高考数学必背公式与知识点过关检测(精华版)

高考数学必背公式与知识点过关检测(精华版)

高考数学必背公式与知识点过关检测 姓名 班级 ‎ 第一部分：集合与常用逻辑用语 ‎1．子集个数：含个元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空子集，有 个非空真子集 ‎2．常见数集：自然数集： 正整数集： 或 整数集： 有理数集： ‎ 实数集： ‎ ‎3．空集：是任何集合的 ，是任何非空集合的 .‎ ‎4．元素特点： 、 、 确定性 ‎ ‎5．集合的的运算： 集运算、 集运算、 集运算 ‎6．四种命题：原命题：若，则；逆命题：若 ，则 ；否命题：若 ，则 ；逆否命题：若 ，则 ； 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互 ；原命题与否命题、逆命题与逆否命题互 ；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为 。互为逆否的命题 ‎ ‎7．充要条件的判断：，是的 条件；，是的 条件；，互为 条件；若命题对应集合，命题对应集合，则等价于 ，等价于 ‎ 注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”；‎ ‎8．逻辑联结词：或命题：，有一为真即为 ，均为假时才为 ；且命题：，均为真时才为 ，有一为假即为 ；非命题：和为一真一假两个互为对立的命题 ‎9.全称量词与存在量词：⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用表示；‎ ‎ 全称命题p：；全称命题p的否定p： ；‎ ‎⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用表示；‎ ‎ 特称命题p：；特称命题p的否定p： ；‎ 第二部分：函数与导数及其应用 ‎1．函数的定义域：分母 0；偶次被开方数 0；0次幂的底数 0 ；对数函数的真数 0；指数与对数函数的底数 0且 1‎ ‎2．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论；‎ 分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的 、值域是各段值域的 ‎ ‎3．函数的单调性：设，，且，那么：‎ ‎（1）上是 函数；‎ ‎（2）上是 函数；‎ ‎（3）如果，则为 函数；，则为 函数；‎ ‎（4）复合函数的单调性：根据“同 异 ”来判断原函数在其定义域内的单调性.‎ ‎4．函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于 对称是函数具有奇偶性的前提条件 ‎⑵是 函数；是 函数.‎ ‎⑶奇函数在0处有定义，则 ‎ ‎⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有 的单调性，偶函数有 的单调性 ‎⑸偶函数图象关于 轴对称、奇函数图象关于坐标 对称 ‎5．函数的周期性：‎ ‎ 周期有关的结论：(约定a＞0)‎ ‎（1），则的周期T= ；‎ ‎（2），或，或,‎ 则的周期T= ‎ ‎（3）或 的周期为 ‎ ‎6．函数的对称性：‎ ‎①的图象关于直线 对称；‎ ‎②的图象关于直线 对称；‎ ‎7．对数运算规律：‎ ‎（1）对数式与指数式的互化： ‎ ‎（2）对数恒等式： ， ， ． ，‎ ‎ ‎ ‎（3）对数的运算性质：‎ ‎ ①加法： ②减法： ‎ ‎③数乘： ④恒等式： ‎ ‎⑤ ⑥换底公式：‎ ‎8．二次函数：‎ 二次函数（a≠0）的图象的对称轴方程是 ，顶点 坐标是 判别式；时，图像与轴有 个交点；时，图像与轴有 个交点；时，图像与轴没有交点；‎ ‎9. 韦达定理：‎ 若x1, x2是一元二次方程的两个根，则：x1+x2= ，x1x2= .‎ ‎10．零点定理：若y=f(x)在[a,b]上满足 , 则y=f(x)在（a,b)内至少有一个零点 ‎11．常见函数的导数公式：‎ ‎① ；② ； ‎ ‎③ ； ④ ；‎ ‎⑤ ； ⑥ ； ‎ ‎⑦ ； ⑧ .‎ ‎12．导数运算法则：‎ ‎ ； ‎ ‎ ．‎ ‎13．