‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2007•全国卷Ⅰ)已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,过F1的直线交椭圆于B、D两点,过F2的直线交椭圆于A、C两点,且AC⊥BD,垂足为P ‎(Ⅰ)设P点的坐标为(x0,y0),证明:;‎ ‎(Ⅱ)求四边形ABCD的面积的最小值.‎ ‎【分析】(Ⅰ)椭圆的半焦距,由AC⊥BD知点P在以线段F1F2‎ 为直径的圆上,故x02+y02=1,由此可以证出.‎ ‎(Ⅱ)设BD的方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.设B(x1,y1),D(x2,y2),由题意知|BD|=‎ 再求出|AC|=,由此可以求出四边形ABCD的面积的最小值.‎ ‎【解答】证明:(Ⅰ)椭圆的半焦距,‎ 由AC⊥BD知点P在以线段F1F2为直径的圆上,故x02+y02=1,‎ 所以,.‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)当BD的斜率k存在且k≠0时,BD的方程为y=k(x+1),‎ 代入椭圆方程,并化简得(3k2+2)x2+6k2x+3k2﹣6=0.‎ 设B(x1,y1),D(x2,y2),则,‎ ‎|BD|=;‎ 因为AC与BD相交于点P,且AC的斜率为,‎ 所以,|AC|=.‎ 四边形ABCD的面积•|BD||AC|=‎ ‎.‎ 当k2=1时,上式取等号.‎ ‎(ⅱ)当BD的斜率k=0或斜率不存在时,四边形ABCD的面积S=4.‎ 综上,四边形ABCD的面积的最小值为.‎ ‎ ‎ ‎22.(16分)(2007•全国卷Ⅰ)已知数列{an}中,a1=2,,n=1,2,3,…‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)若数列{bn}中,b1=2,,n=1,2,3,…,证明:,n=1,2,3,…‎ ‎【分析】(Ⅰ)先对进行整理可得到,即数列是首项为,公比为的等比数列,再由等比数列的通项公式可得到,进而得到.‎ ‎(Ⅱ)用数学归纳法证明.当n=1时可得到b1=a1=2满足条件,然后假设当n=k时满足条件进而得到当n=k+1时再对进行整理得到=,进而可得证.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题设:==,.‎ 所以,数列是首项为,公比为的等比数列,,‎ 即an的通项公式为,n=1,2,3,.‎ ‎(Ⅱ)用数学归纳法证明.‎ ‎(ⅰ)当n=1时,因,b1=a1=2,所以,结论成立.‎ ‎(ⅱ)假设当n=k时,结论成立,即,‎ 也即.‎ 当n=k+1时,==,‎ 又,‎ 所以=.‎ 也就是说,当n=k+1时,结论成立.‎ 根据(ⅰ)和(ⅱ)知,n=1,2,3,.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:wsj1012;qiss;wkqd;danbo7801;豫汝王世崇;minqi5;wdlxh;wdnah;涨停;zhwsd;yhx01248;sllwyn;zlzhan(排名不分先后)‎ 菁优网 ‎2017年2月4日
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