高考数学三轮复习必做的数列综合题

高考数学三轮复习必做的数列综合题

‎2011高考数学三轮复习必做的数列综合题 ‎1.数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有 2；‎ ‎(Ⅲ) 正数数列中，.求数列中的最大项. ‎ ‎（Ⅰ）解：由已知：对于，总有 ①成立 ‎∴ （n ≥ 2）② ‎ ‎①--②得 ‎∴‎ ‎∵均为正数，∴ （n ≥ 2） ‎ ‎∴数列是公差为1的等差数列 ‎ 又n=1时，， 解得=1‎ ‎∴.() ‎ ‎（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤. ‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎(Ⅲ)解：由已知 ， ‎ ‎ ‎ ‎ 易得　‎ ‎ 猜想 n≥2 时，是递减数列. ‎ 令 ‎∵当 ‎∴在内为单调递减函数.‎ 由.‎ ‎∴n≥2 时, 是递减数列.即是递减数列.‎ 又 , ∴数列中的最大项为. ‎ ‎2．设f1(x)=，定义fn+1 (x)= f1［fn(x)］，an =（n∈N*）.‎ ‎(1) 求数列｛an｝的通项公式；‎ ‎(2) 若，Qn=（n∈N*），试比较9T2n与 Qn的大小，并说明理由.‎ 解：（1）∵f1(0)=2，a1==，fn+1(0)= f1［fn(0)］=, ‎ ‎∴an+1==== -= -an. ‎ ‎∴数列｛an｝是首项为,公比为-的等比数列，∴an=()n-1. ‎ ‎（2）∵T2 n = a1+2a 2+3a 3+…+(2n-1)a 2 n-1+2na 2 n，‎ ‎∴T2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+…+(-)(2n-1)a2 n－1+2na2 n ‎= a 2+2a 3+…+(2n－1)a2 n－na2 n.‎ 两式相减，得T2 n= a1+a2+a 3+…+a2 n+na2 n. ‎ ‎∴T2n =+n×(-)2n-1=-(-)2n+(-)2n-1.‎ T2n =-(-)2n+(-)2n-1=(1-). ‎ ‎∴9T2n=1-.‎ 又Qn=1-， ‎ 当n=1时，22 n= 4,(2n+1)2=9,∴9T2 n＜Q n； ‎ 当n=2时，22 n=16,(2n+1)2=25,∴9T2 n＜Qn； ‎ 当n≥3时，，‎ ‎∴9T2 n＞Q n. ‎ ‎3． 设不等式组所表示的平面区域为Dn，记Dn内的格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为f(n)(n∈N*).‎ ‎ （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式；‎ ‎ （2）设bn=2nf(n)，Sn为{bn}的前n项和，求Sn；‎ ‎ （3）记，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值 范围.‎ ‎（1）f(1)=3‎ ‎ f(2)=6‎ ‎ 当x=1时，y=2n，可取格点2n个；当x=2时,y=n，可取格点n个 ‎ ∴f(n)=3n ‎ （2）由题意知:bn=3n·2n ‎ Sn=3·21+6·22+9·23+…+3(n－1)·2n－1+3n·2n ‎ ∴2Sn=3·22+6·23+…+3(n－1)·2n+3n·2n+1‎ ‎∴－Sn=3·21+3·22+3·23+…3·2n－3n·2n+1‎ ‎ =3（2+22+…+2n）－3n·2n+1‎ ‎ =3·‎ ‎ =3(2n+1－2)－3nn+1‎ ‎∴－Sn=(3－3n)2n+1－6‎ Sn=6+(3n－3)2n+1‎ ‎ （3）‎ ‎ ‎ ‎ ∴T1T4>…>Tn ‎ 故Tn的最大值是T2=T3=‎ ‎ ∴m≥。‎ ‎4．已知，且，数列的前项和为，它满足条件.数列中，·.‎ ‎（1）求数列的前项和；‎ ‎（2）若对一切都有，求的取值范围.