曲线的切线方程：函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率为，相应的切线方程是 .‎ ‎14．微积分基本定理：‎ 如果是上的连续函数，并且有，则 ‎ 第三部分：三角函数、三角恒等变换与解三角形 ‎1．角度制与弧度制互化：‎ ‎360°= rad，180°= rad，1°= ≈ rad，1rad= ≈ ‎ ‎2．若扇形的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则 ‎ ， ，S= = ．‎ ‎3.三角函数定义式：角终边上任一点（非原点）P,设 则 ‎ ， ， ‎ ‎4．同角三角函数的基本关系：‎ ‎ ．‎ ‎5.函数的诱导公式：口诀： . ‎ ‎， ， ．（k∈Z）‎ ‎（2） ， ， ．‎ ‎(3) ， ，．‎ ‎(4) ， , ．‎ ‎， ．‎ ‎(6) ，．‎ ‎6．特殊角的三角函数值：‎ 角α ‎0°‎ ‎30°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ ‎90°‎ ‎120°‎ ‎135°‎ ‎150°‎ ‎180°‎ ‎270°‎ 角α的弧度数 Sinα Cosα tanα ‎7．三角函数的图像与性质：‎ 定义域 值域 周期 奇偶性 单调性 对称性 ‎8．几个常见三角函数的周期：‎ ‎①与的周期为 .‎ ‎②或（）的周期为 . ‎ ‎③的周期为 .‎ ‎④的周期为 ‎ ‎9. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ‎ ‎ ； ；‎ ‎ ； ；‎ ‎ ; . ‎ ‎10. 二倍角的正弦、余弦和正切公式：‎ ‎ ‎ ‎ = = ‎ ‎ ， , ‎ ‎ ‎ ‎11．引入辅助角公式： . (其中,辅助角所在象限由点所在的象限决定, ).‎ ‎12. 正弦定理： . （R是外接圆直径）‎ 注：①；②；③‎ ‎13. 余弦定理： .（变式）‎ ‎（以A角和其对边来表示）‎ ‎14. 三角形面积公式： = = ．‎ ‎（用边与角的正弦值来表示）‎ 三角形面积导出公式：‎ ‎ （为内切圆半径）= （外接圆半径）‎ ‎15. 三角形内切圆半径r= 外接圆直径2R= = = ‎ 第四部分：平面向量、数列与不等式 1． 平面向量的基本运算：设，；（）‎ ‎= ；= ；‎ ‎ （定义公式）= (坐标公式)． ‎ 在方向上的投影为. = (坐标公式)‎ ‎ （一般表示） （坐标表示） ． ‎ ‎ ∥ （一般表示） （坐标表示）．‎ ‎ = (坐标公式).‎ ‎2.若为的重心，则 =；‎ 且G点坐标为 ( ， )‎ ‎3.三点共线的充要条件：P，A，B三点共线 =x+y 且 =1‎ ‎4.三角形的四心 重心：三角形三条 交点.‎ 外心：三角形三边 相交于一点.‎ 内心：三角形三 相交于一点.‎ 垂心：三角形三边上 的相交于一点.‎ ‎5. 数列{}中与的关系 ‎ ‎6. 等差数列与等比数列对比小结：‎ 等差数列 等比数列 定义 公式 ‎1．‎ ‎2．‎ ‎1．‎ ‎2．‎ 性质 ‎1． ‎ 称为与的等差中项 ‎2．若, 则 ‎1． ‎ 称为与的等比中项 ‎2．若, 则 ‎7.常见数列的和：‎ ‎①1+2+3+……+n= ‎ ‎②12+22+32+……+n2= ‎ ‎③13+23+33+……+n3= ‎ ‎8.一元二次不等式解的讨论.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二次函数 ‎（）的图象 一元二次方程 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎9. 均值不等式： 若，，则 ；‎ ‎10. 重要不等式： ‎ ‎11．极值定理：已知都是正数，则有：‎ ‎(1)如果积是定值，那么当时和有最小值 ；‎ ‎(2)如果和是定值，那么当时积有最大值 .‎ ‎12.两个著名不等式：‎ ‎（1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 ‎ ‎（当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）‎ 特别地，（当a = b时，）‎ 幂平均不等式：‎ ‎（2）柯西不等式： .（当且仅当ad=bc时取等号）‎ 第五部分：立体几何与解析几何 ‎1. 三视图与直观图：‎ ‎ 原图形与直观图面积之比为 ‎ ‎2. 常见几何体表面积公式：‎ ‎ 圆柱的表面积 S= 圆锥的表面积S= ‎ ‎ 圆台的表面积 S= 球的表面积 S= ‎ ‎3．常见几何体体积公式：‎ 柱体的体积 V= 锥体的体积 V= ‎ 台体的体积 V= 球体的体积 V= ‎ ‎4. 常见空间几何体的有关结论：‎ ‎⑴棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ．‎ ‎⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为，b，c，则体对角线长为 ，全面积为 ，体积V= ‎ ‎⑶正方体的棱长为a，则体对角线长为 ,全面积为 ，体积V= ‎ ‎⑷球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径＝长方体的 长.‎ ‎ 球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径=正方体的 , 正方体的棱切球的直径=正方体的 长, 正方体的外接球的直径=正方体的体 长.‎ ‎⑸正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的：‎ ① 高： ；②对棱间距离： ；③内切球半径： ；④外接球半径： ‎ ‎5. 空间向量中的夹角和距离公式：‎ ‎（1）空间中两点，的距离d= ‎ ‎（2）异面直线夹角：cosθ= （两直线方向向量为）‎ ‎（3）线面角：，且sinθ= （，为直线的方向向量与平面的法向量）‎ ‎（4）二面角：，且cosθ= （两平面的法向量分别为和）‎ ‎（5）点到面的距离：平面的法向量为，平面内任一点为，点到平面的距离 d= ‎ ‎6．直线的斜率： = = ‎ ‎（为直线的倾斜角，、为直线上的两点）‎ ‎7. 直线方程的五种形式：‎ 直线的点斜式方程： (直线过点，且斜率为)．‎ 直线的斜截式方程： (为直线在轴上的截距).‎ 直线的两点式方程： (、 ，).‎ 直线的截距式方程： (、分别为直线在轴、轴上的截距，且).‎ 直线的一般式方程： (其中A、B不同时为0).‎ ‎8．两条直线的位置关系：‎ ‎（1）若，,则：‎ ‎① ∥ 且 ； .‎ ‎（2）若,,则：‎ ‎①∥ 且 ；②. .‎ ‎9．距离公式：‎ ‎（1）点，之间的距离： ‎ ‎（2）点到直线的距离： ‎ ‎（3）平行线间的距离：与的距离： ‎ ‎10.圆的方程：‎ ‎（1）圆的标准方程： ‎ ‎（2）圆的一般方程： （‎ ‎11．直线与圆的位置关系：判断圆心到直线的距离与半径的大小关系 ‎（1）当 时，直线和圆 （有两个交点）；‎ ‎（2）当 时，直线和圆 （有且仅有一个交点）；‎ ‎（3）当 时，直线和圆 （无交点）；‎ ‎12. 圆与圆的位置关系：判断圆心距与两圆半径和，半径差（）的大小关系：‎ ‎（1）当 时，两圆 ，有4条公切线；‎ ‎（2）当 时，两圆 ，有3条公切线；‎ ‎（3）当 时，两圆 ，有2条公切线；‎ ‎（4）当 时，两圆 ，有1条公切线；‎ ‎（5）当 时，两圆 ，没有公切线；‎ ‎13. 直线与圆相交所得弦长|AB|= （d为直线的距离r为半径）‎ ‎14．椭圆的定义：‎ ‎（1）第一定义：平面内与两个定点的距离和等于常数 的点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（）‎ ‎ ‎ ‎（2）标准方程：焦点在轴上： ；焦点在轴上： .‎ ‎15．双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两个定点的距离之差的绝对值等于常数： 的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（）‎ ‎ ‎ ‎（2）标准方程：焦点在轴上： ；焦点在轴上： .‎ ‎16．抛物线的定义：‎ ‎（1）平面内与一个定点和一条定直线（点不在上）的距离的 的点的轨迹叫做双曲线.这个定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线.‎ ‎ （2）标准方程：焦点在轴上： ；焦点在轴上： .‎ ‎17．