‎ 解：（1） ，∴‎ 当时，.‎ 当≥2时，=，∴ ‎ 此时··=·，‎ ‎∴……=……+‎ 设……+，‎ ‎∴……，‎ ‎∴‎ ‎∴·　　……6分 ‎（2）由可得 ‎①当时，由，可得 ‎ ∴对一切都成立，‎ ‎∴此时的解为.　‎ ‎②当时，由 可得 ‎≥∴对一切都成立，‎ ‎∴此时的解为.‎ 由①，②可知 对一切，都有的的取值范围是或.　……14分 ‎5、已知函数（）。‎ ‎（Ⅰ）若且，则称为的实不动点，求的实不动点；‎ ‎（II）在数列中，，（），求数列的通项公式。‎ 解：（Ⅰ）由及得 或（舍去），‎ 所以或，即的实不动点为或；‎ ‎（II）由条件得，从而有 ‎，‎ 由此及知：数列是首项为，公比为的等比数列，故有 ‎（）。‎ ‎6、已知函数，点，是函数图像上的两个点，且线段的中点的横坐标为．‎ ‎⑴求证：点的纵坐标是定值；‎ ‎⑵若数列的通项公式为，求数列的前m项的和；‎ ‎⑶若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ 解：⑴由题可知：，所以，‎ ‎ 点的纵坐标是定值，问题得证．‎ ‎⑵由⑴可知：对任意自然数，恒成立．‎ ‎ 由于，故可考虑利用倒写求和的方法．即由于：‎ 所以， 所以，‎ ‎⑵∵， ∴‎ ‎ ∴等价于 ①‎ 依题意，①式应对任意恒成立．‎ 显然，因为（），所以，需且只需对任意恒成立．即：对恒成立．‎ 记（）．∵ ，‎ ‎∴（）的最大值为，∴ ．‎ 选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (按ctrl 点击打开)‎ 选校网（www.xuanxiao.com）是为高三同学和家长提 供高考选校信息的一个网站。国内目前有2000多所高校，高考过后留给考生和家长选校的时间紧、高校多、专业数量更是庞大，高考选校信息纷繁、复杂，高三 同学在面对高考选校时会不知所措。选校网就是为考生整理高考信息，这里有1517专业介绍，近2000所高校简介、图片、视频信息。选校网，力致成为您最 强有力的选校工具！‎ 产品介绍：‎ ‎1.大学搜索：介绍近2000所高校最详细的大学信息，包括招生简章，以及考生最需要的学校招生办公室联系方式及学校地址等.‎ ‎2.高校专业搜索：这里包含了中国1517个专业介绍，考生查询专业一目了然，同时包含了专业就业信息，给考生报考以就业参考。‎ ‎3.图片搜索：这里有11万张全国高校清晰图片，考生查询学校环境、校园风景可以一览无余。4视频搜索：视频搜索包含了6162个视频信息，大学视频、城市视频、访谈视频都会在考生选校时给考生很大帮助。‎ ‎5.问答：对于高考选校信息或者院校还有其他疑问将自己的问题写在这里，你会得到详尽解答。6新闻：高考新闻、大学新闻、报考信息等栏目都是为考生和家长量身定做，和同类新闻网站相比更有针对性。‎ ‎7.千校榜：把高校分成各类，让考生选校时根据类别加以区分，根据排名选择自己喜欢的高校。8选校课堂：这里全部的信息都是以考生选校、选校技巧、经验为核心，让专家为您解答高考选校的经验和技巧。‎ ‎9.阳光大厅：考生经过一年紧张的学习生活心理压力有待缓解和释放，阳光大厅给家长以心灵启示，给考生心里以阳光。‎ ‎10.港澳直通：很多考生都梦想去香港澳门读大学，港澳直通，给考生的梦想一个放飞的地方，港澳直通囊括了港澳大学的所有信息，将一切更直观的呈现给考生。‎ ‎11.选校社区：注册您真是的信息，在这里可以和大家分享您所在城市的到校信息，读到好的选校文章也可以拿到这里，让大家共同品尝，您还可以加入到不同的大学、专业、城市群组，和大家一起讨论这些话题分享信息。‎ 选校网，为你整合众多高考选校信息，只为考生、家长能够从中受益。让我们共同为考生的未来，努力！‎ 我们在不断完善，以更加符合家长和同学们的需求。‎ 陆续我们将推出城市印象频道，让大家了解学校所在城市的详细情况；预报名系统(yubaoming.com)，为您更加准确地根据高考分数填报志愿提供利器.......‎ 一切，贵在真实。‎