离心率：e= （椭圆的离心率 ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心率 ）‎ ‎18．双曲线的渐近线：（，）的渐近线方程为 ，且与具有相同渐近线的双曲线方程可设为.‎ ‎19．过抛物线焦点的直线：‎ 倾斜角为的直线过抛物线的焦点且与抛物线交于、两点（）：‎ ‎|AF|= |BF|= |AB|= = ‎ x1x2= y1y2= += ‎ ‎20．焦点三角形的面积：（1）椭圆：S= ；（2）双曲线：S= （）‎ ‎21．几何距离：‎ ‎（1）椭圆双曲线特有距离：①长轴（实轴）： ； ②短轴（虚轴）： ； ‎ ‎③两焦点间距离： . ‎ ‎（2）焦准距：①椭圆、双曲线： ； ②抛物线： .‎ ‎（3）通径长：①椭圆、双曲线： ； ②抛物线： . ‎ ‎22．直线被曲线所截得的弦长公式：若弦端点为,则 ‎|AB|= = = ‎ ‎23. 中点弦问题： 椭圆：kABkOP= 双曲线：kABkOP= ‎ 第六部分：统计与概率 ‎1. 总体特征数的估计：‎ ‎⑴样本平均数`x= = ；‎ ‎⑵样本方差；S2= = ；‎ ‎⑶样本标准差S= ‎ ‎2．概率公式：‎ ‎⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)= ‎ ‎⑵古典概型：基本事件的总数数为，随机事件A包含的基本事件个数为，则事件A发生的概率为：P(A)= ‎ ‎⑶几何概型：‎ ‎3．离散型随机变量：‎ ‎⑴随机变量的分布列：‎ ‎①随机变量分布列的性质：pi≥ , i=1,2,3，…； p1+p2+…= ‎ ‎②离散型随机变量：‎ X x1‎ X2‎ ‎…‎ X n P P1‎ P2‎ ‎…‎ P n 均值（又称期望）：EX＝ ‎ 方差：DX＝ ‎ 注：；‎ ‎③二项分布（独立重复试验）：若X～B（n , p）,则EX＝ , DX＝ ‎ 注： ‎ ‎⑵条件概率： P（B|A）= ‎ 注：0P（B|A）1‎ ‎⑶独立事件同时发生的概率：P（AB）= ‎ 第七部分：复数与计数原理 ‎1. 复数的基本概念：（，）‎ ‎（1）实部： ；虚部： ； 虚数单位：i2= ‎ ‎（2）模：|z|= = ‎ ‎（3）共轭复数：= （4）在复平面内对应的点为 ‎ ‎（5）复数相等：a+bi=c+di（a，b，c，d∈R） ‎ ‎2. 复数的基本运算：‎ ‎（1）加减法：（a+bi）＋（c+di）= （a+bi）－（c+di）= ‎ ‎（2）乘法：（a+bi）×（c+di）= ‎ ‎（3）除法：（a+bi）÷（c+di）= ‎ 注：对虚数单位,有.‎ ‎3．分类计数原理（加法原理）与分步计数原理（乘法原理）：.‎ ‎（1）完成一件事有类不同方案，在第类方案中有种不同的方法，在第类方案中有 种不同的方法，…，在第类方案中有种不同的方法．那么完成这件事共有 N= 种不同的方法．‎ ‎（2）完成一件事情，需要分成个步骤，做第步有种不同的方法，做第步有种不同的方法……做第步有种不同的方法.那么完成这件事共有N= 种不同的方法.‎ ‎4．排列数公式：= = ； = ‎ ‎(m≤ n, m、n∈N*) 规定 ‎5．组合数公式： = （，，且）；‎ ‎6. 组合数性质： ； ‎ ‎7．二项式定理：（a+b）n= ‎ ‎（叫做二项式系数）‎ ‎8．二项展开式的通项公式：Tr+1= （r=0,1,2……，n）‎ 第八部分：坐标系与参数方程 ‎1. 极坐标→直角坐标 直角坐标→极坐标 ‎2. 圆的极坐标方程：‎ ‎①以极点为圆心，为半径的圆的极坐标方程是 ；‎ ‎②以为圆心， 为半径的圆的极坐标方程是 ；‎ ‎③以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是 ；‎ ‎④以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是 ;‎ ‎⑤以为圆心，为半径的圆的极坐标方程是 ‎ ‎3. 常见曲线的参数方程：‎ 常见曲线的普通方程与参数方程 普通方程 参数方程 直线 过点倾斜角为 或者 ‎ （为参数）‎ 圆 ‎ ‎ ‎ （为参数）‎ 椭圆 ‎（a＞b＞0）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （为参数）‎ 双曲线 ‎（a＞0，b＞0）‎ ‎ ‎ ‎ （为参数）‎ 抛物线 ‎ （p＞0）‎ ‎ ‎ ‎ （为参数）‎